Cho a và b thuộc ℕ. Chứng minh rằng 5a^2 + 15ab – b^2 chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7

Cho a và b thuộc ℕ. Chứng minh rằng 5a^2 + 15ab – b^2 chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 06-03-2024 Tổng hợp kiến thức

298

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 87)

Đề bài: Cho a và b thuộc ℕ. Chứng minh rằng 5a² + 15ab – b² chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7.

Lời giải:

Nếu 3a + b ⋮ 7 thì (3a + b)² ⋮ 49

Tức là A = 9a² + 6ab + b² ⋮ 49

Đặt B = 5a² + 15ab – b²

Ta có: A + B = 14a² + 21ab = 7(2a + 3b) = 7(9a – 7a + 3b) = 7.3.(3a + b) – 49a ⋮ 49

Từ đó ta được A + B ⋮ 49

Mà A ⋮ 49 nên B ⋮ 49

Ngược lại, nếu B ⋮ 49 ⇒ B = 5a² + 15ab – b² ⋮ 7

⇒ (14a² + 21ab) – (5a² +15ab – b²) ⋮ 7

⇒ (3a + b)² ⋮ 7

⇒ (3a + b) ⋮ 7.

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

Đề bài: Tính giá trị biểu thức: $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} + \sqrt{6} - 3}{2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{10} - \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ .

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By tại D.

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.

Đề bài: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B (–3; –1), và C (3; –4). Tìm điều kiện của tham số m để điểm M $(m; \frac{m - 5}{3})$ nằm bên trong tam giác ABC.

Đề bài: Chứng minh rằng n(n + 13) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.

Đề bài: Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có:

cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosA.cosB.cosC.

Đề bài: Cho biểu thức B = $\frac{a^{2} - 3 a \sqrt{a} + 2}{a - 3 \sqrt{a}}$ . Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Đề bài: Điền số thích hợp vào chỗ chấm

Đề bài: Có 7 quả cam, chia đều cho 10 người. Làm thế nào để chia được mà không phải cắt bất kì quả cam nào thành 10 phần bằng nhau?

Đề bài: Không thực hiện tính tổng, chứng minh rằng A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰ chia hết cho 5.

Đề bài: Cho hình bình hành MNPQ với O là giao điểm của 2 đường chéo và thỏa mãn MN = 6cm, NP =5cm, OM = 2cm. Tính độ dài của PQ, MQ, MP?

Đề bài: Độ dài đo được trên thực tế giữa 2 điểm A và B có khoảng cách là 150 km, trên tờ bản đồ có tỉ lệ 1: 1 000 000, vậy 2 điểm cách nhau bao nhiêu cm?

Đề bài: Biết đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a³ + b² – 2c.

Đề bài: Rút gọn: M = sin(x – y)cosy + cos(x – y)siny.

Đề bài: Số học sinh khối 6 của trường khi xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 của trường đó là bao nhiêu? Biết rằng số học sinh trong khoảng từ 350 đến 400 học sinh.

Đề bài: Cho hình vẽ. Chứng minh rằng:

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD hai đường chéo không vuông góc với nhau. Vẽ điểm E đối xứng với A qua BD. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, E, D là 4 đỉnh của hình thang cân.

Đề bài: Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin2x.

Đề bài: Một quyển sách được ghi số trang bắt đầu từ 3 và trang cuối cùng là 139. Do quyển sách đã dùng lâu nên bị rơi mất 2 tờ trang có 2 chữ số và 5 tờ trang có 3 chữ số. Hỏi quyển sách đó còn bao nhiêu tờ?

Đề bài: Cho tam giác ABC. Xác định điểm I sao cho vectơ $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{I C}$ .

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

Đề bài: Cho 2 đường thẳng d₁: y = 4x + m – 1, d₂: y = $\frac{4}{3}$ x + 15 – 3m.

Đề bài: Cho bốn số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của mỗi hai số chia hết cho 2 và tổng của mỗi ba số chia hết cho 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này?

Đề bài: Cho ∆ABC, AQ, BK, CI là 3 đường cao, H là trực tâm.

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB (khác O, B). Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính BD cắt tiếp tuyến BC tại E.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, M là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Kẻ MI vuông góc với AC (I thuộc AC), kẻ MK vuông góc với AB (K ∈ AD).

Đề bài: Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt là các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD qua M và N (M nằm giữa C và N).

Đề bài: Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABM, ACN phía ngoài tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AM, AN. Chứng minh tam giác DEF đều.

Đề bài: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác.

Chứng minh rằng A = $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Đề bài: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz.

Đề bài: Tìm m để phương trình x² + mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m.

Đề bài: Quan sát hình vẽ sau. Giải thích vì sao m song song với n?

Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là một điểm cố định trên đoạn thẳng AB. Gọi DE là dây cung thay đổi của (O) luôn đi qua I. Gọi BD, BE cắt d lần lượt tại M, N.

Đề bài: Cho hình thang ABCD (AD // BC) có $\hat{A} - \hat{B} = 20 °, \hat{D} = 2 \hat{C}$ .

Đề bài: Tìm số nguyên tố p sao cho 2^p + 1 chia hết cho p.

Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.

Đề bài: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn, nó cắt Ax , By tại C, D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.

Đề bài: Cho phương trình x²– (m – 3)x – 5 = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên.

Đề bài: Tìm các số tự nhiên x sao cho 14 chia hết cho 2x + 1.

Đề bài: Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰. Hãy thu gọn tổng A.

Đề bài. Cho hai tập hợp khác rỗng A = [ m – 1; 5) và B =[–3; 2m + 1]. Tìm m để A ⊂ B.

Đề bài. Cho tổng A = 8 + 12 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:

Đề bài. Điền chữ số thích hợp vào dấu * để được số M = $\bar{37 *}$ thỏa mãn điều kiện:

Đề bài. Thực hiện phép tính $(1 - \frac{1}{1 + 2}) (1 - \frac{1}{1 + 2 + 3}) ... (1 - \frac{1}{1 + 2 + 3 + ... + 2006})$ .

Đề bài. Cho phương trình: x² – 2mx + m² – 4 = 0.

Đề bài. Biến đổi tổng thành tích A = sina + sinb + sin(a + b).

Đề bài. Cho số tự nhiên $\bar{a b}$ bằng ba lần tích các chữ số của nó.

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.

Đề bài. Cho nửa đường tròn (O; R). Hai dây cung AB và CD song song với nhau có độ dài lần lượt là 32 cm và 24 cm và khoảng cách giữa 2 dây là 4 cm. Tính bán kính đường tròn.

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB, E thuộc đoạn AO (E khác A, O và AE > EO). Gọi H là trung điểm của AE , kẻ dây CD vuông góc với AE tại H.

Đề bài. Bác Hòa uốn một sợi dây thép thành móc treo đồ có dạng hình thang cân với độ dài đáy bé bằng 40cm, đáy lớn bằng 50cm, cạnh bên bằng 15cm, móc treo dài 10cm. Hỏi bác Hòa cần bao nhiên mét dây thép?

Đề bài. Một trường có 1055 học sinh. Trường tổ chức đi dã ngoại bằng xe buýt, một chiếc xe chở được 30 học sinh. Hỏi trường cần ít nhất bao nhiêu chiếc xe để chở hết học sinh của trường đi dã ngoại?

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, D đối xứng với A qua M.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC). Kẻ BH vuông góc với d, CK vuông góc với d (H, C thuộc d).

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết $\frac{A H}{A B} = \frac{3}{5}$ ; AB = 15cm.

Đề bài. Rút gọn biểu thức P = $(\frac{15}{\sqrt{6} + 1} + \frac{4}{\sqrt{6} - 2} - \frac{12}{3 - \sqrt{6}}) (\sqrt{6} + 11)$ .

Đề bài. Một hình vuông được ghép bởi 722 hình chữ nhật có kích thước 1cm × 2cm. Hỏi sau khi ghép như vậy thì tổng chu vi đã bị giảm đi bao nhiêu cm?

Đề bài. Tìm hai số biết số thứ nhất bằng số thứ hai. Biết rằng nếu bớt ở số thứ nhất đi 28 đơn vị và thêm vào số thứ hai là 35 đơn vị thì được tổng mới là 357.

Đề bài. Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 2.

Đề bài. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC). Biết AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20 cm. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Đề bài. Giải phương trình: $\sqrt{x^{2} - 5 x + 4} = \sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 12}$ .

Đề bài. Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn đến diều dài 130m và bạn đứng cách nơi diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 50m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m.

Đề bài. Tìm x biết: (x + 7) – 25 = 13.

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, $\hat{C} = 60 °; \hat{A} = 100 °$ .

Đề bài. Lớp chuyên Toán có 13 học sinh chơi đá bóng, 22 học sinh bơi lội và 17 học sinh chơi cờ vua, trong số đó có 5 học sinh chơi đá bóng và bơi lội, 7 học sinh bơi lội và chơi cờ vua, 3 học sinh chơi cờ vua và đá bóng, đặt biệt có 4 học sinh đang đi giao lưu ở nước ngoài. Vậy lớp có bao nhiêu học sinh?

Đề bài. Bánh xe đạp có bán kính 50cm (kể cả lốp). Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi được là bao nhiêu?

Đề bài. Giải phương trình: tan²x + cot²x = 1 + $\cos^{2} (3 x + \frac{π}{4})$ .

Đề bài. Cho C = 5 + 5² + … + 5²⁰. Chứng minh rằng C chia hết cho 5; 6; 13.

Đề bài: Một hình vuông chu vi 20cm, một hình chữ nhật có chiều rộng bằng cạnh hình vuông và có chu vi 26cm. Tìm diện tích hình chữ nhật.

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

Đề bài: Một giá sách có hai ngăn, số sách ở ngăn dưới bằng $\frac{5}{6}$ số sách ở ngăn trên. Nếu ngăn dưới bớt đi 11 quyển thì số sách ngăn dưới bằng $\frac{4}{7}$ số sách ngăn trên. Tính số sách giá trên.

Đề bài: Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 5; 7.

Đề bài: Tìm các số nguyên n biết 3n – 1 chia hết cho n – 2.

Đề bài: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng–ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 20° so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp.

Đề bài: Một người bán một tấm vải được lãi $\frac{1}{5}$ giá mua. Nếu người đó bán được cao giá hơn 40 000 đồng nữa thì người đó lãi $\frac{1}{5}$ giá bán. Hỏi giá mua tấm vải là bao nhiêu?

Đề bài: Cho C = 1 + 4 + 4² + 4³ +… + 4²⁰²¹. Chứng minh C chia hết cho 21.

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I là trung điểm BC.

Đề bài: Cho a và b thuộc ℕ. Chứng minh rằng 5a² + 15ab – b² chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7.

Đề bài: Cho hình vuông ABCD. Lấy M thuộc AB và N thuộc BC sao cho BN = BM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CM. Chứng minh rằng $\hat{D H N}$ = 90°.

Đề bài: Cho B = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰¹. Chứng minh rằng B chia hết cho 13.

Đề bài: Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (–4; 5). Tìm m sao cho A ⊂ B.

Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy D, E, F sao cho $\hat{E D C}$ = $\hat{F D B}$ = 90° (E khác B). DE, DF cắt BC lần lượt tại M, N. Chứng minh: EF // BC.

Đề bài: Biết x,y là hai số nguyên dương thỏa mãn :3x²– 4xy + 2y²= 3. Tính giá trị của biểu thức M = x²⁰²² + (y – 3)²⁰²².

Đề bài: Cho $A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100}$ . Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

Đề bài: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?

Đề bài. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O') ở C. Kẻ các đường kính BD và CE của hai đường tròn (O) và (O'). Chứng minh

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.

Đề bài: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của x: x² + x + 1.

Đề bài: Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC cân là

Đề bài: Tìm số tự nhiên a bé hơn hoặc bằng 200. Biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35.

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.

Đề bài: Cho điểm O trên đường thẳng xy. Trong một nửa mặt phẳng bờ xy ta dựng = 90 độ. Trên Oz lấy điểm A và Ot lấy điểm B sao cho OA = OB. Kẻ AM và BN vuông góc với xy. Chứng minh rằng:

Đề bài: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn $\vec{B C} = 3 \vec{B M}, \vec{A B} = 3 \vec{A N}$ . Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

165

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

141

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

115

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

110

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.