Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 46)

Câu 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và có diện tích bằng 48 cm². Tính chu vi của hình chữ nhật đó.

Lời giải:

Chia hình chữ nhật thành 3 hình vuông bằng nhau

Diện tích một hình vuông là:

48 : 3 = 16 (cm²)

Cạnh của hình vuông đó là 4 cm (vì 4 × 4 = 16)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật bằng 4 cm, chiều dài là:

4 × 3 = 12 (cm)

Chu vi hình chữ nhật là:

(12 + 4) × 2 = 32 (cm)

Đáp số: 32 cm

Câu 2: Chu vi hình chữ nhật là 48 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, tính diện tích hình chữ nhật?

Lời giải:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, vậy chiều dài sẽ là 3a. Chu vi là 48 cm.

Do vậy: (a + 3a) × 2 = 48

Tức là: 8a = 48

Vậy a là: 48 : 8 = 6 (cm)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm, chiều dài là: 6 × 3 = 18 cm

Diện tích hình chữ nhật là: 6 × 18 = 108 (cm²)

Đáp số: 108 cm²

Câu 3: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 36 cm chiều rộng bằng $\frac{3}{5}$  chiều dài được uốn từ 1 sợi dây thép. Hỏi sợi dây thép đó dài bao nhiêu m?

Lời giải:

Chiều dài hình chữ nhật:

36 : 3 × 5 = 60 (cm)

Sợi dây thép đó dài:

(60 + 36) × 2 = 192 (cm)

Đổi: 192 cm = 1,92 m

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 5 km 60 dam, chiều dài hơn chiều rộng là 800 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu mét vuông?

Lời giải:

Đổi: 5 km 60 dam = 5 600 m

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

5600 : 2 = 2 800 (m)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là:

(2 800 + 800) : 2 = 1 800 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

1800 - 800 = 1 000 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m²)

Đáp số: 180 000 m²

Câu 5: Một khu rừng hình chữ nhật có chu vi là 5 km 60 dam. Chiều dài hơn chiều rộng 800 m. Hỏi diện tích khu rừng đó bằng bao nhiêu héc-ta?

Lời giải:

Đổi: 5 km 60 dam = 5 600 m

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

5600 : 2 = 2 800 (m)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là:

(2 800 + 800) : 2 = 1 800 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

1800 - 800 = 1 000 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m²) = 180 (ha)

Đáp số: 180 ha

Câu 6: Theo dự định, một xưởng một phải làm trong 24 ngày, mỗi ngày đóng được 15 bộ bạn ghế thì sẽ hoàn thành kế hoạch. Do cải tiến kỹ thuật mỗi ngày xưởng đóng được 20 bộ bàn ghế. Hỏi xưởng làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành kế hoạch?

Lời giải:

Số bộ bàn ghế xưởng mộc làm trong hai mươi bốn giờ là:

15 × 24 = 360 (bộ bàn ghế)

số ngày xưởng mộc đó làm để hoàn thành kế hoạch là:

360 : 20 = 18 (ngày)

Đáp số: 18 ngày.

Câu 7: Theo dự định, một xưởng mộc phải làm trong 30 ngày, mỗi ngày đóng được 12 bộ bàn ghế thì mới hoàn thành kế hoạch. Do cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng đó đóng được 18 bộ bàn ghế. Hỏi xưởng mộc làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành kế hoạch?

Lời giải:

Số bộ bàn ghế cần phải đóng là:

12 × 30 = 360 (bộ)

Thực tế, số ngày để hoàn thành kế hoạch là:

360 : 18 = 20 (ngày)

Đáp số: 20 ngày

Câu 8: Thửa ruộng thứ nhất thu hoạch được 1 070 ki – lô – gam thóc. Thửa ruộng thứ hai thu hoặc được nhiều hơn thửa ruộng thứ nhất 386 ki – lô – gam thóc. Hỏi trung bình mỗi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki – lô – gam thóc?

Lời giải:

Số thóc thửa ruộng thứ hai thu hoạch được số ki - lô - gram thóc là:

1 070 + 386 = 1 456 (kg)

Trung bình mỗi thửa ruộng thu hoạch được số ki - lô - gam thóc là:

(1 070 + 1 456) : 2 = 1 263 (kg)

Đáp số: 1 263 kg thóc

Câu 9: Tổng số tuổi của hai cha con là 56 tuổi. Biết rằng cha hơn con 28 tuổi. Tính tuổi mỗi người.

Lời giải:

Cha có số tuổi là:

(56 + 28) : 2 = 42 (tuổi)

Con có số tuổi là:

56 − 42 = 14 (tuổi)

Đáp số: cha: 42 tuổi; con: 14 tuổi

Câu 10: Hai cha con có tất cả 53 tuổi. Biết rằng lúc cha 27 tuổi mới sinh con. Tính tuổi của mỗi người?

Lời giải:

Lúc cha sinh ra con là 27 tuổi. Vậy cha hơn con 27 tuổi

Tuổi cha là:

(53 + 27) : 2 = 40 (tuổi)

Tuổi con là:

53 − 40 = 13 (tuổi)

Đáp số: cha: 40 tuổi; con: 13 tuổi

Câu 11: Một khu đất dạng hình bình hành có độ dài đáy 1 hm 25 m, chiều cao bằng $\frac{4}{5}$  độ dài đáy. Hỏi khu đất đó có diện tích bao nhiêu đề-ca-mét vuông?

Lời giải:

Đổi: 1 hm 25 m = 125 m

Chiều cao của khu đất hình bình hành là:

$125\times \frac{4}{5}=100\left(m\right)$

Diện tích khu đất hình bình hành là:

100 × 125 = 12 500 (m²) = 125 (dam²)

Đáp số: 125 dam².

Câu 12: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰. Chứng minh: A chia hết cho 3, 7, 105

Lời giải:

a) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2²) + 2²(2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(2 + 2²)

= (2 + 2²)(1 + 2² + ... + 2⁵⁸)

= 6(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3.

b) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³) + 2³(2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷(2 + 2² + 2³)

= (2 + 2² + 2³)(1 + 2³ + ... + 2⁵⁷)

= 14(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7.

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) +  ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 259 + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) +  ... + 2⁵⁶(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴)(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶)

= 30(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶) ⋮ 15

Vì (15, 7) = 1 nên A chia hết cho 7 × 15

Vậy A ⋮ 105.

Câu 13: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰. Chứng minh: A chia hết cho 6.

Lời giải:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2²) + 2²(2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(2 + 2²)

= (2 + 2²)(1 + 2² + ... + 2⁵⁸)

= 6(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 6

Vậy A ⋮ 6.

Câu 14: Một hình vuông được chia thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Biết diện tích hình vuông lớn là 100 cm². Tính chu vi hình vuông nhỏ.

Lời giải:

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là:

100 : 4 = 25 (cm²)

Ta có 25 = 5 × 5

Do đó cạnh của mỗi hình vuông nhỏ là 5 cm.

Chu vi hình vuông nhỏ là: 5 × 4 = 20 (cm)

Đáp số: 20 cm.

Câu 15: Một hình vuông có chu vi bằng 36 cm được cắt thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Hỏi tổng chu vi của tất cả hình vuông nhỏ.

Lời giải:

Cạnh hình vuông lớn là:

36 : 4 = 9 (cm)

Diện tích hình vuông lớn là:

9 × 9 = 81 (cm²)

Vì hình vuông lớn được cắt thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau

Diện tích một hình vuông bé là:

81 : 4 = 20,25 (cm²)

Cạnh hình vuông bé là: 4,5 (cm)

Chu vi hình vuông bé là:

4,5 × 4 = 18 (cm)

Chu vi bốn hình vuông bé là:

18 × 4 = 72 (cm)

Đáp số: 72 cm

Câu 16: Cho B = 23! + 19! − 15!. Chứng minh: 

a) B chia hết cho 11.

b) B chia hết cho 110.

Lời giải:

a) Ta có :

• 23! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…23 chia hết cho 11, 10

• 19! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…19 chia hết cho 11, 10

• 15! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…15 chia hết cho 11, 10

Nên B = 23! + 19! − 15! chia hết cho 11 và 10

b) Do (11, 10) = 1 nên  B chia hết cho 11 × 10 hay B chia hết cho 110. 

Câu 17: Có 54 con vừa gà, vừa mèo. Tất cả có 154 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con mèo?

Lời giải:

Gọi số con gà là x (con), số con mèo là y (con) (x, y ∈ ℕ*; x, y ≤ 54)

Theo bài ra ta có:

x + y = 54 ⇒ x = 54 − y (*)

Tổng số chân gà và chó là:

2x + 4y = 154        (1)

Thay (*) vào (1) ta được biểu thức:

2(54 − y) + 4y = 154

⇔ 108 − 2y + 4y = 154

⇔ 2y = 46

⇔ y = 23 (TMĐK)

Hay số mèo là 23 con.

Do đó số gà là:

54 − 23 = 21 (con)

Vậy số gà là 21 con; số mèo là 23 con.

Câu 18: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích khu vườn đó. Biết rằng nếu bớt chiều dài 5 m và tăng chiều rộng 5 m thì diện tích tăng 225 m²

Lời giải:

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật đó là:

225 : 5 = 45 (m)

Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật ban đầu là:

(45 + 5) : 2 = 25 (m)

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật ban đầu là:

25 × 3 = 75 (m)

Diện tích khu vườn hình chữ nhật đó là:

75 × 25 = 1 875 (m²)

Đáp số: 1 875 m².

Câu 19: Một phép chia có số chia bằng 57, số dư bằng 24. Hỏi phải bớt đi ở số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết. Khi đó thương thay đổi thế nào?

Lời giải:

Phép chia hết tức là không còn tồn tại số dư.

Như vậy muốn giảm số bị chia để phép chia ban đầu thành phép chia hết thì ta phải bỏ đi số dư, tức là số bị chia sẽ bị giảm đi 1 lượng đúng bằng số dư

Số bị chia = 57 × Thương + 24

Như vậy phải bớt đi ở số bị chia ít nhất 24 đơn vị để được phép chia hết

Số bị chia − 24 = 57 × Thương

Lúc này, thương vẫn không đổi.

Câu 20: Nếu ta chia số bị chia cho 2 lần số bị chia thì ta được 6. Nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì ta cũng được 6.  Tìm số bị chia và số chia.

Lời giải:

Chia số bị chia cho hai lần số chia thì thương giảm đi 2 lần. 

Thương ban đầu là: 

6 × 2 = 12 Chia số bị chia cho ba lần số thương thì số chia giảm đi 3 lần. 

Do đó, số chia ban đầu là: 

6 × 3 = 18 

Số bị chia ban đầu là: 

18 × 12 = 216 

Đáp số: số bị chia: 216; số chia: 18.

Câu 21: Nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. Còn nếu chia số bị chia cho 3 lần số thương ta cũng được 0,6. Tìm số bị chia số chia và số thương trong phép chia đầu tiên?

Lời giải:

Nếu chia số bị chia cho hai lần số chia thì thương sẽ giảm đi hai lần

Thương ban đầu là:

0,6 × 2 = 1,2

Nếu chia số bị chia cho ba lần thương thì số chia giảm đi 3 lần

Số chia ban đầu là:

0,6 × 3 = 1,8

Số bị chia ban đầu là:

1,8 × 1,2 = 2,16

Đáp số: 2,16 và 1,8

Câu 22: Trên một bản đồ tỉ lệ 1 : 1000 có hình vẽ một khu đất hình chữ nhật với chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm. Tính diện tích khu đất đó bằng đơn vị ha.

Lời giải:

Chiều dài thật khu đất đó là:

6 × 1 000 = 6 000 (cm)

Chiều rộng thật khu đất đó là:

4 × 1 000 = 4 000 (cm)

Diện tích khu đất đó là:

6 000 × 4 000 = 24 000 000 (cm2)

Đổi : 24 000 000 cm² = 0,24 ha

Đáp số: 0,24 ha

Câu 23: Tính nhanh: 3 577 + 1 456 + 6 423 – 456.

Lời giải:

3 577 + 1 456 + 6 423 − 456

= (3577 + 6423) + (1456 − 456)

= 10 000 + 1 000

= 11 000.

Câu 24: Tính bằng cách thuận tiện: 2 547 + 1 456 + 6 923 – 456.

Lời giải:

2 547 + 1 456 + 6 923 − 456

= (2 547 + 6 923) + (1 456 − 456)

= 9 470 + 1 000

= 10 470.

Câu 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + y³ + z³ − 3xyz.

Lời giải:

x³ + y³ + z³ − 3xyz

= (x + y)³ − 3xy(x + y) + z³ − 3xyz

= (x + y)³ + z³ − 3xy(x + y) − 3xyz

= (x + y + z)[(x + y)² − z(x + y) + z²] − 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y)² − z(x + y) + z² − 3xy]

= (x + y + z)(x² + y² + z² − xz − yz − xy).

Câu 26: Phân tích đa thức (x + y + z)³ − x³ − y³ − z³ thành nhân tử.

Lời giải:

(x + y + z)³ − x³ − y³ − z³

= x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3y²z + 3yz² + 3z²x + 3zx² + 6xyz − x³ − y³ − z³

= 3(xyz + x²y + zx² + z²x + xy² + y²z + xyz + yz²)

= 3[xy(x + z) + xz(x + z) + y²(x + z) + yz(x + z)]

= 3(x + z)[xy + xz + y² + yz]

= 3(x + z)[x(y + z) + y(y + z)]

= 3(x + y)(x + z)(y + z).

Câu 27: Cho dãy số: 10; 13; 18; 26; 39; 60; … Tìm quy luật dãy số rồi viết tiếp 2 số vào dãy số.

Lời giải:

Quy luật: Lấy 2 số phía trước cộng cho nhau rồi trừ đi 5 sẽ ra số tiếp theo.

Ví dụ:

10 + 13 − 5 = 18

13 + 18 − 5 = 26

………

Vậy số thứ nhất cần điền là:

39 + 60 − 5 = 94

Số thứ hai cần điền là:

60 + 94 − 5 = 149.

Câu 28: Tìm số hạng tiếp theo của dãy sau: 10; 13; 18; 26; …

Lời giải:

10 + 13 − 5 = 18

13 + 18 − 5 = 26

Vậy số tiếp theo cần điền là:

18 + 26 − 5 = 39.

Câu 29: Một hình chữ nhật gồm các ô vuông như hình vẽ. Hãy cắt hình chữ nhật thành 3 mảnh rồi ghép thành một hình vuông.

Lời giải:

Bước 1: Cắt chia hình 9 × 4 (ô) đó thành hình 6 × 4 (ô) và hình 3 × 4 (ô)

Bước 2: Cắt hình 3 × 4 (ô) thành hai hình bằng nhau 3 × 2 (ô) và 3 × 2 (ô)

Bước 3: Nối 2 hình 3 × 2 (ô) lên hình 6 × 4 (ô) ta được hình vuông 6 × 6 (ô)

Câu 30: Một nhà trẻ chuẩn bị gạo cho 120 em bé ăn trong 60 ngày. Nhưng sau 20 ngày có một số em đến thêm, nên số gạo còn lại chỉ đủ ăn trong 30 ngày. Hỏi có bao nhiêu em mới đến thêm? Biết suất ăn của các em được quy định bằng nhau.

Lời giải:

Số ngày đủ để cho 120 học sinh ăn hết số gạo còn lại sau 20 ngày là:

60 − 20 = 40 (ngày)

1 học sinh ăn số gạo còn lại trong:

40 × 120 = 4800 (ngày)

Số học sinh đủ để ăn trong 30 ngày là:

4800 : 30 = 160 (học sinh)

Số học sinh mới đến thêm là:

160 − 120 = 40 (học sinh)

Đáp số: 40 học sinh.

Câu 31: Có 2 thửa ruộng trồng lúa năng suất như nhau, thửa ruộng thứ nhất lớn gấp 2 lần thửa ruộng thứ hai, biết thửa ruộng thứ hai có chiều dài 42 m, chiều rộng 26 m và 1 m² thu được 2 kg thóc. Hỏi 2 thửa ruộng thu được bao nhiêu kg thóc?

Lời giải:

Thửa ruộng thứ nhất có diện tích là:

42 × 26 = 1 092 (m²)

Thửa ruộng thứ hai có diện tích là:

1 092 × 2 = 2 184 (m²)

Tổng diện tích của hai thửa ruộng là:

1 092 + 2 184 = 3 276 (m²)

Vậy 2 thửa ruộng thu được số kg thóc là:

3 276 × 2 = 6 552 (kg)

Đáp số: 6 552 kg thóc.

Câu 32: Có hai thửa ruộng trồng lúa năng suất như nhau, thửa ruộng thứ nhất lớn gấp 3 lần thửa ruộng thứ hai, biết thửa ruộng thứ hai có chiều dài 42 m, chiều rộng 26 m và 1 m² thu được 2 kg thóc. Hỏi 2 thửa ruộng thu được bao nhiêu kg thóc?

Lời giải:

Thửa ruộng thứ nhất có diện tích là:

42 × 26 = 1 092 (m²)

Thửa ruộng thứ hai có diện tích là:

1 092 × 3 = 3 276 (m²)

Tổng diện tích của hai thửa ruộng là:

1 092 + 3276 = 4 368 (m²)

Vậy 2 thửa ruộng thu được số kg thóc là:

4 368 × 2 = 8 736 (kg)

Đáp số: 8 736 kg thóc.

Câu 33: Bác Tư trồng lúa mì trên hai mảnh đất cuối năm thu được 5 795 kg. Mảnh đất thứ hai thu kém mảnh đất thứ nhất 1 125 kg. Hỏi mảnh đất thứ hai được bao nhiêu yến lúa mì?

Lời giải:

Mảnh đất thứ 2 thu được số yến lúa mì là:

(5795 − 1125) : 2 = 2335 (kg)

Đổi: 2335 kg = 233,5 yến

Đáp số: 233,5 yến.

Câu 34: Trung bình cộng của hai số là 138. Biết số thứ nhất là số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số. Tìm số thứ hai.

Lời giải:

Số lẻ nhó nhất có 3 chữ số là 101

Số thứ hai là:

138 × 2 − 101 = 175

Đáp số: 175.

Câu 35: Viết số thích hợp và chỗ chấm:

150 cm² = … dm² … cm²

2010 m² = … dam² … m²

Lời giải:

150 cm² = 1 dm² 50 cm²

2010 m² = 20 dam² 10 m²

Câu 36: Viết số thích hợp và chỗ chấm:

a) 150 cm² = … dm² … cm²

b) 423 dm² = … m² … dm²

c) 709 mm² = … cm² … mm²

d) 2010 m² = … dam² … m²

e) 4,567409 km² = … hm² = … dam² = … cm²

f) 8,07 ha = … dam² = … m²

Lời giải:

a) 150 cm² = 1 dm² 50 cm²

b) 423 dm² = 4 m² 23 dm²

c) 709 mm² = 7 cm² 9 mm²

d) 2010 m² = 20 dam² 10 m²

e) 4,567409 km² = 456,7409 hm² = 45674,09 dam² = 45 674 090 000 cm²

f) 8,07 ha = 807 dam² = 80 700 m²

Câu 37: Có 15 người làm xong 2 đơn hàng trong 8 ngày. Hỏi làm 4 đơn hàng như thế trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? (Biết năng suất mỗi người như nhau)

Lời giải:

Làm 2 đơn hàng trong 5 ngày cần số người là:

15 × 8 : 5 = 24 (người)

Làm 4 đơn hàng trong 5 ngày cần số người là:

24 : 2 × 4 = 48 (người)

Đáp số: 48 người.

Câu 38: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y).

Lời giải:

x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y)

= x⁴y − x⁴z + y⁴z − y⁴x + z⁴x − z⁴y

= xy(x³ − y³) − z(x⁴ − y⁴) + z⁴(x − y)

= xy(x − y)(x² + xy + y²) − z(x − y)(x + y)(x² + y²) + z⁴(x − y)

= (x − y)[xy(x² + xy + y²) − z(x + y)(x² + y²) + z⁴]

= (x − y)(x³y + x²y² + xy³ − x³z − x²yz − xy²z − y³z + z⁴)

= (x − y)[x²y(x − z) + xy²(x − z) + y³(x − z) − z(x³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²y + xy² + y³ − z(x² + xz + z²)]

= (x − y)(x − z)(x²y + xy² + y³ − zx² − xz² − z³)

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y² − z²) + (y³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y² + yz + z²)]

= (x − y)(x − z)(y − z)(x² + y² + z² + xy + xz + yz).

Câu 39: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c² = (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² và ab + bc + ca = 9. Tính a + b + c.

Lời giải:

a² + b² + c² = (a − b)² + (b − c)² + (c − a)²

⇔ a² + b² + c² = a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ca + a²

⇔ a² + b² + c² = 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² = 18

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 18 + 18

⇔ (a + b + c)² = 36

Mà a, b, c là các số thực dương ⇒ a + b + c > 0.

Vậy a + b + c = 6.

Câu 40: Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

Vì (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

⇔ a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ca + a² ≥ 0

⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Câu 41: Cho f(x) = x⁵ − 3x⁴ + x² − 5 và g(x) = 2x⁴ + 7x³ − x² + 6. Tìm hiệu f(x) − g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến.

Lời giải:

Ta có:

f(x) − g(x) = (x⁵ − 3x⁴ + x² − 5) − (2x⁴ + 7x³ − x² + 6)

= x⁵ − 3x⁴ + x² − 5 − 2x⁴ − 7x³ + x² − 6

= x⁵ + (−3x⁴ − 2x⁴) − 7x³ + (x² + x²) + (−5 − 6)

= x⁵ − 5x⁴ − 7x³ + 2x² – 11.

Câu 42: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 0,075 kg = ……… g

Lời giải:

0,075 kg = 75 g

Câu 43: Viết số thích hợp vào chỗ chấm:

5 cm² = ... mm²

12 km² = .... hm²

1 hm² = ...... m²

7 hm² =  ..... m²

1 m2 = ...... cm2

5 m² = ....... cm²

12 m² 9 dm² = ..... dm²

37 dam² 24 m² =  .... m²

Lời giải:

5 cm² = 500 mm²

12 km² = 1 200 hm²

1 hm² = 10 000 m²

7 hm² =  70 000 m²

1 m² = 10 000 cm²

5 m² = 50 000 cm²

12 m² 9 dm² =1 209 dm²

37 dam² 24 m² = 3 724 m²

Câu 44: Cho a²(b + c) = b²(c + a) = 2018 với a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Tìm giá trị của biểu thức c²(a + b).

Lời giải:

Ta có: a²(b + c) = b²(c + a)

⇔ a²b + a²c = b²c + b²a

⇔ a²b −  b²a + a²c − b²c = 0

⇔ ab(a − b) + c(a² − b²) = 0

⇔ ab(a − b) + c(a − b)(a + b) = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)(ab + bc + ca) = 0

Do a ≠ b ⇒ ab + bc + ca = 0

Xét hiệu c²(a + b) − a²(b + c) = ac² + bc² − a²b − a²c

= ac(c − a) + b(c − a)(c + a)

= (c − a)(ac + bc + ab) = 0

Do đó: c²(a + b) = a²(b + c) = 2018

Câu 45: Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thõa mãn a²(b + c) = b²(c + a) = 2013. Tìm giá trị H = c²(a + b).

Lời giải:

Ta có: a²(b + c) = b²(c + a)

⇔ a²b + a²c = b²c + b²a

⇔ a²b −  b²a + a²c − b²c = 0

⇔ ab(a − b) + c(a² − b²) = 0

⇔ ab(a − b) + c(a − b)(a + b) = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)(ab + bc + ca) = 0

Do a ≠ b ⇒ ab + bc + ca = 0

Xét hiệu c²(a + b) − a²(b + c) = ac² + bc² − a²b − a²c

= ac(c − a) + b(c − a)(c + a)

= (c − a)(ac + bc + ab) = 0

Do đó: H = c²(a + b) = a²(b + c) = 2013

Câu 46: Cho các chữ số 1, 3, 4, 7, 8. Từ năm chữ số này có thể lập được tất cả bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau?

Lời giải:

Chữ số có năm chữ số cần tìm có dạng:  $\overline{abcde}$

Vì số cần tìm là số chẵn nên e có 2 cách chọn: 4, 8

Chọn chữ số a có 4 cách chọn

Chọn chữ số b có 3 cách chọn

Chọn chữ số c có 2 cách chọn

Chọn chữ số d có 1 cách chọn

Vậy có tất cả 2.4.3.2.1 = 48 số có thể lập được

Câu 47: Cho 2 số có tổng là 20,47. Nếu số hạng thứ nhất gấp lên 3 lần, số hạng thứ hai gấp lên 5 lần thì tổng mới là 77,07. Tìm hai số đã cho

Lời giải:

Nếu cả hai số gấp lên 33lần thì tổng của chúng là: 

20,47 × 3 = 61,41

Số thứ hai là: 

(77,07 − 61,41) : (5 − 3) = 7,83

Số thứ nhất là: 

20,47 − 7,83 = 12,64

Đáp số: 7,83 và 12,64