Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 102)

152. Một trường tiểu học được xây trên một khu đất, trong đó diện tích khu phòng học được xây dựng là 1500 m², chiếm 60% diện tích khu đất, diện tích đường đi chiếm 10% diện tích khu đất, phàn còn lại là sân chơi, bãi tập. Tính diện tích sân chơi, bãi tập.

Phương pháp giải: 

Tính diện tích khu đất dựa trên diện tích và tỉ lệ phần trăm của khu phòng học.

Tính phần trăm diện tích còn lại dành cho sân chơi và bãi tập.

Tính diện tích sân chơi và bãi tập dựa trên tỉ lệ phần trăm này.

Lời giải:

Diện tích khu đất là :

1500 : 60 x 100 = 2500 m²

Tỉ số phần trăm giữa sân chơi bãi tập so với diện tích khu đất là :

100% - 60% - 10% = 30%

Diện tích sân chơi bãi tập là :

2500 : 100 x 30 = 750 m²

Đáp số : 750 m²

153. Một tổ công nhân làm theo kế hoạch phải trồng một số cây chia làm 3 đợt. Đợt 1 trồng $\frac{1}{3}$ số cây, đợt 2 trồng $\frac{3}{7}$ số cây, đợt 3 trồng nốt 160 cây. Tính số cây mà tổ đó phải trồng theo kế hoạch.

Phương pháp giải: 

Tính tổng số cây đợt 3 trồng được.

Dùng số liệu về các đợt trồng để tìm ra số cây cần trồng trong kế hoạch.

Lời giải:

Đợt 3 trồng số cây là : 

$1-\frac{1}{3}-\frac{3}{7}=\frac{5}{21}$ (  tổng số cây ) 

Số cây mà tổ đó phải trồng theo kế hoạch là : 

$160:\frac{5}{21}=672$ ( cây ) 

Đ/s : $672$ cây

154. Tính tổng S=1+2+3+4+...+1998+1999

Phương pháp giải: 

Tính số lượng số hạng của S

Tính tổng của S

Lời giải:

Số lượng số hạng là:

$(1999-1):1+1=1999$ (số hạng)

Tổng của S là:

$(1999+1)\times 1999:2=1999000$

Đáp số: 1999000

155. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: S = $\frac{a}{b + 2c} + \frac{b}{c + 2a} + \frac{c}{a + 2b} \ge 1$

Phương pháp giải: 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng mở rộng để chứng minh bất đẳng thức trên.

Ta luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge {(ax+by+cz)}^2.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}.$

 Ta luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\ge {(a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n)}^2.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=...=\frac{a_n}{x_n}.$

Lời giải:

S = $\frac{a}{b + 2c} + \frac{b}{c + 2a} + \frac{c}{a + 2b}$= $\frac{a^2}{ab + 2ac} + \frac{b^2}{bc + 2ab} + \frac{c^2}{ac + 2bc}$​

$\Rightarrow S \ge \frac{{(a+b+c)}^2}{3(ab+bc+ca)}\ge \frac{3(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)} = 1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

156. Tính giá trị của P = 2y⁴ + 7x - 2z⁴ biết x,y,z nguyên và thỏa mãn ( x² + 1 )² + ( y - z )² = 100

Phương pháp giải: 

Bước 1: Phân tích điều kiện $(x^2 + 1)^2 + (y - z)^2 = 100$

Bước 2: Thử các giá trị của x và tính ( x² + 1 )²

Bước 3: Tìm $y$ và $z$ khi $x = 3$ hoặc $x = -3$

Bước 4: Tính $P$ với các giá trị tìm được

Bước 5: Thay các giá trị của $x$

Kết luận

Lời giải:

Vì $(x^2 + 1)^2$ là một số nguyên không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 100, nên ta có thể xem xét các giá trị có thể của $x$ sao cho $(x^2 + 1)^2 \leq 100$.

$\Rightarrow x^2+1\le \sqrt{100}=10$

Suy ra $x^2 \leq 9$, tức là $x$ có thể nhận các giá trị $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Ta có bảng sau:

Ta thấy chỉ có hai giá trị của $(x^2+1{)}^2 = 100$khi $x = 3$ hoặc $x = -3$.

Khi $(x^2 + 1)^2 = 100$, điều kiện còn lại là:

$(y-z{)}^2=100-100=0$

Suy ra $y = z$.

Vì $y = z$, ta có:

$P=2y^4+7x-2z^4=2y^4+7x-2y^4=7x$

Ta có: $P = 7x$.

Với $x = 3$:

$P=7\times 3=21$

Với $x = -3$:

$P=7\times (-3)=-21$

Vậy, giá trị của $P$ có thể là $21$ hoặc $-21$.

157. Cho tam giác ABC có góc B = 45 độ và góc C = 15 độ. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Tính góc DCB.

Phương pháp giải: 

Sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác cân để tìm mối quan hệ giữa các góc và độ dài các đoạn thẳng.

Sử dụng trung điểm và tính chất của tam giác đều trong tam giác vuông.

Áp dụng các tính chất đối xứng trong các tam giác vuông cân để suy ra các góc cần tìm.

Lời giải:

Gọi F là trung điểm của CD

Có FE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông CDE

$\Rightarrow FE = CF = FD = BC = \frac{CD}{2}$

⇒ ΔCFE cân

Mà $180° - \widehat{BCA} = \widehat{FCE}$

$\Rightarrow \widehat{FCE} = 60°$

$\Rightarrow ∆CFE đều$

$\Rightarrow CF = FE = CE$

Xét tam giác BFE và DCE có:

CE = FE

$\widehat{FCE} = \widehat{CFE} = 60°$

BF = CD(BC = CF = FD)

$\Rightarrow ∆BFE = ∆DCE (c-g-c)$

$\widehat{FBE} = \widehat{CDE} = 90° - 60°= 30°$

$\Rightarrow ∆BED cân tại E$

⇒BE=ED (1)

Xét Δ ABC có:

$$\begin{gathered} \widehat{ABC }+ \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180° \\ \Rightarrow \widehat{CAB} = 180° - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180° - 165° = 15° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Mà} \\ \widehat{ EBA} + \widehat{FBE} = \widehat{CBA} = 45° \\ \Rightarrow \widehat{EBA} = 45° - 30° = 15° = \widehat{CAB} \\ \Rightarrow ∆BEA cân tại E \end{gathered}$$

=> BE = AE (2)

Từ (1) và (2) => ED = AE.

=> Δ ADE cân tại E

Đồng thời tam giác ADE có $\widehat{DEA} = 90°$

⇒ ΔADE là tam giác cân vuông

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{EDA} = \widehat{DAE} = \frac{90°}{2} = 45° \\ \mathrm{Mà} \widehat{\mathrm{BDA}} = \widehat{\mathrm{CDE}} - \widehat{\mathrm{EDA}} = 30° + 45° = 75° \end{gathered}$$

158. 1 đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20,25,30 đều dư 15, xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị biết số người bé hơn 1000.

Phương pháp giải: 

Thiết lập phương trình:

Sử dụng điều kiện xếp hàng để lập các phương trình modulo (số người dư 15 khi xếp theo 20, 25, 30 và vừa đủ khi xếp theo 41).

Tính bội chung nhỏ nhất (BCNN):

Tính BCNN của các số 20, 25, 30 để có được dạng của số người (trừ 15) phải là bội chung của BCNN.

Thay vào điều kiện:

Viết lại số người theo dạng $a = 300k + 15$ (với $k$ là số nguyên).

Sử dụng điều kiện xếp hàng 41 để lập phương trình mới.

Giải phương trình:

Tìm $k$ từ phương trình và xác định điều kiện $a < 1000$.

Kết luận:

Tính giá trị cuối cùng của $a$ và kiểm tra điều kiện.

Kết quả cuối cùng cho thấy đơn vị bộ đội có 615 người.

Lời giải:

Gọi số người đơn vị bộ đội là a ($a\in {\mathrm{N}}^{\ast }$)

Ta có $\{\begin{array}{l}a:20\text{ dư 15}\\ a:25\text{ dư 15}\\ a:30\text{ dư 15}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(a-15)⋮20\\ (a-15)⋮25\\ (a-15)⋮30\end{array}\Rightarrow (a-15)\in BC(20;25;30)$

Phân tích ra thừa số nguyên tố 

20 = 2².5

25 = 5²

30 = 2.3.5

=> BCNN(20;25;30) = 22.3.52 = 300

Vì BC(20;25;30) $\in B\left(300\right)$

=> a - 15 $\in B\left(300\right)$

=> $a-15\in \{0;300;600;900;1200;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$

=> $a\in \{15;315;615;915;1215;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$

Lại có $\{\begin{array}{l}0<a<1000\\ a⋮41\end{array}\Rightarrow a=615$ (tm)

Vậy đơn vị đó có 615 người

159. Cho hình vuông ABCD . Tính cos(MAN) biết rằng M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CD.

Phương pháp giải: 

Gọi H là giao điểm của NA và DM.

Tính cos của góc MAN theo AH và AM.

Lời giải:

160. Thùng thứ nhất chứa 160 lít dầu,thùng thứ hai chứa 115 lít dầu. Người ta lấy ra ở mỗi thùng số lít dầu như nhau thì số dầu còn lại ở thùng thứ nhất gấp 4 lần số dầu còn lại ở thùng thứ 2. Hỏi mỗi thùng lấy ra bao nhiêu lít dầu?

Phương pháp giải: 

Tính số dầu chênh lệch giữa hai thùng sau khi lấy ra cùng một số lít dầu.

Tính số dầu còn lại ở thùng hai.

Tính số dầu đã lấy ra ở thùng hai và số dầu này bằng số dầu lấy ra ở thùng một.

Nhận xét và kết luận.

Lời giải:

Khi lấy ra với cùng một số lít dầu thì thùng thứ nhất vẫn hơn thùng thứ hai là:

$160-115=45\left(l\right)$

Số lít dầu còn lại ở thùng thứ hai là: 

$45:(4-1)=15\left(l\right)$

Số lít dầu lấy ra ở thùng thứ hai là:

$115-15=100\left(l\right)$

Số lít dầu lấy ra ở thùng thứ hai cũng chính là số lít dầu lấy ra ở thùng thứ nhất.

Vậy mỗi thùng đều lấy ra 100 lít dầu