a) Có một số cây bút chì trong hộp, Lan lấy ra một nửa số bút chì, nhưng đã bỏ lại 3 cây vào hộp, sau đó Bình lấy ra một nửa số bút chì đó, nhưng đã đặt lại 2 cây vào hộp, cuối cùng trong hộp còn 6 cây bút chì. Hỏi ban đầu trong hộp có bao nhiêu cây bút chì?

b) Quân đưa $\frac{1}{5}$ lương tháng của mình cho mẹ, và đưa $\frac{3}{4}$ số tiền còn lại cho vợ, anh giữ số còn lại cho mình. Biết anh chỉ giữ lại 400.000 đồng. Hỏi số tiền lương của anh là bao nhiêu?

Phương pháp giải: 

Làm ngược lại các bước từ cuối về đầu để tìm giá trị ban đầu.

Sử dụng phép nhân và chia để tìm số lượng ban đầu mà không cần đặt ẩn.

Dạng toán máy giải ngược từ cuối lên (Lấy kết quả tính ngược lên từng phép tính = cách đảo ngược dấu: phép cộng đổi thành phép trừ, phép trừ đổi thành phép cộng, phép chia đổi thành phép nhân; phép nhân đổi thành phép chia)

Lời giải:

a) Số cây bút chì còn khi Bình chưa lấy ra là:

(6 - 2) x 2 = 8 (cây)

Ban đầu trong hộp còn lại số cây bút chì là:

(8 - 3) x 2 = 10 (cây)

b) Tiền lương của Quân sau khi đưa cho mẹ là:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Tiền lương của Quân sau khi đưa cho vợ là:

$\frac{4}{5} x \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$

Số tiền Quân giữ cho mình là:

$\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

Số tiền lương của Quân là:

$400000 : \frac{1}{5} = 2000000$

Câu 13: Cho a + b + c = 2017 và $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = \frac{1}{10}$. Tính M = $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c\hspace{0.17em}+ a} + \frac{c}{a + b}$

Phương pháp giải: 

Sử dụng các điều kiện cho trước để đơn giản hóa và tính giá trị của M một cách gián tiếp.

Lời giải:

Ta có :

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{10}$​

$\Rightarrow 2017(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2017.\frac{1}{10}$​

$\Rightarrow \frac{2017}{a+b}+\frac{2017}{b+c}+\frac{2017}{c+a}=201,7$

Mà $2017=a+b+c$ nên :

$\Rightarrow \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=201,7$

$\Rightarrow (\frac{a+b}{a+b}+\frac{c}{a+b})+(\frac{b+c}{b+c}+\frac{a}{b+c})+(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b}{a+c})=201,7$

$3+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=201,7$$\iff M=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=201,7-3$

$\iff M=198,7$

Vậy ...

Câu 14: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Chứng minh AD² < AB.AC.

Phương pháp giải: 

Lấy E trên AC.

Chứng minh 2 tam giác đồng dạng: ADE và ABD.

Lời giải:

Lấy E trên AC sao cho  $\widehat{ADE}=\hat{B}$

Xét ∆ADE và ∆ABD có:

$\widehat{ADE}=\hat{B}$

$\widehat{BAD}=\widehat{DAE}$

⇒ ∆ADE ∽ ∆ABD (g.g)

⇒ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$ ⇒AD² = AB.AE < AB.AC.

Phương pháp chung

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

– Áp dụng tính chất của đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

– Áp dụng định lý Pythagore.

Dạng 2. Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích của hai tam giác

- Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.

- Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy; Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải: 

Giả sử B(0; b; 0); C(0; 0; c) với b, c > 0

Tính diện tích tam giác ABC.

Sử dụng định lý về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải:

 

Câu 16: Chứng minh rằng: Tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0

Phương pháp giải: 

Để chứng minh rằng tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0, ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (nguyên lý "chim bồ câu").

Lời giải:

Trong 1989 số được tạo bởi toàn chữ số 1

1

11

.......

1111...11 (1989 chữ số 1)

Khi lần lượt chia các số này cho 1989 ta sẽ có nhiều nhất 1989 phép chia có dư mà số dư của các phép chia này nằm trong khoảng từ 1 đến 1988. Theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ có ít nhất 2 số khi chia cho 1989 có cùng số dư.

Giả sử ta có 2 số là số A có m chữ số 1 và số B có n chữ số 1 khi chia cho 1989 có cùng số dư và giả sử m>n

$\Rightarrow A-B=C ⋮ 1989$

$\Rightarrow C=\mathrm{1111...00}$ (có m-n chữ số 1 và n chữ số 0) chia hết cho 1989 (dpcm).

Câu 17: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x + y)⁴ = 40x + 41

Phương pháp giải: 

Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương x và y thỏa mãn ( x + y )⁴ = 40x + 41, ta có thể biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức để giới hạn giá trị của x và y, sau đó kiểm tra các giá trị này để tìm các cặp thỏa mãn.

Lời giải:

Do x, y là số nguyên dương nên 40x < 41x; 41 $\le 41y$, khi đó ta có:

( x + y )⁴ = 40x + 41 < 41x + 41y = 41( x + y )

Suy ra ( x + y )⁴ < 41( x + y )

$\iff {(x+y)}^3<41<64=4^3$

$\Rightarrow x+y<4$ ( 1 )

Ta thấy x là số nguyên dương nên $40x+41\ge 40\times 1+41=81$

$\Rightarrow {(x+y)}^4\ge 81$

$\Rightarrow x+y\ge 3$ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra $3\le x+y<4$

Mà $(x+y\in {\mathrm{N}}^{\ast })\Rightarrow x+y=3$

Suy ra ( x ; y ) = (1; 2 ) ; ( 2 ; 1 ) ( do x, y là số nguyên dương )

Thử lại chỉ có x = 1 ; y = 2 thỏa mãn

Vậy x = 1 ; y = 2

Câu 18: Cho dãy 1004, 1010, 1016,...., 2012. Hỏi số 1760 có thuộc dãy không? Vì sao?

Phương pháp giải: 

Để xác định xem số 1760 có thuộc dãy số 1004, 1010, 1016, ..., 2012 hay không, ta cần kiểm tra xem nó có thể được viết dưới dạng phần tử tổng quát của dãy số này hay không. Dãy số này là một cấp số cộng có:

• • Số hạng đầu $a = 1004$
  • Công sai $d = 6$

Phần tử tổng quát của dãy có dạng: $a_n=a+(n-1)\times d$

Lời giải:

Ta có: 1010 - 1004 = 6

1016 - 1010 = 6

Dãy trên cách nhau 6 đơn vị 

Số 1760 thuộc số của dãy trên vì: (1760 - 1004) : 6 + 1 = 127

Câu 19: Tính nhanh: 101 - 102 - (-103) - 104 - (-105) - 106 - (-107) - 108 - (-109) - 110 

Phương pháp giải: 

Áp dụng phương pháp nhóm các cặp số lại với nhau và thực hiện các phép tính.

Lời giải:

101 - 102 - (-103) - 104 - (-105) - 106 - (-107) - 108 - (-109) - 110

= 101 - 102 + 103 - 104 + 105 - 106 + 107 - 108 + 109 - 110 

=  (101 - 102) + (103 - 104) + (105 - 106) + (107 - 108) + (109 - 110)

= (-1) +  (-1) +  (-1) +  (-1) +  (-1)

= (-1) . 5

= -5

 Một số phương pháp tính nhanh biểu thức:

Dạng 1: Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn... rồi cộng (hoặc trừ) các kết quả lại.

Trong một bài toán về tính giá trị biểu thức, học sinh cần quan sát xem có nhóm các số nào có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn hay không, từ đó nhóm các số đó lại để tính một cách thuận tiện nhất.

Công thức tổng quát: a + b + c = (a + b) + c

a - b - c = (a - b) - c 

Dạng 2: Vận dụng tính chất một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số, một hiệu chia cho một số.

Trong các phép tính tổng (hoặc hiệu), tích ( hoặc thương), học sinh cần chú ý các tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của các số để có thể tính một cách thuận tiện nhất.

Công thức tổng quát: 

- Một số nhân với một tổng: a x (b + c) = a x b + a x c

a x b + a x c = a x (b + c)

Dạng 3: Vận dụng các tính chất: một số nhân với 0, một số nhân với 1, một số chia cho 1, 0 chia cho một số.

Trong các phép tính giá trị biểu thức, học sinh cần chú ý quan sát có biểu thức nào kết hợp các số có cho kết quả đặc biệt như 0 hoặc 1 hay không, từ đó tính bằng cách thuận tiện nhất.

Tính chất đặc biệt:

Một số nhân với 0 luôn cho kết quả bằng 0

Một số nhân với 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó

Một số chia cho 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó

Số 0 chia cho một số luôn cho kết quả bằng 0

Công thức tổng quát:

a x 0 = 0

a x 1 =  a

a : 1 = a

0 : a = 0

Dạng 4: Vận dụng kiến thức về dãy số để tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất.

Vận dụng chủ yếu trong các dạng bài toán nâng cao về dãy số cách đều.

Công thức tổng quát:

Cách tìm số hạng của một dãy số cách đều: Số các số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1

Cách tính nhanh tổng của một dãy số cách đều:

Bước 1: Tính số các số hạng của dãy số cách đều (Theo công thức nêu trên)

Bước 2: Tính số cặp số của dãy số bằng cách lấy kết quả ở bước 1 chia cho 2 (Trường hợp dư 1 thì xem xét không ghép cặp 1 số)

Bước 3: Nhóm các cặp số hạng và tính tổng giá trị của cặp số (Chú ý có cặp số nào cho kết quả đặc biệt không, thông thường hay nhóm số đầu với số cuối)

Bước 4: Tính tổng dãy số bằng cách nhân kết quả ở bước 2 với kết quả ở bước 3, cộng thêm số không ghép cặp nếu có (tính tích số các cặp số nhân với tổng của một cặp số).

Câu 20: Lúc 7 giờ 15 phút 1 xe máy đi từ A với vận tốc 35km/giờ.đến 8 giờ một ô tô cũng đi từ A với vận tốc 50km/giờ và đi cùng chiều với xe máy.biết quãng đường AB dài 100km

Câu 23: Đẳng thức là gì?

Phương pháp giải: 

 Trình bày khái niệm đẳng thức

Lời giải:

Trong toán học, đẳng thức là mối quan hệ giữa hai đại lượng, hay tổng quát hơn, hai biểu thức, khẳng định rằng hai đại lượng hay giá trị đó bằng nhau, tức có cùng giá trị, hay cả hai đều biểu diễn cùng một đối tượng toán học. Đẳng thức giữa  và  được viết là và đọc là  bằng , trong đó và  được gọi là hai vế của đẳng thức. Ví dụ:

nghĩa là  và  cùng tượng trưng cho cùng một vật.

nghĩa là nếu  là một số bất kì, hai biểu thức đó vẫn có cùng giá trị. Trong trường hợp, cũng có thể nói là hai vế của đẳng thức tượng trưng cho cùng một hàm số.

Câu 24: Tìm $x\in Z$ sao cho: 14 - x = b + 9

Phương pháp giải: 

Chuyển vế để nhóm các hằng số và các biến.

Nhân cả hai vế với −1 để tìm giá trị của x.

Lời giải:

14 - x = b + 9

=> -x = b + 9 - 14

=> -x = b - 5

Mở rộng:

Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

Quy tắc nhân với -1

Khi nhân cả hai vế của một phương trình (hoặc một biểu thức) với −1, bạn cần thay đổi dấu của tất cả các hằng số và các biến trong biểu thức đó.

Câu 25: Tìm số tự nhiên x biết:

Phương pháp giải: 

Xác định yêu cầu bài toán

Xác định mối quan hệ chia hết

Áp dụng các định lý đại số

Tính BCNN hoặc ƯCLN

Lọc các giá trị hợp lệ

Lời giải:

a) x chia hết cho 12, x chia hết cho 15                         

suy ra x thuộc BC (12,15)                                         

Ta có : 12=3×2²                                                               

15=3×5                                                           

BCNN (12,15)=2²×3×5=60                                   

BC (12,15)=B (60)={0;60;120;180;240.....}               

x thuộc BC (12,15) và x nhỏ hơn 200 nên:               

x thuộc {0;60;120;180}

b) Vì x 180,270 đều chia hết cho x                             

Suy ra: x thuộc ƯC (180,270)                                   

Ta có :180 = 2² x 3² x 5                                  

270 = 2×3³ ×5                                                

ƯCLN (180,270) = 2×5×3³ = 90                                 

ƯC (180,270) = Ư(90) = {1;2;3;5;6;9;10;15;45;90}

Câu 26: Cho tam giác ABC , AB = 2 , AC = 3. Đường phân giác AD = 1,2. Tính góc BAC.

Phương pháp giải: 

Sử dụng định lý phân giác

Áp dụng định lý Talet

Sử dụng thông tin về độ dài và góc

Tính góc

Lời giải:

Qua B kẻ đường thằng song song AD cắt CA tại E

Có $\widehat{BAD}=\widehat{EBA}\left(slt\right);\widehat{DAC}=\widehat{E}$(đồng vị)

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\Rightarrow \widehat{EBA}=\widehat{E}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BAE$ cân tại A $\Rightarrow AB=AE=2$

Sử dụng định lý Talet

$\frac{AD}{EB}=\frac{AC}{EC}\Rightarrow \frac{1,2}{EB}=\frac{3}{AC+AE}\Rightarrow \frac{1,2}{EB}=\frac{3}{3+2}\Rightarrow \frac{1,2}{EB}=\frac{3}{5}$​

$\Rightarrow EB=1,2:\frac{3}{5}=\frac{1,2\cdot 5}{3}=\frac{6}{3}=2$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BAE$ đều => $\widehat{BAE}=60^o$

Mà $\widehat{BAE}$ kề bù $\widehat{BAC}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=120^o$

Câu 27: Tính hợp lí :

Phương pháp giải: 

Nhóm các phần tử chung.

Thực hiện tính các phép tính cơ bản.

Lời giải:

a,(−37−17).(−9)+35.(−9−11)

$=(-54)\mathrm{.}(-9)+35.(-20)$

$=486+(-700)$

$=-214$

$b,(-25)\mathrm{.}(75-25)-75.(45-25)$

= -25.75 + 25.25 - 75.45 + 75.25

= 25.(25 - 3.45)

= 25.(-110) = 25.(-100) - 25.(-10)

= -2500 - 250

$=-2750$

Câu 28: Tìm x biết: $5^x.5^{14 }= 5^{78}$

Phương pháp giải: 

Thực hiện tính toán ở phần mũ.

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: 

a^m . aⁿ = a^{m + n} 

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

a^m : aⁿ = a^{m - n}  (a # 0, m ≥ n)

Quy ước: a⁰ = 1 (a # 0) . 

Cùng phần cơ số nên suy ra x.

Lời giải:

Cách 1:

5^x . 5¹⁴ = 5⁷⁸

5^x = 5⁷⁸ : 5¹⁴

5^x = 5⁶⁴

=> x = 64

Cách 2:

5^x . 5¹⁴ = 5⁷⁸

5^x+14 = 5⁷⁸

x + 14 = 78

x = 78 - 14 = 64

Vậy x = 64

Câu 29: Trong một cuộc hội thảo mỗi người tham gia đều biết ít nhất một trong ba ngoại ngữ: Anh, Pháp, Nga.Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 17 người biết tiếng Nga, 13 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người biết tiếng Anh và tiếng Nga, 11 tiếng Pháp và tiếng Nga, 10 người biết cả ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo.

Phương pháp giải: 

Ta sử dụng công thức Inclusion-Exclusion để tính số người tham dự hội thảo, tức là số phần tử trong hợp ba tập hợp $A \cup B \cup C$(tổng số người biết ít nhất một ngoại ngữ).

Công thức tổng quát là:

$\mathrm{\mid }A\cup B\cup C\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap C\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }B\cap C\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }A\cap B\cap C\mathrm{\mid }$

Lời giải:

∣A∣=21: Số người biết tiếng Anh.

$|B| = 19$: Số người biết tiếng Pháp.

$|C| = 17$: Số người biết tiếng Nga.

$|A \cap B| = 13$: Số người biết tiếng Anh và tiếng Pháp.

$|A \cap C| = 12$: Số người biết tiếng Anh và tiếng Nga.

$|B \cap C| = 11$: Số người biết tiếng Pháp và tiếng Nga.

$|A \cap B \cap C| = 10$: Số người biết cả ba thứ tiếng.

∣A∪B∪C∣ = 21+19+17−13−12−11+10

∣A∪B∪C∣ = 57−36+10=31

Câu 30: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH

Phương pháp giải: 

a) Chứng minh $\Delta BHA \sim \Delta BAC$ và viết tỷ số đồng dạng:

Lý thuyết: Dựa vào định lý đồng dạng tam giác (góc-góc).

Chứng minh:

Góc $\angle BHA = \angle BAC = 90^\circ$.

Góc $\angle HBA$ là góc chung.

Suy ra: $\Delta BHA \sim \Delta BAC$.

Tỷ số đồng dạng:

$\frac{BH}{BA} = \frac{BA}{BC}$​.

b) Chứng minh $BH \cdot BC = BE \cdot BD$:

Lý thuyết: Dựa vào định lý đồng dạng tam giác (góc-góc).

Chứng minh:

Góc $\angle EBH = \angle BDC$ (góc chung).

Góc $\angle BHE = \angle BDC = 90^\circ$.

Suy ra: $\Delta BEH \sim \Delta BCD$.

Từ đó, ta có:

$BH \cdot BC = BE \cdot BD$.

Lời giải:

a) Xét ΔBHA và ΔBAC có:

+ góc BHA = góc BAC = 90 độ

+ góc HBA chung

=> ΔBHA ~ ΔBAC (g-g)

=> tỉ số đồng dạng là: $k=\frac{BH}{AB}=\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}$

b)

Xét ΔBEH và ΔBCD có:

+ góc EBH chung

+ góc BHE = góc BDC = 90 độ

=> ΔBEH ~ ΔBCD (g-g)

$\begin{array}{l}\frac{BE}{BC}=\frac{BH}{BD}\\ \Rightarrow BH.BC=BE.BD\end{array}$

Câu 31: Tìm các số nguyên x thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{5} + \frac{2}{7} - 1 < x < \frac{13}{3} + \frac{6}{5} + \frac{4}{15}$

Phương pháp giải: 

Quy đồng mẫu số và biến đổi bất phương trình để tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện cho trước.

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Chú ý: ta thường lấy mẫu số chung là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 và cùng chia hết cho tất cả các mẫu.

Lời giải:

$\frac{1}{5} + \frac{2}{7} - 1 < x < \frac{13}{3} + \frac{6}{5} + \frac{4}{15}$

$\iff {\displaystyle \frac{7}{35}}+{\displaystyle \frac{10}{35}}-{\displaystyle \frac{35}{35}}<x<{\displaystyle \frac{65}{15}}+{\displaystyle \frac{18}{15}}+{\displaystyle \frac{4}{15}}$

$\iff {\displaystyle \frac{-18}{35}}<x<{\displaystyle \frac{29}{5}}$​

$\iff {\displaystyle \frac{-18}{35}}<{\displaystyle \frac{35x}{35}}<{\displaystyle \frac{203}{35}}$

$\iff -18<35x<203$

$\iff x\in \{0;1;2;3;4;5\}$

Câu 32: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 3n³ + 10n² - 5 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n + 1

Phương pháp giải: 

Sử dụng phép chia đa thức và điều kiện để phép chia là chia hết.

Công thức áp dụng:

Phép chia đa thức: $f(x) = (g(x) \cdot q(x)) + r(x)$, trong đó $r(x)$ là phần dư.

Điều kiện chia hết: $r(x) = 0$.

Lời giải:

Ta có:  3n³ + 10n² - 5 = (3n + 1)(n² + 3n - 1) - 4

Để phép chia đó là chia hết thì 4 ⋮ 3n + 1⇒ 3n + 1 ∈ Ư(4)

3n + 1 ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

3n + 1 = -4⇒ 3n = -5⇒ n =  ∉ Z : loại

3n + 1 = -2⇒ 3n = -3⇒ n = -1 ∈ Z

3n + 1 = -1⇒ 3n = -2⇒ n =  ∉ Z : loại

3n + 1 = 1⇒ 3n = 0⇒ n = 0 ∈ Z

3n + 1 = 2⇒ 3n = 2⇒ n =  ∉ Z : loại

 3n + 1 = 4⇒ 3n = 3⇒ n = 1 ∈ Z

Vậy n ∈ {-1; 0; 1} thì  3n³ + 10n² - 5 chia hết cho 3n + 1.

Câu 33: Tìm số tự nhiên n để  $P=n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ là số chính phương 

Phương pháp giải: 

Biến đổi biểu thức $P$ và đưa về dạng $P = (n^2 + 1)(n + 1)^2$.

Suy ra $P$ là số chính phương khi $n^2 + 1$ và $(n + 1)^2$ đều là số chính phương.

Đặt $n^2 + 1 = a^2$, suy ra $(n + a)(n - a) = -1$.

Xét các giá trị của $n + a$ và $n - a$ để tìm $n$ nguyên.

Kết luận $n = 0$ là giá trị thỏa mãn.

Lời giải:

$P=n^4+2n^3+2n^2+2n+1$

$P = n^3(n + 1) + n^2(n + 1) + n(n + 1) + (n + 1)$

$P = (n^3 + n^2 + n + 1)(n + 1)$  

$P = [(n^3 + n^2) + (n + 1)](n + 1)$

$P = [n^2(n + 1) + (n + 1)](n + 1)$

$P = [(n^2 + 1)(n + 1)](n + 1)$

$P = (n^2 + 1)(n + 1)^2$

Mà $P$ là số chính phương, nên $(n+1)^2$ cũng là số chính phương. Do đó, $n^2 + 1$ phải là một số chính phương.

Đặt $n^2 + 1 = a^2$, với $a$ là số nguyên: Khi đó:

$n^2 - a^2 = -1$

$(n + a)(n - a) = -1$

Mà $n$ là số tự nhiên và $a$ là số nguyên, $n + a$ và $n - a$ là các số nguyên. 

$n + a = -1$ và $n - a = 1$

hoặc $n + a = 1$ và $n - a = -1$

Giải hệ phương trình: Với $n + a = -1$ và $n - a = 1$: $n = 0, \; a = -1$

Với $n + a = 1$ và $n - a = -1$: $n = 0, \; a = 1$

Kết luận: Vậy $n = 0$ là giá trị thỏa mãn.

Câu 34: Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức M = 2.(a³ + b³) - 3.(a² + b²)

Phương pháp giải: 

Sử dụng điều kiện $a + b = 1$ để biểu diễn $a^3 + b^3$ và $a^2 + b^2$ theo $a$ và $b$.

Áp dụng các hằng đẳng thức:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

Thay $a + b = 1$ vào các công thức trên để đơn giản hóa biểu thức.

Lời giải:

M= 2.(a³+b³) - 3.(a²+b²)

$=2(a+b)(a^2-ab+b^2)-3a^2-3b^2$

$=2(a^2-ab+b^2)-3a^2-3b^2$

$=2a^2-2ab+2b^2-3a^2-3b^2$

$=-a^2-2ab-b^2$

$=-{(a+b)}^2$

$=-1$

Vậy giá trụ của biểu thức M là - 1 tại a + b = 1

Câu 35: Trên một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 84,6m². Người ta sử dụng một nửa diện tích đó để trồng lúa, phần còn lại trồng ngô.

Phương pháp giải: 

Tính diện tích trồng lúa: Lấy diện tích toàn bộ thửa ruộng chia cho 2 để tìm diện tích phần trồng lúa.

Tính số kg thóc thu hoạch được: Nhân diện tích trồng lúa với sản lượng thu hoạch trên mỗi mét vuông.

Lời giải:

a) Diện tích trồng lúa là :

           84,6 : 2 = 42,3 ( m² )

b) Số kg thóc thu hoạch được là :

          42,3 x 5,2 = 219,96 ( kg )

Câu 36: Tìm phân số bằng phân số $\frac{32}{60}$ biết tổng của tử và mẫu là 115 

Phương pháp giải: 

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số:

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. 

Lời giải:

Ta có $\frac{32}{60}=\frac{8}{15}$. Theo tính chất cơ bản của phân số, phân số phải tìm có dạng $\frac{8m}{15m}(m\in Z,m\ne 0)$

Theo đầu bài thì $8m+15m=115\iff 23m=115\iff m=5$

Vậy phân số phải tìm là $\frac{8.5}{15.5}=\frac{40}{75}$.

Phương pháp chung:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

(Học sinh có thể tiến hành thêm bước thử lại để kiểm chứng kết quả)

Câu 37: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.  

Phương pháp giải: 

Gọi số công nhân ban đầu là $x$.

Vậy số sản phẩm mỗi công nhân phải làm trong kế hoạch ban đầu là $\frac{360}{x}$​.

Sau khi điều 3 công nhân đi làm việc khác, số công nhân còn lại là $x - 3$. Số sản phẩm mỗi công nhân còn lại phải làm là $\frac{360}{x - 3}$.

Điều kiện của bài toán

Giải phương trình: Giải phương trình này để tìm giá trị của $x$, số công nhân ban đầu.

Lời giải:

Gọi x là số công nhân $(\text{Đ}K:x>3)$

Số sản phẩm mỗi người làm ban đầu là $\frac{360}{x}$   

Số người sau khi chuyển là x - 3 

Số sản phẩm mỗi người phải làm lúc sau là $\frac{360}{x-3}$

Theo đề , ta có

$\frac{360}{x-3}-\frac{360}{x}=4$   

$\frac{360}{x-3}-\frac{360}{x}-4=0$  

$\frac{360\cdot x-360\cdot (x-3)-4\cdot x\cdot (x-3)}{x\cdot (x-3)}=0$

$360\cdot x-360\cdot (x-3)-4\cdot x\cdot (x-3)=0$   

$360x-360x+1080-4x^2+12x=0$ 

$-4x^2+12x+1080=0$ 

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=18\left(n\right)\\ x=(-15)\left(l\right)\end{array}$

Vậy lúc đầu tổ đó có 18 công nhân 

Phương pháp chung:

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Câu 38: Tìm Min cuả biểu thức A = ( x- 1)( x + 2 )(x + 3)(x + 6) + 2045

Phương pháp giải: 

Nhóm các yếu tố trong biểu thức: Ta nhóm các yếu tố lại để dễ dàng tính toán. Nhận thấy rằng (x−1)(x+6) và (x+2)(x+3) là các cặp nhân có thể đơn giản hóa.

Nhân các biểu thức đã rút gọn.

Tìm giá trị nhỏ nhất và kết luận.

Lời giải:

A=(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)+2045

$A=\left[(x-1)(x+6)\right]\left[(x+2)(x+3)\right]+2045$

$A=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)+2045$

$A={(x^2+5x)}^2-36+2045$

$A={(x^2+5x)}^2+2009$

Vì ${(x^2+5x)}^2\ge 0\Rightarrow {(x^2+5x)}^2+2009\ge 2009$

$\Rightarrow A\ge 2009$

=> GTNN của A bằng 2009 

Dấu '=' xảy ra khi ${(x^2+5x)}^2=0\iff x^2+5x=0\iff x(x+5)=0$

=> x = 0 hoặc x + 5 = 0 <=>  x = -5

Vậy GTNN của A bằng 2009.

Phương pháp chung

+ Với mọi x: 

+ Với mọi a; b ta có: 

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và  . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu  thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu  thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu 

+ Nếu 

+ Với mọi A; B ta có: 

Câu 39: Viết số thích hợp vào chỗ chấm

Phương pháp giải: 

Chuyển đổi từ km và m sang đơn vị mét.

1 km = 1000 m

1 m = 0.001 km

Lời giải:

3km 54m =  3054m                               

10km 45 m = 10045m

Bảng đơn vị đo độ dài:

Câu 40: Cho các đường thẳng d₁: y = x+ 1  và d₂: y = $x\sqrt{3} - 3$

Phương pháp giải: 

Tìm tọa độ của A, B, C trên hình vừa vẽ.

Từ đó tìm AC, AB, BC và tính số đo các góc của tam giác ABC

Lời giải:

a)

b: Tọa độ A là;

y = 0 và x + 1 = 0

=> x = -1 và y = 0

Tọa độ B là:

y = 0 và $x\sqrt{3} - 3 = 0$

=> x=$\sqrt{3}$ và y = 0

Tọa độ C là:

x + 1 = $x\sqrt{3} - 3$ và y = x + 1

=>$x={\displaystyle \frac{-4}{-\sqrt{3}+1}}=2+2\sqrt{3}$

A(-1;0); B($\sqrt{3}$;0); $C(2+2\sqrt{3};3+3\sqrt{3})$

$AC=\sqrt{{(2+2\sqrt{3}+1)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}\simeq 8,29$

$AB=\sqrt{{(\sqrt{3}+1)}^2}\simeq 2,73$

$BC=\sqrt{{(2+2\sqrt{3}-\sqrt{3})}^2+{(3+3\sqrt{3})}^2}\simeq 9,0\left(cm\right)$

$cosA={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}}\simeq -{\displaystyle \frac{245}{2487}}$​

=> góc A = 96 độ

$cosB={\displaystyle \frac{B{A}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot BA\cdot BC}}={\displaystyle \frac{271}{675}}$​

=> góc B = 67 độ

=> góc C = 17 độ

Câu 41: Đổi: 4 giờ 15 phút = ... giờ

Phương pháp giải: 

1 giờ = 60 phút

1 phút = $\frac{1}{60}$ giờ

Lời giải:

Vì 15 phút ko thể đổi ra giờ nên ta đổi thành số thập phân

15 phút = ... giờ

15:60 = 0,25 giờ

nên ta lấy 0,25 + 4= 4,25

4 giờ 15 phút = 4,25 giờ

Bảng đơn vị đo thời gian

1 thế kỉ = 100 năm                      1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng                        1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày                       1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày            1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Câu 42: Hiện nay tuổi mẹ hơn tổng số tuổi của Hạnh và Thanh là 10 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa tổng số tuổi của Hạnh và Thanh bằng tuổi mẹ?

Phương pháp giải: 

Phân tích bài toán:

Hiện nay, tuổi mẹ hơn tổng số tuổi của Hạnh và Thanh là 10 tuổi.

Mỗi năm, mỗi người tăng thêm 1 tuổi, do đó tổng số tuổi của Hạnh và Thanh sẽ tăng thêm 2 tuổi mỗi năm.

Tìm số năm cần thiết:

Sau mỗi năm, sự chênh lệch giữa tuổi mẹ và tổng số tuổi của Hạnh và Thanh sẽ giảm 2 tuổi.

Để tổng số tuổi của Hạnh và Thanh bằng tuổi mẹ, chênh lệch 10 tuổi sẽ được giảm dần mỗi năm 2 tuổi.

Lời giải:

Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên sau một năm tổng số tuổi của Hạnh và Thanh tăng thêm 2 tuổi

Để tổng số tuổi của Hạnh và Thanh bằng tuổi mẹ thì cần:

10:2= 5 (năm)

Đáp số: 5 năm.

Câu 43: Ước số của 6 là bao nhiêu?

Phương pháp giải: 

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Muốn tìm các ước của a (với a > 1) ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho số nào.

Khi đó các số ấy là ước của a.

Lời giải:

Ư(6)={1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}

Ư(9)={1;3;9;-1;-3;-9}

Ư(13)={1;13;-1;-13}

Ư(1)={1;-1}

Câu 44: Quãng đường từ nhà lên huyện dài 30km. Một người đi xe đạp với vận tốc 12km/giờ từ nhà lên huyện. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy đuổi theo với vận tốc 36km/giờ. Hỏi khi người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp thì hai người còn cách huyện bao nhiêu km?

Phương pháp giải: 

Tính quãng đường xe đạp đã đi.

Tính hiệu vận tốc giữa xe máy và xe đạp.

Tính thời gian xe máy đuổi kịp xe đạp.

Tính quãng đường xe máy đã đi khi đuổi kịp xe đạp.

Tính quãng đường còn lại đến huyện.

Lời giải:

Đổi 1h30p = 1,5h

Lúc xe máy khởi hành xe đạp đi dc 12x1,5=18 km

Hiệu vận tốc là 36-12=24 km/h

Xe máy đuổi kịp xe đạp sau 18:24=0,75 h

Lúc đó xe máy đi được: 36x0,75 = 27 km

Vậy lúc đó còn cách huyện 3 km.

Câu 45: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MD = 2MA, NB=2NC. Tính độ dài MN?

Phương pháp giải: 

Kẻ NK vuông góc với MD.

Do NKM là tam giác vuông nên dễ dàng tính được MN theo định lý Pytago.

Lời giải:

Câu 46: So sánh hai biểu thức A và B

Phương pháp giải: 

Phân tích đa thức thành nhân tử.

Tính toán và so sánh A và B.

Lời giải:

Ta có: $A=124(\frac{1}{1.1985}+\frac{1}{2.1986}+\frac{1}{3.1987}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{16.2000})$

$=\frac{124}{1984}(\frac{1984}{1.1985}+\frac{1984}{2.1986}+\frac{1984}{3.1987}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1984}{16.2000})$

$=\frac{1}{16}(1-\frac{1}{1985}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1986}+\frac{1}{3}-\frac{1}{1987}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{16}-\frac{1}{2000})$

$=\frac{1}{16}[(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{16})-(\frac{1}{1985}+\frac{1}{1986}+\frac{1}{1987}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{2000})]$

$B=\frac{1}{1.17}+\frac{1}{2.19}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{1984.2000}$​

$=\frac{1}{16}(\frac{16}{1.17}+\frac{16}{2.18}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{16}{1984.2000})$

$=\frac{1}{16}(1-\frac{1}{17}+\frac{1}{2}-\frac{1}{18}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{1984}-\frac{1}{2000})$

$=\frac{1}{16}\left[(1+\frac{1}{2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{1984})\right]-[\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{2000}]$

$=\frac{1}{16}[(1+\frac{1}{2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{16})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{1984})-(\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{1984})-(\frac{1}{1985}+\frac{1}{1986}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{2000})]$

$=\frac{1}{16}[(1+\frac{1}{2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{16})-(\frac{1}{1985}+\frac{1}{1986}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{2000})]$

Vậy A = B

Câu 47: Giải phương trình: $\sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6$

Phương pháp giải: 

Phân tích đa thức thành nhân tử.

Đặt $\sqrt{x+3}=a;\sqrt{x+7}=b$

Tìm a, b sau đó suy ra x.

Lời giải:

Ta có phương trình:

<=>$\sqrt{(x+3)(x+7)}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}=6$

Đặt $\sqrt{x+3}=a;\sqrt{x+7}=b$

Nên pt <=>$ab=3a+2b-6\iff ab-3a-2b+6=0$

$\iff a(b-3)-2(b-3)=0\iff (a-2)(b-3)=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 2\\ b = 3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x + 3 = 4\\ x + 7 = 9\end{array}\right.$

Vậy x = 1; x = 2.

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:

        + Nâng lên lũy thừa

        + Đặt ẩn phụ

        + Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

        + Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá hai vế của phương trình

Câu 48: Tính giá trị lớn nhất $B=1-5x^2-y^2-4xy+x$

Phương pháp giải: 

Tách các phần tử để thành phương trình bậc 2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky:

Ta luôn có $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge {(ax+by)}^2.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.$

Ta hay sử dụng: $-\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\le ax+by\le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}.$

Dấu bằng bên phải đạt tại $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k>0;$ dấu bằng bên trái đạt tại $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k<0.$

Ta luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge {(ax+by+cz)}^2.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}.$

 Ta luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\ge {(a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n)}^2.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=...=\frac{a_n}{x_n}.$

Lời giải:

$B=1-5x^2-y^2-4xy+x$

${\displaystyle =-4x^2-4xy-y^2-x^2+x-\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}$

${\displaystyle =-{(2x+y)}^2-{(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{5}{4} \le \frac{5}{4}}$

Dấu ''${\displaystyle =}$'' xảy ra ${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}2x+y=0\\ x-\frac{1}{2}=0\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}}$

Vậy $GTLN$ của ${\displaystyle B}$ là ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ khi ${\displaystyle x=\frac{1}{2};y=-1}$

Câu 49: Trong 1 cuộc chạy thi 4 bạn An, Bình, Cường, Dũng đạt 4 giải: nhất, nhì, ba, tư. Khi được hỏi: Bạn Dũng đạt giải mấy thì 4 bạn trả lời:

An: Tôi nhì, Bình nhất.

Bình: Tôi cũng nhì, Dũng ba.

Cường: Tôi mới nhì, Dũng tư.

Dũng: 3 bạn nói có 1 ý đúng 1 ý sai.

Em cho biết mỗi bạn: An, Bình, Cường, Dũng đạt giải mấy?

Phương pháp giải: 

Kẻ bảng và phân tích.

Lời giải:

Câu 50: Cho P = ${\displaystyle \frac{x+2y-3z}{x-2y+3z}}$​

Phương pháp giải: 

Lập phân số với các số x, y, z lần lượt tỉ lệ với 5; 4; 3.

Quy đồng phân số sao cho giống với P và tìm giá trị.

Lời giải:

x; y; z tỉ lệ với 5; 4; 3 

$\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$​

$\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{2y}{8}=\frac{3z}{9}$​

$\Rightarrow \frac{x+2y-3z}{5+8-9}=\frac{x-2y+3z}{5-8+9}=\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$​

$\Rightarrow \frac{x+2y-3z}{4}=\frac{x-2y+3z}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+2y-3z}{x-2y+3z}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Câu 51: Có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5 dư 1 là bao nhiêu?

​Phương pháp giải: 

Xác định số hạng đầu và cuối: Số nhỏ nhất có 3 chữ số chia 5 dư 1 là 101, số lớn nhất là 996.

Xác định công sai: Dãy số này là cấp số cộng với công sai $d = 5$.

Tính số lượng số hạng: Sử dụng công thức tổng quát $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Giải ra kết quả và kết luận.

Lời giải:

Số nhỏ nhất có 3 chữ số chia 5 dư 1 là: 101

Số lớn nhất có 3 chữ số chia 5 dư 1 là: 996

Có tất cả các số có 3 chữ số chia 5 dư 1 là:

  (996 - 101):5+1 = 180 (số)

         Đáp số: 180 số.

Câu 52: Cho biết độ tan của CuSO4 ở 90^oC là 50g, ở 10^oC là 15g.Hỏi khi làm lạnh 600g dd bão hòa CuSO4 từ 90^oC xuống 10^oC thi có bao nhiêu gam CuSO4.5H2O kết tinh thoát ra:

​Phương pháp giải: 

Tính lượng CuSO₄ có trong dung dịch bão hòa ở 90°C:

Ở 90°C, độ tan của CuSO₄ là 50g/100g nước, nên trong 600g dung dịch bão hòa có thể tính lượng CuSO₄ và nước.

Tính lượng CuSO₄ cần để bão hòa ở 10°C:

Ở 10°C, độ tan của CuSO₄ giảm còn 15g/100g nước. Sử dụng lượng nước đã tính để tìm lượng CuSO₄ bão hòa mới.

Tính lượng CuSO₄ kết tinh thoát ra khi làm lạnh:

Lượng CuSO₄ kết tinh thoát ra là phần chênh lệch giữa lượng CuSO₄ ở 90°C và 10°C.

Đổi lượng CuSO₄ này thành CuSO₄.5H₂O để tính khối lượng kết tinh thoát ra.

Lời giải:

*Ở 90oC

_Cứ 100 g nước thì hòa tan đc tối đa 50g CuSO4 tạo thành 150g dd bão hòa

_Cứ x g nước thì hòa tan đc tối đa y g CuSO4 tạo thành 600 g dd bão hòa

=> mH2O/90oC= x = ${\displaystyle \frac{600.100}{150}}=400\left(g\right)$

mCuSO4/90oC = mdd - mH2O = 600 - 400 = 200 (g)

Gọi a là số mol của CuSO4.5H2O (a >0)

=> nCuSO4/CuSO4.5H2O = a mol

=> mCuSO4/CuSO4.5H2O = 160a (g)

nH2O/CuSO4.5H2O = 5a (mol)

mH2O/CuSO4.5H2O = 5a.18 = 90a (g)

Ta có: m ctan sau kt = 200 - 160a

m H2O sau kt = 400 - 90a

=> ${\displaystyle \frac{15}{100}}={\displaystyle \frac{200-160a}{400-90a}}$​

=> 6000 - 1350a = 20000 - 16000a

=> a = 0,956 (mol) *xấp xỉ nha bn*

=> m CuSO4.5H2O = 0,956 . 250 = 238,9 (g)

(vì bên trên lấy xấp xỉ rồi thì bên dưới cx xấp xỉ nha)

Câu 53: Số nguyên là gì

​Phương pháp giải: 

Trình bày khái niệm số nguyên, số nguyên âm, số nguyên dương.

Lời giải:

Trong toán học, số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (−1, −2, −3,...) và số 0. Tập hợp số nguyên là vô hạn nhưng có thể đếm được và kí hiệu là Z - đó là viết tắt của Zahl (có nghĩa "số" trong tiếng Đức).

Số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0. Còn số tự nhiên là tập hợp bao gồm số 0 và các số nguyên dương. Như vậy có thể thấy số nguyên dương là một tập con của số tự nhiên.Tập hợp Z+.

Số nguyên âm là gì? Là một tập hợp các số nguyên nhỏ hơn 0 ( không bao gồm số 0). Tương tự như số nguyên dương, tập hợp số nguyên âm được kí hiệu là Z-.​​​​​​​

Số nguyên có 4 tính chất cơ bản:

Không có số nguyên nào là lớn nhất và nhỏ nhất.

Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm nhỏ nhất là -1.

Một tập con hữu hạn bất kỳ của Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.

Không có bất kì số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Câu 54: Một mặt bàn hình tròn có bán kính 50 cm. Người ta sử dụng 28% diện tích của mặt bàn để vẽ trang trí. Tính diện tích phần mặt bàn đã được vẽ trang trí.

​Phương pháp giải: 

Tính diện tích toàn bộ mặt bàn hình tròn:

Sử dụng công thức diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$, trong đó $R$ là bán kính.

Tính diện tích phần đã vẽ:

Lấy 28% diện tích mặt bàn đã tính ở bước 1.

Lời giải:

Diện tích mặt bàn là:

50 x 50 x 3,14 = 7850 (cm²)

Diện tích phần đã vẽ là:

7850 x 28% = 2198 (cm²)

Đáp số:...

Câu 55: Tìm x biết $(5x^4-3x^3):2x^3=\frac{1}{2}$

Phương pháp giải: 

Câu 56: 1200 giây bằng bao nhiêu phút ?

Phương pháp giải: 

$1200 giây = \frac{1200}{60} phút = 20 phút$

Bảng đơn vị đo thời gian

1 thế kỉ = 100 năm                      1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng                        1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày                       1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày            1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Câu 57: Đếm từ 1 đến 150 hỏi có bao nhiêu số 0?

Phương pháp giải: 

Số các số có hàng đơn vị là 0: 150 - 10): 10 + 1 = 15 số 0.

- Xét số 0 ở hàng chục gồm có: 100; 101; 102;...;109

=> có 10 số có hàng chục là 0

Vậy có tất cả 25 số 0 từ 1 đến 150.

Câu 58: Một cái bể hình lập phương có cạnh là 10dm. Người ta đổ nước vào đầy bể. Thể tích nước cần đổ là:

Phương pháp giải: 

Câu 59: A = $\frac{3x + 2}{x - 3}$. Tìm x thuộc Z để A là số nguyên.

Phương pháp giải: 

Câu 60: Tính: 125⁴ : 5⁸ = ......

Phương pháp giải: 

Câu 61: Tính:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{2}{3}\right)}^x = {\left(\frac{4}{9}\right)}^4 \\ {\left(2x - 1\right)}^2 = 25 \end{gathered}$$

Phương pháp giải: