Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 101)

119. Rút gọn biểu thức $a=1-2+2^2-2^3+2^4-\cdots -2^{99}+2^{100}$

Phương pháp giải: 

Nhận diện chuỗi cấp số nhân với dấu xen kẽ, số hạng đầu $a_0$​ và công bội $r$.

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân với các giá trị cụ thể của $a_0$​, $r$, và số lượng số hạng.

Thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức.

Lời giải:

Ta xét biểu thức: $a=1-2+2^2-2^3+2^4-\cdots -2^{99}+2^{100}$

Biểu thức này là một chuỗi có dạng: $a=\sum _{k=0}^{100}(-2{)}^k$

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu $a_0 = 1$ và công bội $r = -2$. Tổng của cấp số nhân gồm $n + 1$ số hạng (từ $k = 0$ đến $k = 100$) được tính theo công thức: $S=a_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$​

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

• $a_0 = 1$
• $r = -2$
• $n + 1 = 101$(vì số mũ cuối là $100$)

Khi đó: $a=\frac{1-(-2{)}^{101}}{1-(-2)}$​

Mẫu số có dạng: $1-(-2)=3$

Tử số có dạng: $1-(-2{)}^{101}=1+2^{101}$

Khi đó: $a=\frac{1+2^{101}}{3}$

Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: $a=\frac{1+2^{101}}{3}$

​120. So sánh A và B biết A = $\frac{2010}{2011} + \frac{2011}{2012} + \frac{2012}{2010}$ và B = $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +...+ \frac{1}{17}$

Phương pháp giải: 

Biến đổi và nhóm phân số trong $A$: Sử dụng một đẳng thức để viết lại phân số $\frac{2012}{2010}$​ và sau đó nhóm các phân số để đơn giản hóa biểu thức.

Ước lượng giá trị của $B$: Sử dụng trung bình cộng của số hạng đầu và cuối để tính xấp xỉ tổng của $B$B.

So sánh giá trị xấp xỉ của $A$ và $B$ để suy ra kết luận $A > B$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{2012}{2010}=1+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}$ (1)

Thay (1) vào A, ta có:

$\frac{2010}{2011} + \frac{2011}{2012} + 1 + \frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}$

= $(\frac{2010}{2011} +\frac{1}{2011}) + 1 + (\frac{2011}{2012} + \frac{1}{2012})$

= 1+1+1 = 3 = $\frac{51}{17}$

suy ra A > $\frac{51}{17}$

Ta có B = $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +...+ \frac{1}{17}$(có 15 sh)

B = $\left(\right(\frac{1}{17} + \frac{1}{3}).15) ÷ 2$

B = $\frac{50}{17}$(2)

Từ (1) và (2) => A > B