Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 23)

Câu 1: Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.

Lời giải:

* Phân tích:

Dân số tỉnh A năm nay nhiều hơn dân số tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 (triệu người) nên ta có phương trình:

1,011.x – 1,012.(4 – x) = 0,8072.

* Giải:

Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4; x ∈ ℕ*; triệu người)

Số dân năm ngoái của tỉnh B là 4 – x (triệu người).

Năm nay dân số của tỉnh A tăng 1,1% nên số dân của tỉnh A năm nay là:

          x + 1,1% x = 1,011.x (triệu người).

Năm nay dân số của tỉnh B tăng 1,2 % nên số dân của tỉnh B năm nay là:

         (4 – x) + 1,2% (4 – x) = 1,012(4 – x) (triệu người).

Vì số dân tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 triệu người nên ta có phương trình:

     1,011.x – 1,012(4 – x) = 0,8072

 ⇔ 1,011x – 4,048 + 1,012x = 0,8072

⇔ 2,023. x = 4,8552

⇔ x = 2,4 (thỏa mãn).

Vậy dân số của tỉnh A năm ngoái là 2,4 triệu người, dân số tỉnh B năm ngoái là 4 – 2,4 = 1,6 triệu người.

Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² – xy + 2x – 2y.

b) x² + 10xy – 25 + 25y².

Lời giải:

a) x² – xy + 2x – 2y

= x(x – y) + 2 (x – y)

= (x – y)(x + 2).

b) x² + 10xy – 25 + 25y²

= (x² + 10xy + 25y²) – 25

= (x + 5y)² – 25

= (x + 5y + 5)(x + 5y – 5).

Câu 3: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu xóa chữ số 2 ở hàng trăm của số đó thì được số mới bằng $\frac{1}{9}$  số đó.

Lời giải:

Nếu xóa chữ số 2 ở hàng phần trăm đi ta được số mới kém số đầu 200 đơn vị.

Số mới bằng $\frac{1}{9}$  số ban đầu thì nếu số mới là 1 phần thì số cũ là 9 phần và hơn kém nhau 200 đơn vị.

Vậy số ban đầu là: 200 : (9 – 1) × 9 = 225.

Câu 4: Tìm số nguyên x, y biết xy – 2x – 3y = 1.

Lời giải:

Ta có: xy – 2x + 3y = 1.

(xy − 2x) + (3y − 6) = −5

x(y − 2) + 3(y − 2) = −5

(x + 3)(y − 2) = −5 = 1.(−5) = (−1).5

Vì x, y là số nguyên nên x + 3 và y – 2  cũng là số nguyên.

Do đó ta có bảng sau:

Vậy (x; y) ∈ {(−2; −3); (−8; 3); (2; 1); (−4; 7)}.

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4sin²x – 4sinx + 3.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

y = 4sin²x – 4sinx + 3

= 4sin²x – 4sinx + 1 + 2

= (2sinx – 1)² + 2.

Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1

⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

⇔ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1

⇔ 0 ≤ (2sinx – 1)² ≤ 1

⇔ 2 ≤ (2sinx – 1)² + 2 ≤ 3

⇔ 2 ≤ y ≤ 3

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4sin²x – 4sinx + 1.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

y = 4sin²x – 4sinx + 1

= (2sinx – 1)².

Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1

⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

⇔ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1

⇔ 0 ≤ (2sinx – 1)² ≤ 1

⇔ 0 ≤ y ≤ 1

Khi đó giá trị nhỏ nhất của y là 0, xảy ra khi và chỉ khi (2sinx – 1)² = 0

$\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$                                                                      

Khi đó giá trị lớn nhất của y là 1, xảy ra khi và chỉ khi sinx = 1 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ .

Câu 7: Giải phương trình: cos²x + 3cosx = 0.

Lời giải:

cos²x + 3cosx = 0

⇔ cosx(cosx + 3) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=-3\left(loai\right)\end{array}\right. \\ \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Vậy phương trình trên có nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

Câu 8: Tính tổng của các số nguyên x thỏa mãn $-2009<x\le 2008$ .

Lời giải:

Ta có: $-2009<x\le 2008$  và x là số nguyên nên ta có:

           x ∈ {–2008; –2007; …; –1; 0 ; 1; …; 2007; 2008}.

Khi đó tổng của các số nguyên x thỏa mãn $-2009<x\le 2008$  là:

–2008 + (–2007) + …+ (–1) + 0 + 1 + … + 2007 + 2008

= [(–2008) + 2008] + [(–2007) + 2007] + …+ [(–1) + 1] + 0

= 0.

Câu 9: sin15° bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Dùng máy tính cầm tay, ta bấm lần lượt các nút $\boxed{\sin }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°\text{'}\text{'}\text{'}}\boxed{=}$  được kết quả hiện trên màn hình máy tính như sau:

Vậy $\sin 15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .

Câu 10: Trong khai triển nhị thức (3 + 0,02)⁷. Tìm tổng của ba số hạng đầu tiên.

A. 2289,3283;

B. 2291,1012;

C. 2275,93801;

D. 2291,1141.

Lời giải:

Ta có: (3 + 0,02)⁷ = $C_7^0{.3}^7+C_7^1{.3}^6\mathrm{.0,02}+C_7^2{.3}^5.{\left(\mathrm{0,02}\right)}^2+\mathrm{...}$

Tổng ba số hạng đầu tiên là:

$C_7^0{.3}^7+C_7^1{.3}^6\mathrm{.0,02}+C_7^2{.3}^5.{\left(\mathrm{0,02}\right)}^2=\mathrm{2291,1012}$.

Câu 11: Cho hình thang ABCD có đáy AB, DC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh MN // DC và $MN=\frac{1}{2}\left(AB+DC\right)$ .

Lời giải:

Ta có: MA = MB (Vì M là trung điểm của AD);

           NB = NC (Vì N là trung điểm của BC)

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD với AB // CD.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}\left(AB+DC\right)$ và MN // AB // CD.

Câu 12: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

b) Chứng minh AM vuông góc với BC.

c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.

Lời giải:

a) Xét ΔABM và ΔACM ta có:

AB = AC (theo giả thiết);

AM chung;

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

Suy ra ΔABM = ΔACM (c.c.c).

b) Từ ΔABM = ΔACM suy ra $\widehat{BMA}=\widehat{CMA}$  (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180°$  nên suy ra $\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=90°$ .

Suy ra AM vuông góc với CB.

c) Từ ΔABM = ΔACM suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$  suy ra AM là tia phân giác của góc A.

Câu 13: Có bao nhiêu phân số với mẫu số có 2 chữ số tương đương với $\frac{1}{5}$ ?

Lời giải:

Mẫu số bé nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 10.

Mẫu số lớn nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 95.

Vậy có số các phân số bằng $\frac{1}{5}$  có mẫu số là số có 2 chữ số là (95 – 10) : 5 + 1 = 18.

Câu 14: Diện tích hình bình hành bằng 24 cm². Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2 cm và 3 cm. Tính chu vi của hình bình hành.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2cm , đến cạnh BC là OK = 3 cm.

* Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H'.

Ta có OH ⊥ BC

⇒ OH' ⊥ CD và OH' = 2cm

Suy ra HH' bằng đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}=H{H}^{\text{'}}.AB\iff AB=\frac{S_{ABCD}}{H{H}^{\text{'}}}=\frac{24}{4}=6\left(cm\right)$

* Kéo dài OK cắt AD tại K'.

Ta có: OK ⊥ BC ⇒ OK' ⊥ CD và OK' = 3 (cm)

Suy ra KK' là đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}=K{K}^{\text{'}}.BC\Rightarrow BC=\frac{S_{ABCD}}{K{K}^{\text{'}}}=\frac{24}{6}=4\left(cm\right)$

Chu vi của hình bình hành ABCD là (6 + 4).2 = 20 (cm).

Câu 15: Cho hàm số y = (2 – m)x + 3.

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(2; 3).

b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1.

c) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Lời giải:

a) Để (d) đi qua điểm A(2; 3) thì:

3 = (2 – m).2 + 3 ⇔ 2.(2 – m) = 0 ⇔ m = 2.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

b) Để (d) cắt trục hoành thì 2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 2.

Do (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1 nên tọa độ giao điểm đó là A(–1; 0).

Do điểm A thuộc (d) nên ta có:

0 = (2 – m).(–1) + 3 ⇔ m – 2 = –3 ⇔ m = –1 (tm).

Vậy m = –1 là giá trị cần tìm.

c) Do (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 nên tọa độ giao điểm đó là B(0; 3).

Do điểm B thuộc (d) nên ta có:

3 = (2 – m).0 + 3 ⇔ 0.(2 – m) = 0 (luôn đúng với mọi m).

Vậy với mọi giá trị m ∈ ℝ thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Câu 16: Cho hàm số y = (a – 2)x + 5 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3).

A. a = –1;

B. a = 0;

C. a = –2;

D. a = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 3) thì:

3 = (a – 2).2 + 5 ⇔ 2.(a – 2) = –2 ⇔ a – 2 = –1 ⇔ a = 1.

Câu 17: Một chiếc cổng hình parabol dạng $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ có chiều rộng d = 8 m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh).

A. h = 8 m;

B. h = 7 m;

C. h = 5 m;

D. h = 9 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa chiều rộng d = 8m cắt (P) tại A(4; –h)

Điểm  A ∈ (P) $\Rightarrow -h=-\frac{1}{2}{.4}^2\Rightarrow h=8\left(m\right)$ .

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB, AB. Điểm M là một điểm bất kì trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của điểm M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của AC và JD.

Khi đó:

• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình tam giác;

• Nếu M ∈ KC thì thiết diện là hình tứ giác;

• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình ngũ giác.

Câu 19: Cho đường thẳng (d): y = (m² – 3)x – m + 1. Tìm m để (d) cắt (d’): y = –2x tại điểm có hoành độ x = 2.

Lời giải:

Để (d) cắt (d’) thì m² – 3 ≠ –2 ⇔ m² ≠ 1 ⇔ m ≠ ± 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là:

(m² – 3)x – m + 1 = –2x

⇔ (m² – 1)x = m – 1

$\iff x=\frac{m-1}{m^2-1}=\frac{m-1}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{1}{m+1}$

Để (d) cắt (d’) tại điểm có hoành độ x = 2 thì

$\frac{1}{m+1}=-2\Rightarrow -2m-2=1\iff m=\frac{-3}{2}\left(tm\right)$

Vậy $m=-\frac{3}{2}$ .

Câu 20: Mỗi giờ ô tô đi được 43,8km. Hỏi trong 5 giờ ô tô đi được số ki lô mét là bao nhiêu?

Lời giải:

5 giờ ôtô đi được số ki lô mét là: 

                  43,8 × 5 = 219 (km) 

                                  Đáp số: 219 km.

Câu 21: Một mảnh đất hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là là 76,4m. Tính diện tích mảnh đất đó, biết đường chéo thứ nhất hơn đường chéo thứ 2 là 4,4m.

Lời giải:

Đường chéo lớn hơn có độ dài là: (76,4 + 4,4) : 2 = 40,4 (m).

Đường chéo nhỏ hơn có độ dài là: 40,4 – 4,4 = 36 (m).

Diện tích mảnh đất đó là: 40,4 . 36 : 2 = 727,2 (m²).

Câu 22: Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2, bạn sẽ đứng thứ mấy?

Lời giải:

Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2 thì bạn vẫn sau người đi đầu thứ nhất, nên bạn vẫn chỉ đứng thứ 2.

Câu 23: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày. Biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Lời giải:

Gọi số thợ cần thiết là x (người), x ∈ ℕ* , thời gian cần thiết là y (ngày), y > 0.

Số ngày công cần để hoàn thành công việc là: xy (ngày).

Nếu giảm đi 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Như vậy, x – 3 người làm trong y + 6 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình (x – 3)(y + 6) = xy.

Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Như vậy, x + 2 người làm trong y – 2 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình: (x + 2)(y – 2) = xy.

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(y+6\right)=xy\\ \left(x+2\right)\left(y-2\right)=xy\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy+6x-3y-18=xy\\ xy-2x+2y-4=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x-3y=18\\ -2x+2y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=6\\ x-y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=x+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=10\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy cần 8 người làm trong 10 ngày thì xong công việc.

Câu 24: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 65,3m. Vì mở rộng đường quốc lộ nên miếng đất bị xén đi một góc có dạng hình tam giác (phần tô đậm của hình vẽ). Tính diện tích phần đất còn lại.

Lời giải:

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:

            (2 . 46,5) : 7,5 = 12,4 (m).

Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu là:

            65,3 . 12,4 = 809,72 (m²)

Vậy diện tích phần đất còn lại là:

            809,72 – 46,5 = 763,22 (m²).

                        Đáp số: 763,22 m².

Câu 25: Lập bảng số nguyên tố nhỏ hơn 200.

Lời giải:

Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 200 là: