Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 1)

Bài 1. Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi véctơ

$\overrightarrow{MA}=\frac{-3}{4}\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{CN}, \overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PB}$. Chứng minh M, N, P thẳng hàng?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{MA}=\frac{-3}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{CN}=3\overrightarrow{NC}, \overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PB}$

Ta lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{NC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{NP}+3\overrightarrow{PC}$

$\iff \overrightarrow{MN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{CP}+3\overrightarrow{NP}-3\overrightarrow{CP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{NP}$

$\iff \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{NP}$

$\iff \frac{1}{4}\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{NP}\iff \overrightarrow{MP}=16\overrightarrow{NP}$

Do đó M, N, P thằng hàng. 

Bài 2. Cho a,b ≠ -2 thỏa mãn (2a + 1)(2b + 1) = 9

Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}$ .

Lời giải

Ta có: $2b+1=\frac{9}{2a+1}\Rightarrow b=\frac{4-a}{2a+1}\Rightarrow b+2=\frac{4-a}{2a+1}+2=\frac{3a+6}{2a+1}$'

$M=\frac{1}{a+2}+\frac{2a+1}{3a+6}=\frac{1}{a+2}+\frac{2a+1}{3(a+2)}=\frac{3+2a+1}{3(a+2)}=\frac{2(a+2)}{3(a+2)}=\frac{2}{3}$.

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$  với a > 0, b > 0

Lời giải

Xét hiệu

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\frac{{(a-b)}^2}{ab(a+b)}\ge 0$, vì a, b > 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b.

Bài 4. Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\ge 4$

Lời giải 

$$\begin{gathered} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\ge 4 \\ \iff 1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge 4 \\ \iff \frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2 \end{gathered}$$

Vì a > 0 và b > 0  ⇒ ab > 0

Vậy . $$\begin{gathered} \frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2\iff b^2+a^2\ge 2ab \\ \iff {(a-b)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài 5. Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được 1 cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A tới điểm B bằng 9 bước ?

Lời giải

Để đi từ A đến B qua 9 bước thì chỉ có 1 cách đi duy nhất là các bước đi đều phải đi từ dưới lên hoặc đi từ trái qua phải.

Gọi M(i; j) là điểm bất kì nằm ở hàng i cột j với $i=\overline{1;5}$và $j=\overline{1;6}$ 

Để đến được điểm M thì chỉ có 3 cách đi đó là từ điểm có tọa độ (i − 1; j) hoặc (i; j − 1) như hình vẽ dưới:

Gọi số cách đi đến M là f(i; j) thì theo quy tắc cộng ta có

$f(i; j)=f(i-1; j) +f(i; j-1)$

Từ đó ta được kết quả sau:

Vậy có 126 cách đi thỏa mãn

Bài 6. Căn bậc hai của ${(a-b)}^2$ là:

A. a – b;

B. b – a;

C. |a – b|;

D. a – b và b – a.

Lời giải

Ta có: $\sqrt{{(a-b)}^2}=\left|a-b\right|$

Đáp án đúng là: C. 

Bài 7. Rút gọn

a); $\sqrt{{(\sqrt{2}-1)}^2}$

b);$\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}$

Lời giải 

a);$\sqrt{{(\sqrt{2}-1)}^2}=\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1$ (vì $\sqrt{2}-1>0$)

Vậy $\sqrt{{(\sqrt{2}-1)}^2}=\sqrt{2}-1$

b);$\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}=\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$ (vì $\sqrt{5}>2$)

Vậy $\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}=\sqrt{5}-2$

Bài 8. Tìm x

$3^{2x}-3^x=72$

Lời giải

$$\begin{gathered} 3^{2x}-3^x=72 \\ {3}^1=3; 3^2=9; 3^3=27; 3^4=81 \end{gathered}$$ 

mà 81 – 9 = 72 nên x = 2

$\Rightarrow 3^{2.2}-3^2=72$

Bài 9. Tìm x: $2^x+2^x+1=72(x\in N)$

Lời giải 

$$\begin{gathered} 2^x+2^{x+1}=72 \\ \Rightarrow 2^x+2.2^x=72 \\ \Rightarrow 3.2^x=72 \\ \Rightarrow 2^x=72 : 3 \\ \Rightarrow 2^x=24 \\ \Rightarrow 2^x=2^{4,58} \\ \Rightarrow x=4,58 \\ Mà x\in N\Rightarrow Không có x \end{gathered}$$

Vậy không tìm được x

Bài 10. Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.$ Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}$

Lời giải

$$\begin{gathered} P= \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2} \\ \Rightarrow P=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3} \\ \Rightarrow P=abc(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}) \end{gathered}$$

Vì

 $$\begin{gathered} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c} \\ \Rightarrow {(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}^3= {\left(\frac{-1}{c}\right)}^3 \Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=-\frac{1}{c^3} \\ \Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}(-\frac{1}{c})=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\left(1\right) \end{gathered}$$

Thay (1) vào P ta được

$P=abc.\frac{3}{abc}$

⇒ P = 3. 

Bài 11. Cho a, b, c khác nhau đôi một và

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức:

a) $M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}$

b) $N=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}$

c) $P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$

Lời giải

Từ giả thiết suy ra ab + bc + ac = 0 nên

$a^2+2bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)$

Tương tự: $b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)$,

$c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)$

a) $\text{M=}\frac{\text{1}}{{\text{a}}^{\text{2}}\text{+2bc}}\text{+}\frac{\text{1}}{{\text{b}}^{\text{2}}\text{+2ac}}\text{+}\frac{\text{1}}{{\text{c}}^{\text{2}}\text{+2ab}}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0$

b)

 $$\begin{gathered} \text{N=}\frac{\text{bc}}{{\text{a}}^{\text{2}}\text{+2bc}}\text{+}\frac{\text{ca}}{{\text{b}}^{\text{2}}\text{+2ac}}\text{+}\frac{\text{ab}}{{\text{c}}^{\text{2}}\text{+2ab}} \\ =\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{ca}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)} \\ =1 \end{gathered}$$

c)

 $$\begin{gathered} \text{P=}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}\text{+2bc}}\text{+}\frac{{\text{b}}^{\text{2}}}{{\text{b}}^{\text{2}}\text{+2ac}}\text{+}\frac{{\text{c}}^{\text{2}}}{{\text{c}}^{\text{2}}\text{+2ab}} \\ =\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=1 \end{gathered}$$.

Bài 12: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm của AC. D là điểm đối xứng của M qua N.

a) CMR : tứ giác ADCM là hình chữ nhật

b) CMR : tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM

c) BD cắt AC tại I. CMR : $DI=\frac{2}{3}OB$

Lời giải:

a. Ta có: N là trung điểm AC

M,D đối xứng qua N→ N là trung điểm MD

$\Rightarrow AC\cap DM=N$ là trung điểm mỗi đường

Vì $\text{AM}\perp \text{BC}$

$\Rightarrow AM\perp MC\Rightarrow AMCD$ là hình chữ nhật

b. Vì $\text{ΔABC}$ cân tại $A,AM\perp BC\Rightarrow M$ là trung điểm $BC\Rightarrow MB=MC$

AMCD là hình chữ nhật ⇒ AD // CM, AD = CM

⇒ AD // BM, AD = BM

⇒ ABMD là hình bình hành

$\Rightarrow AM\cap BD$ tại trung điểm mỗi đường

Gọi $AM\cap BD=O$

⇒ O là trung điểm AM, BD

⇒ BD đi qua trung điểm O của AM

c) Vì O, N là trung điểm AM,DM và $AN\cap DO=I$

⇒ I là trọng tâm $\text{ΔMAD}$

$\Rightarrow DI=\frac{2}{3}DO$

Vì O là trung điểm BD → OB = OD

$\Rightarrow DI=\frac{2}{3}OB$

Bài 13: Hai số có hiệu là 95. Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì ta được số bé. Tìm tổng hai số đó?

Lời giải:

Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì được số bé

Suy ra số lớn gấp 10 lần số bé và hơn 5 đơn vị

Số bé là: (95 - 5) :(10 - 1) x 1 = 10

Suy ra số lớn là: 105

Tổng 2 số đó là: 105 + 10 = 115.

Bài 14: Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?

Lời giải:

Gọi số học sinh giỏi cả ba môn của lớp 10 A là x ( x > 0, x ∈ N )

Mà số học sinh lớp 10A là 45 học sinh .

⇒ x + 5 + x + 4 + x + 3 + 11 - x + 9 - x + 8 - x + x = 45

⇒ 40 + x = 45

⇒ x = 5 (TM)

Vậy có 5 bạn giỏi cả ba môn toán lý và hóa.

Bài 15: Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa được xếp lực học giỏi vừa được hạnh kiểm tốt. Số học sinh của lớp 10A được nhận khen thưởng nếu đạt được học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là:

A. 10.

B. 35.

C. 30.

D. 25.

Lời giải:

Đáp án: D

Số học sinh chỉ đạt học lực giỏi là: 15 – 10 = 5 (học sinh).

Số học sinh chỉ đạt hạnh kiểm tốt là: 20 – 10 = 10 (học sinh).

Số học sinh được nhận thưởng là: 5 + 10 + 10 = 25 (học sinh).

Bài 16: Hình nón được tạo thành như thế nào? Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hính chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng gì?

Lời giải:

Hình nón được tạo thành khi quay hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Bài 17: Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng chiếu cạnh thì hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh có hình dạng:

A. Hình tròn, hình tam giác cân

B. Hình tam giác cân, hình tròn

C. Hình tròn, hình tam giác đều

D. Hình tam giác đều, hình tròn

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, thì hình chiếu đứng là hình tam giác cân

và hình chiếu cạnh có hình tròn.

Bài 18: Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC.

Lời giải:

Gọi E, D lần lượt là trung điểm AB, AC, ta có I, E, D thẳng hàng
MN cắt BD tại J, hạ CH vuông góc ED tại H

Có $DH=\frac{DC}{2}=\frac{ED}{2}\Rightarrow \frac{ED}{EH}=\frac{2}{3}$

Có $\frac{BG}{BD}=\frac{BG}{BJ}.\frac{BJ}{BD}=\frac{2}{3}.\frac{BN}{BC}=\frac{ED}{EH}.\frac{EI}{ED}$

$\Rightarrow \frac{BG}{BD}=\frac{EI}{EH}\iff \frac{BG}{EI}=\frac{BD}{EH}\left(1\right)$

Ta có △CBD ∼ △CEH (g, g)

$\Rightarrow \frac{CB}{CE}=\frac{BD}{EH}=\frac{BG}{EI}$

⇒ △CBG ∼△CEI (c, g, c) (2)

$\left(2\right)\Rightarrow \widehat{BCG}=\widehat{ECI}$

$\iff \widehat{BCG}+\widehat{GCE}=\widehat{GCE}+\widehat{ECI}$

$\iff \widehat{BCE}=\widehat{GCI}$

$\left(2\right)\Rightarrow \frac{BC}{EC}=\frac{GC}{IC}\left(4\right)$

từ (3, 4) → △BEC∼△GIC (c, g, c)

$\iff \widehat{I}=90°;\widehat{G}=60°$ (đpcm).

Bài 19: Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại

M, N. Chứng minh rằng:

a) $\frac{BM}{CN}=\frac{B{I}^2}{C{I}^2}$

b) BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC

Lời giải:

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: $\widehat{AMI}=90°-\frac{1}{2}\widehat{A}=\frac{1}{2}\left(180°-\widehat{A}\right)=\frac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\Rightarrow \widehat{BMI}=180°-\widehat{AMI}=180°-\frac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

Xét tam giác BIC, có: $\widehat{BIC}=180°-\frac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\Rightarrow \widehat{BMI}=\widehat{BIC}$

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

$\widehat{BMI}=\widehat{BIC}$ (cmt)

$\widehat{MBI}=\widehat{IBC}$

⇒ ∆BMI  ̴ ∆BIC (g – g)

$\Rightarrow \frac{BM}{BI}=\frac{BI}{BC}\iff B{I}^2=BM.BC$

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI  ̴ ∆CIB (g – g)

$\Rightarrow \frac{CN}{CI}=\frac{CI}{CB}\iff C{I}^2=CN.CB$

$\Rightarrow \frac{B{I}^2}{C{I}^2}=\frac{BM}{CN}$.

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼ △INC

$\Rightarrow \frac{BM}{IN}+\frac{MI}{NC}$

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM² = AM² – AI²

⇒ BM.CN = AM² – AI²

= AM.AN – AI² = (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC.

Bài 20: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD.

a) Chứng minh góc AMN = 90°

b) A, M, N, D cùng thuộc 1 đường tròn

c) So sánh AN với MD

Lời giải:

a) Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông $\Rightarrow AC\perp BD$

Mà N là trung điểm DC, $NH\perp DO\Rightarrow NH//OC$

Suy ra NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD, $NH=\frac{1}{2}OC=OM$

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

$\widehat{H}=\widehat{O}=90°$

NH = MO

HM = OA

$\Rightarrow \Delta OMA=\Delta HNM\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{HMN}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AMO}+\widehat{HMN}=\widehat{AMO}+\widehat{OAM}=90°$ (đpcm).

b) Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M $\Rightarrow MI=\frac{1}{2}AN=AI$

Tam giác ADN vuông tại D $\Rightarrow DI=\frac{1}{2}AN=AI$

Suy ra IA = IM = IN = ID

Suy ra 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

c) Xét đường tròn ngoài tiếp tứ giác AMND có AN là dường kính và DM là dây nên AN > DM.

Bài 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A (−1; 2) đến đường thẳng Δ: mx + y – m + 4 =

0 bằng $2\sqrt{5}$

A. m = 2

B. $\left[\begin{array}{c}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

C. $m=-\frac{1}{2}$

D.  Không tồn tại m.

Lời giải:

$d\left(A;\Delta \right)=\frac{\left|-m+2-m+4\right|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt{5}$

$\iff \left|m-3\right|=\sqrt{5}.\sqrt{m^2+1}$

⇔ 4m² + 6m – 4 = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Bài 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m$ có cực trị đồng thời

khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số đến gốc tọa độ O

A. $m=-3-2\sqrt{2}$ hoặc m = - 1

B. $m=-3+2\sqrt{2}$ hoặc m = - 1

C. $m=-3+2\sqrt{2}$ hoặc $m=-3-2\sqrt{2}$

D. $m=-3+2\sqrt{2}$

Lời giải:

Chọn C

Ta có $y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)$

Hàm số (1) có cực trị thì PT y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x² - 2mx + m² – 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt

$\iff \Delta =1>\mathrm{0,}\forall m$

Khi đó, điểm cực đại A(m - 1; 2 - 2m) và điểm cực tiểu B (m + 1; - 2m)

Ta có $OA=\sqrt{2}OB\iff m^2+6m+1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=-3+2\sqrt{2}\\ m=-3-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Bài 23: Có tam giác ABC vuông tại A đg cao AH, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. CM: BE.AC + CF. AB =

AH. BC

Lời giải:

BE.AC + CF.AB

$$\begin{gathered} =\frac{H{B}^2}{AB}.AC+\frac{H{C}^2}{AC}.AB \\ =\frac{H{B}^2.AC}{AB}+\frac{H{C}^2.AB}{AC} \\ =\frac{H{B}^2.A{C}^2+H{C}^2.A{B}^2}{AB.AC} \\ =\frac{H{B}^2.HC.BC+H{C}^2.BH.BC}{AB.AC} \\ =\frac{BC.BH.CH\left(HB+HC\right)}{AH.BC} \\ =\frac{A{H}^2.BC}{AH}=AH.BC \end{gathered}$$

Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm; AC = 4 cm, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của

H lên AB, AC. Chứng minh rằng: AE. AB = AF. AC

Lời giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

Bài 25: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 9 thì y = - 15

a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x

b) Hãy biểu diễn y theo x

c) Tính giá trị của y khi x = - 5, x = 18

Lời giải:

a) Gọi a là hệ số tỉ lệ

Khi x = 3, y = 8

$$\begin{gathered} \Rightarrow 8=\frac{a}{3} \\ \iff a=24 \end{gathered}$$

Vậy hệ số tỉ lệ là 24

b) Ta có hệ số tỉ lệ k = 24 nên $y=\frac{24}{x}$.

c) Khi $x=-5\Rightarrow y=\frac{24}{-5}=-\frac{24}{5}$.

Khi $x=18\Rightarrow y=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$.

Bài 26: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi x = 10 thì y = 5 vậy khi x = - 5 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Theo bài ra ta có: x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

⇒ y = k.x

Khi x = 10 thì y = 5

⇒ 5 = k.10

$\Rightarrow k=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow y=\frac{1}{2}.x$

khi $x=-5\Rightarrow y=\frac{1}{2}.\left(-5\right)=-\mathrm{2,5}$.

Bài 27: Giải các phương trình sau

a) $x^2-6x+\sqrt{x^2-6x+7}=5$

b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5$

c) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=4$

Lời giải:

Chia 3 trường hợp: 1 ≤  x ≤ 5; x ≥ 10; 5 < x < 10 để phá trị tuyệt đối và giải bình thường.

Bài 28: Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn x³ – 6x² + 12x = y³ + 27

Lời giải:

Ta có  (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x – 8 > x³ − 6x² + 12x – 27 = y³

Ta có 6x² − 12x + 27 > 0 với moi x

⇒ −6x² + 12x – 27 < 0

⇒ y³ > x³

mà x y nguyên nên y³  nguyên  ⇒ y³ = (x − 1)³.

Bài 29: Tính $\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}.\frac{x^3+27}{3x-9}$.

Lời giải:

$\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}.\frac{x^3+27}{3x-9}$

$=\frac{{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}{\left(x^2-3x+9\right).3\left(x-3\right)}$

$=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{3}$

$=\frac{x^2-9}{3}$.

Bài 30: Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 1 không đứng cạnh chữ số 6

Lời giải:

Nếu không có chữ số 1: Có 6! = 720 cách lập

Nếu không có chữ số 6: Có 6! = 720 cách lập

Nếu có đồng thời các chữ số 1 và 6:

Chọn ra thêm 4 chữ số khác có   cách

Xếp chữ số 1 với 4 chữ số khác có 5! cách

Xếp chữ số 6 vào có 6 – 2 = 4 vị trí có thể

Tạo được:  .5!.4 = 2400 số

Tất cả có: 720 + 720 + 2400 = 3840 số thỏa mãn

Bài 31: Từ các số của tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A. 720;

B. 710;

C. 820;

D. 280.

Lời giải:

Đặt x = 23. Số các số cần lập có dạng  $\overline{abcd}$ với a; b; c; d ∈{1; x; 4; 5; 6; 7}  có $A_6^4$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Bài 32: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc

C, DK vuông góc AC.

a) C/m góc BAD = góc BDA

b) C/m AD là phân giác của góc HAC

c) C/m AK = AH

d) C/m AB + AC < BC + AH

Lời giải:

a ) Do DB = BA = 2ΔBAD cân tại B

⇒ DAB = ADB

b ) Xét ΔABC vuông tại A

CAD + DAB = 90 độ

⇒ Xét ΔAND vuông tại N

DAN + ADN = 90 độ

Mà DAB - ADB

⇒ CAD - DAN

AD là phân giác của CAN

c) Xét hai tam giác vuông KAD và HAD

AD chung

KAD = DAN

⇒ ΔKAD = ΔCAN

⇒ KA = AN

d ) AC + AB = CK + KA + AB

BC + AN = CB + DB + AN

AN = KA

AB = BD

CD > CK

⇒ BC + AN > AC + AB

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông góc tại A,có AB = AC.Gọi K là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc với BC.

b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại E. Chứng minh EC song song với AK.

c) Chứng minh CE = CB.

Lời giải:

a) Xét tam giác AKB và AKC có:

AB = AC (giả thiết)

KB = KC (do K là trung điểm của BC)

AK chung

Do đó: △AKB = △AKC(c.c.c) (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{AKC}$

Mà $\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=\widehat{BKC}=180°$

Do đó: $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90°$

⇒ AK⊥BC (đpcm)

b) Ta thấy: EC⊥BC; AK⊥BC (đã cm ở phần a)

⇒ EC // AK (đpcm)

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên $\widehat{B}=45°$

Tam giác CBE vuông tại C có $\widehat{B}=45°$ nên tam giác CBE cân tại C. Do đó CE = CB (đpcm)

Bài 34: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5

học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi

ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là:

A. 19

B. 18

C. 31

D. 49

Lời giải:

Đáp án A

Theo giả thiết Đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19 (em)

Bài 35: Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh

giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một

môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp 10A là:

A. 9

B. 18

C. 10

D. 28

Lời giải:

Đáp án C

Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 3 – 1 = 2.

Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 4 – 1 = 3.

Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 2 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 5 – 2 – 1 − 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn hóa:  6 −3 – 1 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 7 – 3 – 2 – 1 = 1.

Số học sinh giỏi ít nhất một (môn toán, lý, hóa) là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10.

Bài 36: Cho tam giác ABC. Có AB nhỏ hơn AC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =AC. Gọi I , D,F lần lượt là trung điểm của CE, AE , BC chứng minh 

a) tam giác IDF cân

b) góc BAC= 2IDF

Lời giải:

Xét ΔEAC có 

D là trung điểm của AE
I là trung điểm của CE

Do đó: DI là đường trung bình

⇒ DI // AC và $DI=\frac{AC}{2}$

Xét ΔEBC có 

F là trung điểm của BC

I là trung điểm của EC

Do đó: FI là đường trung bình

⇒ FI // EB và $FI=\frac{EB}{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} FI=\frac{EB}{2} \\ DI=\frac{AC}{2} \end{gathered}$$

mà EB = AC nên IF = ID $\Rightarrow \widehat{IFD}=\widehat{IDF}$

hay ΔIFD cân tại I

Mà $\widehat{DFI}=\widehat{FDB}\left(FI//AB\right)$  nên $\widehat{FDI}=\widehat{FDB}$

$\iff \widehat{BDI}=2.\widehat{IDF}$ hay $\widehat{BAC}=2.\widehat{IDF}$ .

Bài 37: Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE . Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chọn câu đúng nhất.

A. PQ vuông góc với MN .

B. Tứ giác PMQN là hình thoi.

C. Cả A, B đều đúng.     

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$$\begin{gathered} MP=\frac{1}{2}BD=a \\ NQ=\frac{1}{2}DB=a \\ NP=\frac{1}{2}CE=a \\ MQ=\frac{1}{2}CE=a \end{gathered}$$

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN⊥PQ

Bài 38: Nêu khái niệm hình chiếu? Cho ví dụ và phân tích?

Lời giải:

- Hình chiếu của vật thể là hình nhận được trên một mặt phẳng (người ta còn gọi hình chiếu là cái bóng của vật thể)

- Ví dụ: Ta lấy đèn pin chiếu thẳng vào mặt chính diện của một vật hình vuông, ta lấy mặt phẳng của bức tường để

thu hình chiếu. Suy ra ta sẽ thu được hình chiếu trên vạch tường (hay cái bóng).

Bài 39: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho?

A. 4

B. 6

C. 12

D. 8

Lời giải:

Các vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho là:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC}$

Bài 40: Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D. Từ các điểm trên ta có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vecto không?

Lời giải:

Ta có 4C2.2=12 vecto

Bài 41: $\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Lời giải:

Bài 42: $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Lời giải:

Bài 43: Cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC =13 tính AM

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến kẻ từ A xuống BC nên ta có:

$AM=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}$

Vậy $AM=\frac{13}{2}$

Bài 44: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC

a) cho BC = 10cm tính AM

b) gọi N là trung điểm của AB cho MN // AC

c) kẻ MD // AD chứng minh tứ giác ANMD là hình chữ nhật

Lời giải:

a) Xét △ ABC vuông tại A có :

AM là đường trung tuyến

Nên : $AM=\frac{BC}{2}$  ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Mà : BC = 10 ( cm )

Suy ra : AM = 10 : 2 = 5 ( cm )

b) Xét △ ABC vuông tại A có :

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AB

Nên : MN là đường trung bình của △ ABC

Do đó : MN // AC và $MN=\frac{AC}{2}$

c) Bạn nên sửa là MD // AB. ( D ∈ AC )

Xét Δ ACB có :

M là trung điểm của BC

MD // AB

Nên : MD là đường trung bình của △ ACB

Do đó : MD // AB và $MD=\frac{AB}{2}$

Hay : MD // AN ( N ∈ AB )

Lại có : MN // AD ( D ∈ AC )

Suy ra : ANMD là hình bình hành

Mà : Góc A = 90 độ

Vậy ANMD là hình chữ nhật

Bài 45: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

A. 752

B. 160

C. 156

D. 240

Lời giải:

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\overline{abcd}$ với a, b, c, d ∈ A  và đôi một khác nhau.

TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số.

Bài 46: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$  (e chẵn và các chữ số khác nhau từng đôi một )

TH1 : e = 0

Chọn e : 1 cách

Chọn a : 5 cách

chọn b : 4 cách

chọn c : 3 cách

chọn d : 2 cách

=> Theo Quy tắc nhân có : 1.5.4.3.2 = 120 .

TH2 : e # 0

Chọn e : 2 cách

Chọn a : 4 cách

chọn b : 4 cách

chọn c : 3 cách

chọn d : 2 cách

→ Theo quy tắc nhân có :2.4.4.3.2  = 192

→ Có tất cả 192 + 120 = 312 số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Bài 47: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

B. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{QP}$

C. $\overrightarrow{3MN}=2\overrightarrow{QP}$

D. $\overrightarrow{3MN}=\overrightarrow{QP}$

Lời giải:

Chọn A.

+ Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC .

suy ra MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC$ (1).

+ Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC

suy ra QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$ (2).

+ Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = PQ  do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Vậy ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

Bài 48: Cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành , IMPN là hình bình hành

Lời giải:

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

→ MN là đường trung bình

→ MN//AC và $MN=\frac{1}{2}AC$  (1)

Xét tam giác ADC có:

P là trung điểm DC

Q là trung điểm AD

→ PQ là đường trung bình

→ PQ//AC và  $PQ=\frac{1}{2}AC$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}PQ//MN\\ PQ=MN\end{array}\right.$

→ MNPQ là hình bình hành

Bài 49: Cho các số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10

Lời giải:

Các số thỏa mãn ĐK Đề bài có dạng $\overline{abc0}$

+ Chọn 33 chữ số khác nhau từng đôi một từ {1;2;3;4;5;6;7} và xếp vào 3 vị trí

→ có $A_7^3=210$ cách

→ Có 210 số thỏa mãn ĐK Đề bài

Bài 50: Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là:

A. $A_4^6$

B. $C_6^4$

C. $A_6^4$

D. $C_4^6$

Lời giải:

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Số các số là: $A_6^4=360$ số.

Đáp án cần chọn là: C

Bài 51: Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Lời giải:

Gọi số xe loại lớn, nhỏ cần thuê lần lượt là x, y xe, (x, y ≥ 0, x, y ∈ Z)

→ T = 4x + 2y (triệu đồng) là số tiền thuê xe.

Suy ra để số tiền thuê xe nhỏ nhất thì T = 4x + 2y nhỏ nhất

Theo bài ta có:

$\left\{\begin{array}{c}0\le x\le 12\\ 0\le y\le 10\\ 40x+30y\ge 450\\ 5x+y\ge 35\end{array}\right.$

Vẽ miền nghiệm của hệ trên, thấy các điểm giao nhau là:

A (12, 10), B (12, 0), C (11.250), D (5,10), $E\left(\frac{60}{11},\frac{85}{11}\right)$

Suy ra:

T_A = 68, T_B = 48, T_C = 45, T_D = 40

→T_D nhỏ nhất vì x, y ∈ Z

→Cần thuê 5 xe lớn và 10 xe nhỏ

Bài 52: Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4² + 4² + ... + 4⁵⁸ + 4⁵⁹ chia hết cho 21.

Lời giải:

D = 1 + 4 + 4² + 4² + ... + 4⁵⁸ + 4⁵⁹ 

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …+ (4⁵⁷ + 4⁵⁸ + 4⁵⁹)

= (1 + 4 + 4²) + 4³.(1 + 4 + 4²) + …+ 4⁵⁷(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + …+ 4⁵⁷.21 chia hết 21.

Bài 53: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ +...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Lời giải:

a) A=1 + 4 + 4² + 4³ + ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸) + (4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³ + 4⁶ + 4⁹)

Suy ra A chia hết cho 21.

b) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸ + 4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4² + 4⁶.4³ + 4⁶.4⁴ + 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.

Bài 54: Người ta dùng mấy hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay?  

A. 1  

B. 2  

C. 3  

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án: B

Giải thích: Vì có 2 hình chiếu trùng nhau.

Bài 55: x² – 16 + 4y² + 4xy. Phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

x² – 16 − 4xy + 4y²

= (x² − 2.x.2y + 2y²) – 4²

= (x − 2y)² – 4²

= (x − 2y − 4)(x − 2y + 4)

Bài 56: Phân tích đa thức thành nhân tử 16 - x² - 4xy - 4y²

Lời giải:

16 – x² – 4xy – 4y²

= 16 – (x² + 4xy + 4y²)

= 4² – (x + 2y)²

= (4 – x – 2y)(4 + x + 2y)

Bài 57: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB

và AC

a. CMR: ER = AH

b.Kẻ trung tuyến Am của tam giác ABC. C/m: AM⊥ EF

Lời giải:

a) EHFA có góc HEA = HFA = EAF = 90⁰ nên tứ giác đó là hình chữ nhật

⇒ EF =AH ( 2 đường chéo)

b) Gọi EF cắt AH tại I

Gọi AM cắt EF tại N

Góc BHE = HCA (2 góc đồng vị)

Mà BHE + EBH = BHE + EHI = 90

⇒ EBH = EHI (1)

Theo tính chất hình chữ nhật EI = IH => EHI = IEH (2)

MB = MA ⇒ MBE = MAB (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ IEH = BAM

Mặt khác IEH + IEA = 90 ⇒ BAM + IEA = 90

⇒ ANE = 90

⇒ AM vuông góc EF tại N

Bài 58: Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m mặt phản xạ hướng lên . Ánh

sáng từ bóng đèn bin (nguồn sáng điểm) cách trần nhà 1m

a, Hãy tính đường kính vệt sáng trên trần nhà

b. Cần phả dịch bóng đèn về phía nào vuông góc với gương một đoạn bao nhiêu để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi

Lời giải:

a) Xét tam giác S’IA đồng dạng với tam giác S’I’A’ có:

$\frac{S\text{'}I}{S\text{'}I\text{'}}=\frac{IA}{I\text{'}A\text{'}}=\frac{BA}{B\text{'}A\text{'}}\Rightarrow A\text{'}B\text{'}=\frac{S\text{'}I\text{'}.BA}{S\text{'}I}=\frac{S\text{'}I+II\text{'}}{S\text{'}I}.BA$

mà SI = S'I → A'B'= 30cm

b) Để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi ta phải di chuyển bóng đèn đến gần gương khi đó

$$\begin{gathered} \frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{60}{10}=\frac{SI+II\text{'}}{SI}\Rightarrow 6SI=SI+II\text{'}\Rightarrow 5SI=II\text{'} \\ \to SI=\frac{II\text{'}}{5}=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}\left(m\right)=40cm \end{gathered}$$

Vậy ta phải dịch bóng đèn lại gần gương một đoạn là:

H = 100 – 40 = 60(cm).

Bài 59: Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

$\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|$

Lời giải:

a) Gọi K là điểm thoả mãn: 

L là điểm thoả mãn: $3\overrightarrow{LB}-2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Vậy Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

Bài 60. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn: BH = 4cm và HC = 6cm.

a) Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đó góc AMB (làm tròn đến độ)

c) Kẻ AK vuông góc BM (K thuộc BM). Chứng minh: $\frac{BK}{BH}=\frac{BC}{BM}$

Lời giải

A_ Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC

∆ABC vuông tại A:

$$\begin{gathered} A{H}^2=HB.HC=4.6=24\Rightarrow AH=2\sqrt{6 }\left(cm\right) \\ A{B}^2=BC.HB=10.4=40\Rightarrow AB=2\sqrt{10}\left(cm\right) \\ A{C}^2=BH.HC=10.6=60\Rightarrow AC=2\sqrt{15}\left(cm\right) \end{gathered}$$

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc AMB (làm tròn độ). ∆ABM vuông tại A

$tgAMB=\frac{AB}{AM}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\Rightarrow AMB\approx 59°$

c) Kẻ AK vuông góc với BM ($K\in BM$). Chứng minh $∆BKC đồng dạng ∆BHM$

∆ABM vuông tại A có: $AK\perp BM$ 

+ AB² = BK.BM

∆ABC vuông tại A có: $AH\perp BC$ 

+ AB2 = BH.BC

$\Rightarrow BK.BM=BH.BC hay \frac{BK}{BH}=\frac{BC}{BM}$