Kết quả của biểu thức: 2000 + (32,4 : 3 – 10,8) x 0,25 là:

A. 2000

B. 502,7

C. 500

D. 0,500

Đáp án: A

9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 - 0

Vì 125 = 5 x 5 x 5 nên độ dài cạnh của hình lập phương đó là 5 m.

Diện tích xung quanh hình lập phương đó là:

(5 x 5) x 4 = 100 (cm²)

                 Đáp số: 100 cm².

Câu 7: Không thực hiện phép tính hãy so sánh: A = 2002²; B = 2001 x 2023

Phương pháp giải:

Với a, b, c tùy ý ta có:

Nếu $a<b$ thì $a+c<b+c$

Nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$

Nếu $a\le b$ thì $a+c\le b+c$

Nếu $a\ge b$ thì $a+c\ge b+c$

Lời giải:

A = 2002²

= 2002 x 2002

= (2001 + 1) x (2003 - 1)

= 2001 x 2003 + 1 x 2003 - 2001 x 1 - 1 x 1

= 2001 x 2003 +1 > B

Vậy A > B

Mở rộng:

Không tính ra kết quả hãy so sánh A và B, biết :

A = 2007 × 2007; B = 2004 × 2008

Lời giải:

Câu 8: Tìm x biết 5^x + 5^x+2 = 650

Lời giải:

$5^x+5^{x+2}=650$

=> $5^x+5^x{.5}^2=650$

=> $5^x+5^x.25=650$

=> $5^x.\left(1+25\right)=650$

=> $5^x.26=650$

=> $5^x=650:26$

=> $5^x$ = 25

=> $5^x=5^2$

=> x = 2

Mở rộng:

Giải phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}=2^{3x}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}=2^{3x}\\ \iff 2^{-2x+1}=2^{3x}\\ \iff -2x+1=3x\\ \iff 1=5x\\ \iff x={\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}$

Câu 9: Một máy bơm bơm nước lên cao 5,5 mét. Trong mỗi giây, máy sinh công 7500 J. Tính thể tích nước mà máy bơm chuyển được lên cao khi máy hoạt động liên tục trong 1 giờ.

Lời giải:

Cách 1:

h = 5,5 m

A = 7500 J

D = 1000 kg/m³

Đổi  : ${\displaystyle 1h=3600s}$

$$${\displaystyle \to }$ Công máy bơm sinh ra trong ${\displaystyle 1h}$ là :
$$${\displaystyle A=7500.3600=27 000 000\left(J\right)}$

$$${\displaystyle \to }$ Trọng lượng nước bơm lên trong ${\displaystyle 1h}$ là :
$$${\displaystyle P=\frac{A}{h}=\frac{27 000 000}{5,5}\approx 4 909 091\left(N\right)}$

$$${\displaystyle \to }$ Thể tích nước được bơm lên :

$$$V=\frac{P}{d}=\frac{4 909 091}{10000}\approx 491\left(m^3\right)$ 

Cách 1:

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD có góc A = 45^o ; AB = BD = 18cm 

Phương pháp giải:

Định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Công thức tính diện tích tam giác vuông = $\frac{1}{2}$ tích 2 cạnh góc vuông

Lời giải:

$a)\mathrm{\Delta }ABD,AB=BD,\hat{A}={45}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD$ vuông cân tại $B$

$$\begin{gathered} \Rightarrow A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2(Pytago) \\ \Rightarrow AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=18\sqrt{2}(cm) \\ b)S_{ABD}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.BD=162(c{m}^2) \end{gathered}$$

$ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow \hat{C}=\hat{A}={45}^{\circ },AB=CD$

$\mathrm{\Delta }BCD,CD=BD(=AB),\hat{C}={45}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BCD$ vuông cân tại D

$S_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}CD.BD=162(c{m}^2)$

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=324(c{m}^2).$

Câu 11: Có bao nhiêu số nhỏ hơn 1000 chia cho 5 dư 1. Tính tổng các số đó.

Phương pháp giải:

Lời giải: Số chia cho 5 dư 1 sẽ có dạng 5k + 1

Vậy:

Số lớn nhất là: 996

Số bé nhất là: 1

Khoảng cách giữa các số là 5

Số các số nhỏ hơn 1000 chia 5 dư 1 là:

$(996-1):5+1=200$ (số)

Tổng các số nhỏ hơn 1000 chia 5 dư 1 là:

(1 + 996)x 200 : 2 = 99 700

Vậy có 200 số nhỏ hơn 1000 chia 5 dư 1. Tổng các số đó là 99 700

Câu 12: Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy số sau: 6     6    6    6    6

để được biểu thức có giá trị lần lượt bằng : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Phương pháp giải:

Các dấu có thể thêm vào + (cộng) - (trừ) x (nhân) : (chia); và có thể thêm dấu ( ) kết hợp thử các trường hợp có thể xảy ra để ra được phép tính có giá trị đề bài yêu cầu

Lời giải:

a, Bằng 0:

(6 – 6 ) x (6 + 6 +6)

(6 – 6 ) : (6 + 6 + 6)  

b,  Bằng 1 :

6 + 6 – 66 : 6

6 – ( 66 : 6 – 6 )

c, Bằng 2:

(6 + 6) : 6 x 6 : 6

(6 x 6 : 6 + 6) : 6

6 : (6 x 6 : (6 + 6))

d, Bằng 3:

6 : 6 + (6 + 6) : 6

6 : (6 : 6 + 6 : 6)

e, Bằng 4:

 6 – (6 : 6 + 6 : 6)

(6 + 6 + 6 + 6) : 6

g, Bằng 5:  

6 – 6 : 6 x 6 : 6

6 – 6 x 6 : 6: 6

h, Bằng 6:

66 – 66 + 6

6 : 6 – 6 : 6 + 6

6 x 6 – 6 x 6 + 6

Câu 13: Đường xe lửa từ tỉnh A đến tỉnh B dài 300km. Lúc 7 giờ 45 phút một xe lửa tốc hành đi từ A đến B với vận tốc 80km/h. Đến 8 giờ 30 phút một xe lửa chở hàng đi từ B đến A với vận tốc 40km/h. Hỏi:

b/ hai xe lửa gặp nhau lúc mấy giờ?

Phương pháp giải:

Các công thức cần nhớ

- Thời gian đi = quãng đường : vận tốc = giờ đến – giờ khởi hành – giờ nghỉ (nếu có).

- Giờ khởi hành = giờ đến nơi – thời gian đi – giờ nghỉ (nếu có).

- Giờ đến nơi = giờ khởi hành + thời gian đi + thời gian nghỉ (nếu có).

- Vận tốc = quãng đường : thời gian (v = s:t)

- Quãng đường = vận tốc × thời gian (s = v.t)

- Vận tốc vật thứ nhất kí hiệu là v₁.

- Vận tốc vật thứ hai kí hiệu là v₂.

- Quãng đường hai vật cách nhau trong cùng thời điểm xuất phát là s.

- Thời gian để hai vật gặp nhau là t, thì :

   t = s : (v₁ + v₂)

Chú ý: s là quãng đường hai vật cách nhau trong cùng thời điểm xuất phát. Nếu vật nào xuất phát trước thì phải trừ quãng đường xuất phát trước đó.

Lời giải:

Khi xe chở hàng xuất phát, thời gian xe lửa đã đi được:

${\displaystyle 8}$ giờ ${\displaystyle 30}$ phút ${\displaystyle -7}$ giờ ${\displaystyle 45}$ phút ${\displaystyle =45}$ phút${\displaystyle =0,75}$ giờ

Khi xe chở hàng xuất phát, xe lửa đã đi được quãng đường:

${\displaystyle 80\times 0,75=60\left(km\right)}$

Khi xe chở hàng xuất phát, khoảng cách giữa hai xe là:

${\displaystyle 300-60=240\left(km\right)}$

Tổng vận tốc của hai xe là:

${\displaystyle 80+40=120(km}$${\displaystyle /h)}$

Thời gian cần để hai xe lửa gặp nhau là:

${\displaystyle 240:120=2}$ (giờ)

Hai xe lửa gặp nhau lúc:

${\displaystyle 8}$ giờ ${\displaystyle 30}$ phút ${\displaystyle +2}$ giờ ${\displaystyle =10}$ giờ ${\displaystyle 30}$ phút

Đáp số: ${\displaystyle 10}$ giờ ${\displaystyle 30}$ phút

Câu 14: Cho $A=\frac{n-2}{n+3}$ tìm giá trị của n để

Phương pháp giải:

Để chứng minh A là số nguyên tức là tử số sẽ chia hết cho mẫu số, ta tìm các giá chị của n để mẫu số là ước của tử số

Sử dụng kiến thức về ước và bội, dấu hiệu chia hết để biện luận giá trị biểu thức là số nguyên

Lời giải:

Để A là phân số

$\Rightarrow n+3\mathrm{\ne }0$

$\Rightarrow n\mathrm{\ne }-3$

Để A là số nguyên

=> n - 2 chia hết cho n + 3

Mà n - 2 = n + 3 - 5 => (n - 2) + 5 = n + 3

=> 5 chia hết cho n + 3

=> n + 3$\in$Ư(5)

=> n + 3$\in${1;-1;5;-5}

=> n$\in${-2;-4;2;-8}

Vậy với n$\in${-2;-4;2;-8} thì A là số nguyên

Câu 15: Điền số thích hợp vào chỗ trống 

Phương pháp giải:

1 cm³ = 0,001 dm³

1 dm² = 0,01 m² => 1 m² = 100 dm²

1 năm = 12 tháng

1 phút = 60 giây

Lời giải:

19,76 cm³ = 0,01976 dm³ (lấy 19,76 x 0,001 = 0,01976)

5m² 6dm² = 506 dm² (Lấy 5 x 100 + 6 = 506)

2 năm 6 tháng = 30 tháng (lấy 2 x 12 + 6 = 30)

12 phút = 720 giây (lấy 12 x 60 = 720)

Câu 16: Tìm y biết (y + 3)³ - (y + 1)³ = 56

Phương pháp giải:

Hiệu hai lập phương: Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Lập phương của một tổng: Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

Lời giải:

Cách 1: 

Áp dụng công thức hiệu của 2 lập phương thì ta có A = y + 3; B = y + 1

${(y+3)}^3-{(y+1)}^3=56$

<=> [(y + 3) - (y + 1)][(y + 3)² + (y + 3)(y + 1) + (y + 1)²] = 56

<=> (y + 3 - y - 1)(y² + 6y + 9 + y² + 4y + 3 + y² +  2y + 1) = 56

<=> 2.(3y² + 12y + 13) = 56

$\iff 6y^2+24y+26-56=0$

<=> 6y² + 24y - 30 = 0

<=> y² + 4y - 5 = 0

<=> y² - y + 5y - 5 = 0

<=> y(y - 1) + 5(y - 1) = 0

$\iff (y+5)(y-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}y=-5\\ y=1\end{array}$

Vậy y = -5 hoặc y = 1

Cách 2:

Áp dụng công thức lập phương của một tổng, ta có:

${(y+3)}^3-{(y+1)}^3=56$

<=> (y³ + 9y² + 27y + 27) - (y³ + 3y² + 3y + 1) = 56

<=> y³ + 9y² + 27y + 27 - y³ - 3y² - 3y - 1 = 56

$\iff 6y^2+24y+26-56=0$

<=> 6y² + 24y - 30 = 0

<=> y² + 4y - 5 = 0

<=> y² - y + 5y - 5 = 0

<=> y(y - 1) + 5(y - 1) = 0

$\iff (y+5)(y-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}y=-5\\ y=1\end{array}$

Vậy y = -5 hoặc y = 1

Câu 17: Hai ô tô xuất phát cùng một lúc từ cùng một địa điểm và đi ngược chiều nhau. Ô tô thứ nhất có vận tốc là 58km/giờ, ô tô thứ hai có vận tốc 62 km/giờ. Hỏi:

Phương pháp giải:

- Vận tốc = quãng đường : thời gian (v = s:t)

- Quãng đường = vận tốc × thời gian (s = v.t)

- Vận tốc vật thứ nhất kí hiệu là v₁.

- Vận tốc vật thứ hai kí hiệu là v₂.

- Quãng đường hai vật cách nhau trong cùng thời điểm xuất phát là s.

   s = (v₁ + v₂) . t

Lời giải:

a) 

Cách 1:

Sau 1 giờ ô tô thứ nhất đi được là: 58.1 = 58 (km)

Sau 1 giờ ô tô thứ hai đi được là: 62.1 = 62 (km)

Vậy sau 1 giờ khoảng cách giữa 2 ô tô là: 58 + 62 = 120 km

Cách 2:

Tổng vận tốc của 2 xe là: 58 + 62 = 120 (km/h)

Sau 1 giờ khoảng cách giữa 2 ô tô là: 120.1 = 120 km

b) Tương tự:

Cách 1:

Sau 2,5 giờ khoảng cách giữa 2 ô tô là: 58.2,5 + 62.2,5 = 300 km

Cách 2:

Sau 2,5 giờ khoảng cách giữa 2 ô tô là: (58 + 62).2,5 = 300 km

Câu 18: Tính hợp lí 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20

Phương pháp giải:

* Để tính nhanh, tính hợp lí giá trị một biểu thức ta có thể làm theo các cách sau:

- Áp dụng các tính chất của phép cộng để nhóm các số lại với nhau sao cho tổng của mỗi nhóm là một số tròn trục, tròn trăm…

- Nhóm các số lại với nhau sao cho mỗi nhóm có cùng kết quả, sau đó thực hiện cộng các số đã nhóm.

Lời giải:

11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20

= (11 - 12) + (13 - 14) + (15 - 16) + (17 - 18) + (19 - 20)

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1)

= (-1).5

= -5

Mở rộng:

Tính hợp lí: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …. + 99 – 100

Lời giải:

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …. + 99 – 100

= (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + (7 – 8) + …. + (99 – 100)

Từ 1 đến 100 có 100 số nên sẽ có 50 cặp.

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) +… + (-1) (50 số (-1))

= -50.

Câu 19: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm hạng tử

+ Phối hợp nhiều phương pháp

Lời giải:

a) $27x^3-27x^2+3x+1=27x^3-9x^2-18x^2+6x-3x+1$

$=(27x^3-9x^2)-(18x^2-6x)-(3x-1)$

$=9x^2(3x-1)-6x(3x-1)-(3x-1)$

$=(3x-1)(9x^2-6x-1)$

b)

 $$\begin{gathered} x^3-3x^2+3x-1 \\ =x^3-3.x^2\mathrm{.}2+3.x\mathrm{.}{1}^2-1^3 \\ ={(x-1)}^3 \end{gathered}$$

c)

 $$\begin{gathered} \frac{1}{27}+x^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+x^3 \\ =(x+\frac{1}{3})[{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}\mathrm{.}x+x^2] \\ =(x+\frac{1}{3})(x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}) \end{gathered}$$

d)

 $$\begin{gathered} 0,001-1000x^3={\left(\frac{1}{10}\right)}^3-{\left(10x\right)}^3 \\ =(\frac{1}{10}-10x)[{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{1}{10}\mathrm{.}10x+{\left(10x\right)}^2] \end{gathered}$$

$=(\frac{1}{10}-10x)(100x^2+x+\frac{1}{100})$

Câu 20: So sánh 2019 x 2021 và 2020 x 2020

Phương pháp giải:

Đây là bài toán biểu diễn biểu thức A theo biểu thức B hoặc ngược lại, hoặc biểu diễn hai biểu thức theo một biểu thức chung để từ đó so sánh giá trị hai biểu thức mà không cần tính toán

Lời giải:

Cách 1:

Ta có:

2019 x 2021 = (2020 - 1)x(2020 + 1)

= 2020 x 2020 + 2020x1 - 1x2020 - 1

= 2020 x 2020 + 2020 - 2020 - 1

= 2020 x 2020 - 1

=> 2019 x 2021 = 2020 x 2020 - 1

Vậy 2019 x 2021 < 2020 x 2020

Cách 2:

Ta có:

2019 x 2021 = 2019 x (2020 + 1)

= 2019 x 2020 + 2019

2020 x 2020 = (2019 + 1) x 2020

= 2019 x 2020 + 2020

mà 2019 < 2020 nên 2019 x 2020 + 2019 < 2019 x 2020 + 2020

Vậy 2019 x 2021 < 2020 x 2020

Câu 21: Cho hình 19 biết AB//CD, CD//EF. Tính $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ACE}$.

Phương pháp giải: 

Góc đồng vị là hai góc ở cùng phía của đường cắt, và cả hai đều nằm cùng phía với hai đường thẳng song song. 

Góc so le trong là hai góc nằm ở hai phía đối diện của đường cắt và ở bên trong hai đường thẳng song song.

Các góc so le trong và góc đồng vị luôn bằng nhau.

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180°

Lời giải:

Vì AB // CD nên $\widehat{ACx}={110}^{\circ }$(2 góc ở vị trí đồng vị)

Suy ra: $\widehat{ACD}={180}^{\circ }-\widehat{ACx}={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$

Lại có: $\widehat{CEy}={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$

Mà $\widehat{CEy}=\widehat{DCE}$ (2 góc so le trong vì DC // EF)

Nên: $\widehat{DCE}={30}^{\circ }$

Suy ra: $\widehat{ACE}=\widehat{ACD}+\widehat{DCE}={70}^{\circ }+{30}^{\circ }={100}^{\circ }$.

Câu 22: Điền vào ô trống: 15 giờ 6 phút $÷$ 4 = ?

Phương pháp giải: 

1 giờ = 60 phút

1 phút = 60 giây

Lời giải:

Bước 1: Đổi giờ ra phút

• 1 giờ = 60 phút
• 15 giờ = 15 x 60 = 900 phút
• Thêm 6 phút nữa: 900 + 6 = 906 phút

Bước 2: Chia cho 4

• 906 phút $÷$ 4 = 906 $÷$ 4 = 226,5 phút

Bước 3: Đổi lại từ phút ra giờ và phút

• 226 phút = 3 giờ 46 phút (vì 226 phút = 3 x 60 + 46 phút)
• 0,5 phút = 30 giây

Kết quả:

15 giờ 6 phút : 4 = 3 giờ 46 phút 30 giây.

Câu 23: Tính hợp lý 53.47

Phương pháp giải: 

* Để tính nhanh, tính hợp lí giá trị một biểu thức ta có thể làm theo các cách sau:

- Áp dụng các tính chất của phép cộng để nhóm các số lại với nhau sao cho tổng của mỗi nhóm là một số tròn trục, tròn trăm…

- Nhóm các số lại với nhau sao cho mỗi nhóm có cùng kết quả, sau đó thực hiện cộng các số đã nhóm.

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Lời giải:

53.47 = (50 + 3)(50 - 3) = ${50}^2 - 9^2$ = 2500 - 9 = 2491

Câu 24: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho phần tử của tập hợp đó

a) A = {1; 2; 3; 4; 5}