Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn BC=3BM, AB=3AN

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 06-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 87)

Đề bài: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn $\vec{B C} = 3 \vec{B M}, \vec{A B} = 3 \vec{A N}$ . Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.

Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)

Với $\vec{B E} = x \vec{B N} + y \vec{B C} = \frac{2 x}{3} \vec{B A} + 3 y \vec{B M} = \frac{2 x}{3} \vec{B A} + y \vec{B C}$

Vì E thuộc AM nên $\frac{2 x}{3} + 3 y = 1 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $x = \frac{6}{7}; y = \frac{1}{7}$

Vậy $\vec{B E} = \frac{4}{7} \vec{B A} + \frac{1}{7} \vec{B C}$

Mặt khác: $\vec{C N} = \vec{C A} + \vec{A N} = \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{A B} = \vec{C A} + \frac{1}{3} (\vec{A C} + \vec{C B}) = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$

Khi đó: $\vec{B E} . \vec{C N} = (\frac{4}{7} \vec{B A} + \frac{1}{7} \vec{B C}) (\frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B})$

$= \frac{8}{21} . \vec{B A} . \vec{C A} + \frac{4}{21} \vec{B A} . \vec{C B} + \frac{2}{21} \vec{B C} . \vec{C A} + \frac{1}{21} \vec{B C} . \vec{C B}$