Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 106)

287. Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A< 90 độ), các đường cao BD,CE (D thuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại H .

Phương pháp giải: 

a. Chứng minh theo g-c-g

b. Chứng minh cho góc HBC = HCB. Tam giác cân tại H.

c. HD < HB.

d. Gọi giao điểm I của BN và CM. Chứng minh I, A, H thẳng hàng.

Lời giải:

288. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A = 60°

Phương pháp giải: 

a) Kẻ DH vuông góc với AB

Chứng minh tam giác DFA và CFB bằng nhau. Thông qua đó tính BC.

b) M là trung điểm của AB.

MN là đường trung bình của hình chữ nhật HFDC. Thông qua đó tính MN.

Lời giải:

a) Kẻ ${\displaystyle DH\perp AB(H\in BC)}$

Vẽ đường trung tuyến ${\displaystyle HE}$ của ${\displaystyle \Delta DHA}$

${\displaystyle \to ED=EA=EH=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to \Delta EAH}$ cân 

mà ${\displaystyle \widehat{EAH}={60}^0}$

${\displaystyle \to \Delta EAH}$ đều 

${\displaystyle \to AH=EA=EH=\frac{AD}{2}}$

Kẻ ${\displaystyle CF\perp AB}$ mà ${\displaystyle AB/CD}$ nên ${\displaystyle CF\perp DC}$

mà ${\displaystyle DH\perp BC}$

${\displaystyle \to DCHF}$ là hình chữ nhật 

${\displaystyle \to DC=HF=10cm}$

mà ${\displaystyle HF+HA+FB=AB=30cm}$

${\displaystyle \to HA+FB=30-10=20cm}$

Xét ${\displaystyle \Delta DHA}$ và ${\displaystyle \Delta CFB}$, có:

${\displaystyle +)DH=CF}$ (tính chất hình chữ nhật)

${\displaystyle +)\widehat{DHA}=\widehat{CFB}={90}^0}$

${\displaystyle +)DA=BC}$ (tính chất hình thang cân)

${\displaystyle \to \Delta DHA=\Delta CFB\left(cgc\right)}$

${\displaystyle \to AH=FB}$

mà ${\displaystyle AH+FB=20cm}$

${\displaystyle \to AH=FB=10cm}$

mà ${\displaystyle AH=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to 10=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to AD=20cm}$

${\displaystyle \to BC=20cm}$

b) ${\displaystyle M}$ là trung điểm ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle \to MA=MB}$

${\displaystyle \to AH+HM=FM+FB}$

mà ${\displaystyle AH=FB}$

${\displaystyle \to HM=FM}$

${\displaystyle \to M}$ là trung điểm ${\displaystyle HF}$

mà ${\displaystyle N}$ là trung điểm ${\displaystyle DC}$

${\displaystyle \to MN}$ là đường trung bình của hình chữ nhật ${\displaystyle HFDC}$

${\displaystyle \to MN=\frac{DH+CF}{2}=\frac{2DH}{2}=DH=\sqrt{A{D}^2-A{H}^2}=\sqrt{{20}^2-{10}^2}=10\sqrt{3}cm}$

289. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); DC là đáy lớn; AH là đường cao. DH=5cm; HC=35cm. Tính độ dài đường trung bình của hình thang

Phương pháp giải: 

Kẻ BK vuông góc với CD thì CK = DH.

Tính độ dài đương trung bình của hình thang thông qua AB và CD.

Lời giải:

CD=DH+HC=5+35=40(cm)

Kẻ $BK\perp CD$ thì $CK=DH$.

$HK=DC-2DH=30\left(cm\right)$

$ABKH$ABKHlà hình chữ nhật nên $AB=HK=30\left(cm\right)$

Độ dài đường trung bình của hình thang là: $\frac{AB+CD}{2}=\frac{30+40}{2}=35\left(cm\right)$

290. Tính nhanh :

Phương pháp giải: 

Nhận thấy các biểu thức có thể được nhóm lại để sử dụng tính chất phân phối của phép nhân.

Lời giải:

5,8x2,6+5,8x2,9+5,8x4,8-10,3x4,8

=5,8x(2,6+2,9+4,8)-10,3x4,8

=5,8x10,3-10,3x4,8

=10,3x(5,8-4,8)

=10,3x1=10,3

291. Hai thành phố A và B cách nhau 135 km. Lúc 7 giờ sáng,một người đi ôtô từ A với vận tốc 60 km/giờ về phía B. 15 phút sau, một người đi xe máy từ B với vận tốc 30 km/giờ về phía A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai xe gặp nhau? Chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải: 

Tính quãng đường ôtô đi 15'

Tính quãng đường ôtô đi còn lại

Suy ra thời gian 2 xe gặp nhau: Quãng đường còn lại chia cho tổng vận tốc.

Địa điểm 2 xe gặp nhau cách B số km là: Vận tốc người đi xe máy từ B chia cho thời gian 2 xe gặp nhau

Lời giải:

Quãng đường ôtô đi 15' là:

60*$\frac{15}{60}$=15(km)

Quãng đường còn lại là :

135-15=120(km)

Thời gian 2 xe gặp nhau là:

120:90=4/3(giờ)

Địa điểm 2 xe gặp nhau cách B số km là:

30*$\frac{4}{3}$=40(km)

292. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m². Nếu tăng chiều dài thêm 10m, giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài chiều rộng của mảnh vườn.

Phương pháp giải: 

Gọi x(m) là chiều dài, tìm chiều rộng theo x.

Lập phương trình bậc 2 và giải tìm x.

Kết luận chiều dài của mảnh vườn.

Lời giải:

Gọi x(m) là chiều dài( dk: x>=0;y>=6)

$\frac{720}{x}$ (m) là chiều rộng

Nếu tăng chiều dài 10m thì chiều dài mới là x+10

Nếu giảm chiều rộng 6m thì chiều rộng mới là $\frac{720}{x }-6$

Vì khi thay đôi cd, cr diện tích vẫn giữ nguyên nên ta có pt

(x+10)$\frac{720}{x }-6$=720

<=> 720+$\frac{720}{x }$ -60-6x=720

<=> 6x²+60x-7200=0 

Giải pt ta được x1=30 (TMĐK)

                        x2=-40 (TMĐK)

Vậy chiều dài là 30m

       chiều rộng là 720/30=24m

293. Tìm 5% của 400

Phương pháp giải: 

Để tìm một tỷ lệ phần trăm của một số, ta nhân số đó với tỷ lệ phần trăm dưới dạng số thập phân.

Lời giải:

5% của 400 là:

$\frac{5}{100}\times 400=20$

Đáp số: 20

294. Cho a,b,c>0.CMR $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3}{2}$

Phương pháp giải: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

Với n số thực không âm ; ta có công thức như sau:

x1 + x2 + x3 +... +xn > hoặc = n căn bậc n của tích x1.x2.x3….xn.

Để dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đáp ứng được điều kiện: x1 =x2=x3=…=xn.

Lời giải:

295. Tìm x nguyên, biết:

Phương pháp giải: 

Thực hiện các phép tính trong ngoặc trước.

Biến đổi phương trình để tìm giá trị của $x$.

Đảm bảo $x$ là một số nguyên thỏa mãn phương trình.

Lời giải:

a) $x+5=20-(12-7)$

$\Rightarrow x+5=20-5$

$\Rightarrow x+5=15$

$\Rightarrow x=15-5$

$\Rightarrow x=10$

b) $15-(3+2x)=2^2$

$\Rightarrow 3+2x=15-4$

$\Rightarrow 3+2x=11$

$\Rightarrow 2x=11-3$

$\Rightarrow 2x=8$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8}{2}}$​

$\Rightarrow x=4$

c) $-11-(19-x)=50$

$\Rightarrow 19-x=-11-50$

$\Rightarrow 19-x=-61$

$\Rightarrow x=61+19$

$\Rightarrow x=80$

d) $159-(25-x)=43$

$\Rightarrow 25-x=159-43$

$\Rightarrow 25-x=116$

$\Rightarrow x=25-116$

$\Rightarrow x=-91$

e) $(79-x)-43=-(17-52)$

$\Rightarrow (79-x)-43=52-17$

$\Rightarrow 79-x-43=35$

$\Rightarrow 36-x=35$

$\Rightarrow x=1$

f) $(7+x)-(21-13)=32$

$\Rightarrow 7+x-8=32$

$\Rightarrow x-1=32$

$\Rightarrow x=32+1$

$\Rightarrow x=33$

g) $-x+20=-15+8+13$

$\Rightarrow -x+20=6$

$\Rightarrow x=20-6$

$\Rightarrow x=14$

h) $-(-x+13-142)+18=55$

$\Rightarrow x-13+142+18=55$

$\Rightarrow x+147=55$

$\Rightarrow x=55-147$

$\Rightarrow x=-92$

298. Chứng minh rằng với mọi n ta có $\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}$ thuộc Z

Phương pháp giải: 

Thêm bớt n. Chia các trường hợp:

Chứng minh các trường hợp chia hết.

Nhận xét và kết luận.

Lời giải:

$$\begin{gathered} P = \frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15} \\ = \frac{n^5-n+n}{5} + \frac{n^3-n+n}{3} + \frac{7n}{15} \\ =\frac{n^5-n}{5} + \frac{n^3-n}{3} + \frac{n}{5} + \frac{n}{3} + \frac{7n}{15} \end{gathered}$$
* n⁵−n=n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)

$=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$

Do $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 

=> $\frac{n^5-n}{5}$ = a (thuộc Z) 

* n³ - n = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

=> $\frac{n^3-n}{3}$ = b (thuộc Z) 

* $\frac{n}{5} + \frac{n}{3} + \frac{7n}{15}$ = $\frac{15n}{15}$ = n (thuộc Z) 

Vậy: P = a + b + n thuộc Z

299. Chứng minh rằng: n.(n+1).(2n+1) chia hết cho cả 2 và 3

Phương pháp giải: 

Phân tích $n(n+1)(2n+1)$ thành ba số liên tiếp.

Chứng minh một số trong ba số này chia hết cho 2.

Chứng minh một số trong ba số này chia hết cho 3.

Kết luận rằng $n(n+1)(2n+1)$ chia hết cho cả 2 và 3.

Lời giải:

n.(n+1).(n+2)

=n.(n+1).[(n+2)+(n-1)]

=n.(n+1).(n+2) + (n-1).n.(n+1)

=[n.(n+1).(n+2)] +[(n-1) .n.(n+1]

Vì n.(n+1).(n+2) Là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=>n.(n+1) .(n+2) chia hết cho 2 và 3 (1)

Lại có:

 (n-1) .n.(n+1) 

 Là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=>(n-1) .n.(n+1) chia hết cho 2 và 3 (2)

Tư (1) vs (2) => [n+(n+1)+(n+2)]+[(n-1).n.(n+1)]  chia hết cho 2 và 3

=>n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 2 và 3

300. Một cái sân hình chữ nhật chiều dài gấp đôi chiều rộng. Người ta mở rộng chiều dài 2m ,chiều rộng 2m thì được cái sân mới có diện tích hơn sân cũ 52 m² .Tính diện tích cái sân ban đầu

Phương pháp giải: 

Chiều dài hình chữ nhật phần tăng thêm.

Chiều rộng hình chữ nhật phần lúc chưa mở rộng

Chiều dài hình chữ nhật phần lúc chưa mở rộng

Diện tích cái sân ban đầu

Lời giải:

Theo đầu bài ta có diện tích tăng thêm 52m² là diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 2m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng cái sân cũ cộng thêm 2m. 
Chiều dài hình chữ nhật phần tăng thêm là: 
52 : 2 = 26 ( m ) 
Ba lần chiều rộng cái sân lúc chưa mở rộng là: 
26 - 2 = 24 ( m ) 
Chiều rộng cái sân lúc chưa mở rộng là: 
24 : 3 = 8 ( m ) 
Chiều dài cái sân lúc chưa mở rộng là: 
8 x 2 = 16 ( m ) 
Diện tích cái sân lúc chưa mở rộng là: 
16 x 8 = 128 ( m² ) 
Đáp số: 128 m²

301. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau:

Phương pháp giải: 

Để tìm số hạng thứ 10 của các dãy số trên, ta sử dụng công thức tổng quát của dãy số số học:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

trong đó:

• $a_n$​ là số hạng thứ $n$,
• $a_1$​ là số hạng đầu tiên,
• $d$ là công sai của dãy số.

Lời giải:

a) Dãy số: 1; 5; 9; 13; ...

• Số hạng đầu tiên $a_1 = 1$,

• Công sai $d = 5 - 1 = 4$.

Công thức tìm số hạng thứ 10 là:

$$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 4 = 1 + 9 \cdot 4 = 1 + 36 = 37$$

Kết quả: Số hạng thứ 10 là 37.

b) Dãy số: 2; 6; 12; ...

• Số hạng đầu tiên $a_1 = 2$,

• Công sai $d = 6 - 2 = 4$.

Công thức tìm số hạng thứ 10 là:

$$a_{10} = 2 + (10-1) \cdot 4 = 2 + 9 \cdot 4 = 2 + 36 = 38$$

Kết quả: Số hạng thứ 10 là 38.

c) Dãy số: ...; 54; 57; 60 (biết rằng dãy số có 20 số hạng)

Ta cần tìm số hạng thứ 10 trong dãy này. Biết rằng dãy có 20 số hạng, và ba số hạng cuối cùng là $54, 57, 60$.

• Số hạng cuối cùng là $a_{20} = 60$,

• Công sai $d = 57 - 54 = 3$.

Sử dụng công thức tổng quát:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

Với $a_{20} = 60$, ta có:

$$60 = a_1 + (20-1) \cdot 3$$

$$60 = a_1 + 57$$

$$a_1 = 60 - 57 = 3$$

Vậy số hạng đầu tiên là $a_1 = 3$

Giờ ta tính số hạng thứ 10:

$$a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 3 = 3 + 9 \cdot 3 = 3 + 27 = 30$$

Kết quả: Số hạng thứ 10 là 30.

d) Dãy số: ...; 92; 96; 100 (biết rằng dãy số có 25 số hạng)

Cũng giống như câu trước, ta biết dãy số có 25 số hạng và ba số hạng cuối là $92, 96, 100$

• Số hạng cuối cùng là $a_{25} = 100$,

• Công sai $d = 96 - 92 = 4$

Sử dụng công thức tổng quát:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

Với $a_{25} = 100$, ta có:

$$100 = a_1 + (25-1) \cdot 4$$

 $$100 = a_1 + 96$$

$$a_1 = 100 - 96 = 4$$

Vậy số hạng đầu tiên là $a_1 = 4$

Giờ ta tính số hạng thứ 10:

$$a_{10} = 4 + (10-1) \cdot 4 = 4 + 9 \cdot 4 = 4 + 36 = 40$$

Kết quả: Số hạng thứ 10 là 40.

299. 

Phương pháp giải: 

 

Lời giải:

 

299. 

Phương pháp giải: 

 

Lời giải:

 

299.