Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 106)

287. Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A< 90 độ), các đường cao BD,CE (D thuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại H .

Phương pháp giải: 

a. Chứng minh theo g-c-g

b. Chứng minh cho góc HBC = HCB. Tam giác cân tại H.

c. HD < HB.

d. Gọi giao điểm I của BN và CM. Chứng minh I, A, H thẳng hàng.

Lời giải:

288. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A = 60°

Phương pháp giải: 

a) Kẻ DH vuông góc với AB

Chứng minh tam giác DFA và CFB bằng nhau. Thông qua đó tính BC.

b) M là trung điểm của AB.

MN là đường trung bình của hình chữ nhật HFDC. Thông qua đó tính MN.

Lời giải:

a) Kẻ ${\displaystyle DH\perp AB(H\in BC)}$

Vẽ đường trung tuyến ${\displaystyle HE}$ của ${\displaystyle \Delta DHA}$

${\displaystyle \to ED=EA=EH=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to \Delta EAH}$ cân 

mà ${\displaystyle \widehat{EAH}={60}^0}$

${\displaystyle \to \Delta EAH}$ đều 

${\displaystyle \to AH=EA=EH=\frac{AD}{2}}$

Kẻ ${\displaystyle CF\perp AB}$ mà ${\displaystyle AB/CD}$ nên ${\displaystyle CF\perp DC}$

mà ${\displaystyle DH\perp BC}$

${\displaystyle \to DCHF}$ là hình chữ nhật 

${\displaystyle \to DC=HF=10cm}$

mà ${\displaystyle HF+HA+FB=AB=30cm}$

${\displaystyle \to HA+FB=30-10=20cm}$

Xét ${\displaystyle \Delta DHA}$ và ${\displaystyle \Delta CFB}$, có:

${\displaystyle +)DH=CF}$ (tính chất hình chữ nhật)

${\displaystyle +)\widehat{DHA}=\widehat{CFB}={90}^0}$

${\displaystyle +)DA=BC}$ (tính chất hình thang cân)

${\displaystyle \to \Delta DHA=\Delta CFB\left(cgc\right)}$

${\displaystyle \to AH=FB}$

mà ${\displaystyle AH+FB=20cm}$

${\displaystyle \to AH=FB=10cm}$

mà ${\displaystyle AH=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to 10=\frac{AD}{2}}$

${\displaystyle \to AD=20cm}$

${\displaystyle \to BC=20cm}$

b) ${\displaystyle M}$ là trung điểm ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle \to MA=MB}$

${\displaystyle \to AH+HM=FM+FB}$

mà ${\displaystyle AH=FB}$

${\displaystyle \to HM=FM}$

${\displaystyle \to M}$ là trung điểm ${\displaystyle HF}$

mà ${\displaystyle N}$ là trung điểm ${\displaystyle DC}$

${\displaystyle \to MN}$ là đường trung bình của hình chữ nhật ${\displaystyle HFDC}$

${\displaystyle \to MN=\frac{DH+CF}{2}=\frac{2DH}{2}=DH=\sqrt{A{D}^2-A{H}^2}=\sqrt{{20}^2-{10}^2}=10\sqrt{3}cm}$

289. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); DC là đáy lớn; AH là đường cao. DH=5cm; HC=35cm. Tính độ dài đường trung bình của hình thang

Phương pháp giải: 

Kẻ BK vuông góc với CD thì CK = DH.

Tính độ dài đương trung bình của hình thang thông qua AB và CD.

Lời giải:

CD=DH+HC=5+35=40(cm)

Kẻ $BK\perp CD$ thì $CK=DH$.

$HK=DC-2DH=30\left(cm\right)$

$ABKH$ABKHlà hình chữ nhật nên $AB=HK=30\left(cm\right)$

Độ dài đường trung bình của hình thang là: $\frac{AB+CD}{2}=\frac{30+40}{2}=35\left(cm\right)$

290. Tính nhanh :

Phương pháp giải: 

Nhận thấy các biểu thức có thể được nhóm lại để sử dụng tính chất phân phối của phép nhân.

Lời giải:

5,8x2,6+5,8x2,9+5,8x4,8-10,3x4,8

=5,8x(2,6+2,9+4,8)-10,3x4,8

=5,8x10,3-10,3x4,8

=10,3x(5,8-4,8)

=10,3x1=10,3

291. Hai thành phố A và B cách nhau 135 km. Lúc 7 giờ sáng,một người đi ôtô từ A với vận tốc 60 km/giờ về phía B. 15 phút sau, một người đi xe máy từ B với vận tốc 30 km/giờ về phía A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai xe gặp nhau? Chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải: 

Tính quãng đường ôtô đi 15'

Tính quãng đường ôtô đi còn lại

Suy ra thời gian 2 xe gặp nhau: Quãng đường còn lại chia cho tổng vận tốc.

Địa điểm 2 xe gặp nhau cách B số km là: Vận tốc người đi xe máy từ B chia cho thời gian 2 xe gặp nhau

Lời giải:

Quãng đường ôtô đi 15' là:

60*$\frac{15}{60}$=15(km)

Quãng đường còn lại là :

135-15=120(km)

Thời gian 2 xe gặp nhau là:

120:90=4/3(giờ)

Địa điểm 2 xe gặp nhau cách B số km là:

30*$\frac{4}{3}$=40(km)

292. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m². Nếu tăng chiều dài thêm 10m, giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài chiều rộng của mảnh vườn.

Phương pháp giải: 

Gọi x(m) là chiều dài, tìm chiều rộng theo x.

Lập phương trình bậc 2 và giải tìm x.

Kết luận chiều dài của mảnh vườn.

Lời giải:

Gọi x(m) là chiều dài( dk: x>=0;y>=6)

$\frac{720}{x}$ (m) là chiều rộng

Nếu tăng chiều dài 10m thì chiều dài mới là x+10

Nếu giảm chiều rộng 6m thì chiều rộng mới là $\frac{720}{x }-6$

Vì khi thay đôi cd, cr diện tích vẫn giữ nguyên nên ta có pt

(x+10)$\frac{720}{x }-6$=720

<=> 720+$\frac{720}{x }$ -60-6x=720

<=> 6x²+60x-7200=0 

Giải pt ta được x1=30 (TMĐK)

                        x2=-40 (TMĐK)

Vậy chiều dài là 30m

       chiều rộng là 720/30=24m

293. Tìm 5% của 400

Phương pháp giải: 

Để tìm một tỷ lệ phần trăm của một số, ta nhân số đó với tỷ lệ phần trăm dưới dạng số thập phân.

Lời giải:

5% của 400 là:

$\frac{5}{100}\times 400=20$

Đáp số: 20

294. Cho a,b,c>0.CMR $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3}{2}$

Phương pháp giải: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

Với n số thực không âm ; ta có công thức như sau:

x1 + x2 + x3 +... +xn > hoặc = n căn bậc n của tích x1.x2.x3….xn.

Để dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đáp ứng được điều kiện: x1 =x2=x3=…=xn.

Lời giải:

295. Tìm x nguyên, biết:

Phương pháp giải: 

Thực hiện các phép tính trong ngoặc trước.

Biến đổi phương trình để tìm giá trị của $x$.

Đảm bảo $x$ là một số nguyên thỏa mãn phương trình.

Lời giải:

a) $x+5=20-(12-7)$

$\Rightarrow x+5=20-5$

$\Rightarrow x+5=15$

$\Rightarrow x=15-5$

$\Rightarrow x=10$

b) $15-(3+2x)=2^2$

$\Rightarrow 3+2x=15-4$

$\Rightarrow 3+2x=11$

$\Rightarrow 2x=11-3$

$\Rightarrow 2x=8$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8}{2}}$​

$\Rightarrow x=4$

c) $-11-(19-x)=50$

$\Rightarrow 19-x=-11-50$

$\Rightarrow 19-x=-61$

$\Rightarrow x=61+19$

$\Rightarrow x=80$

d) $159-(25-x)=43$

$\Rightarrow 25-x=159-43$

$\Rightarrow 25-x=116$

$\Rightarrow x=25-116$

$\Rightarrow x=-91$

e) $(79-x)-43=-(17-52)$

$\Rightarrow (79-x)-43=52-17$

$\Rightarrow 79-x-43=35$

$\Rightarrow 36-x=35$

$\Rightarrow x=1$

f) $(7+x)-(21-13)=32$

$\Rightarrow 7+x-8=32$

$\Rightarrow x-1=32$

$\Rightarrow x=32+1$

$\Rightarrow x=33$

g) $-x+20=-15+8+13$

$\Rightarrow -x+20=6$

$\Rightarrow x=20-6$

$\Rightarrow x=14$

h) $-(-x+13-142)+18=55$

$\Rightarrow x-13+142+18=55$

$\Rightarrow x+147=55$

$\Rightarrow x=55-147$

$\Rightarrow x=-92$

298. Chứng minh rằng với mọi n ta có $\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}$ thuộc Z

Phương pháp giải: 

Thêm bớt n. Chia các trường hợp:

Chứng minh các trường hợp chia hết.

Nhận xét và kết luận.

Lời giải:

$$\begin{gathered} P = \frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15} \\ = \frac{n^5-n+n}{5} + \frac{n^3-n+n}{3} + \frac{7n}{15} \\ =\frac{n^5-n}{5} + \frac{n^3-n}{3} + \frac{n}{5} + \frac{n}{3} + \frac{7n}{15} \end{gathered}$$
* n⁵−n=n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)

$=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$

Do $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 

=> $\frac{n^5-n}{5}$ = a (thuộc Z) 

* n³ - n = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

=> $\frac{n^3-n}{3}$ = b (thuộc Z) 

* $\frac{n}{5} + \frac{n}{3} + \frac{7n}{15}$ = $\frac{15n}{15}$ = n (thuộc Z) 

Vậy: P = a + b + n thuộc Z

299. Chứng minh rằng: n.(n+1).(2n+1) chia hết cho cả 2 và 3

Phương pháp giải: 

Phân tích $n(n+1)(2n+1)$ thành ba số liên tiếp.

Chứng minh một số trong ba số này chia hết cho 2.

Chứng minh một số trong ba số này chia hết cho 3.

Kết luận rằng $n(n+1)(2n+1)$ chia hết cho cả 2 và 3.

Lời giải:

n.(n+1).(n+2)

=n.(n+1).[(n+2)+(n-1)]

=n.(n+1).(n+2) + (n-1).n.(n+1)

=[n.(n+1).(n+2)] +[(n-1) .n.(n+1]

Vì n.(n+1).(n+2) Là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=>n.(n+1) .(n+2) chia hết cho 2 và 3 (1)

Lại có:

 (n-1) .n.(n+1) 

 Là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=>(n-1) .n.(n+1) chia hết cho 2 và 3 (2)

Tư (1) vs (2) => [n+(n+1)+(n+2)]+[(n-1).n.(n+1)]  chia hết cho 2 và 3

=>n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 2 và 3

300. Một cái sân hình chữ nhật chiều dài gấp đôi chiều rộng. Người ta mở rộng chiều dài 2m ,chiều rộng 2m thì được cái sân mới có diện tích hơn sân cũ 52 m² .Tính diện tích cái sân ban đầu

Phương pháp giải: 

Chiều dài hình chữ nhật phần tăng thêm.

Chiều rộng hình chữ nhật phần lúc chưa mở rộng

Chiều dài hình chữ nhật phần lúc chưa mở rộng

Diện tích cái sân ban đầu

Lời giải:

Theo đầu bài ta có diện tích tăng thêm 52m² là diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 2m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng

cái sân cũ cộng thêm 2m.

Chiều dài hình chữ nhật phần tăng thêm là:

52 : 2 = 26 ( m )

Ba lần chiều rộng cái sân lúc chưa mở rộng là:

26 - 2 = 24 ( m )

Chiều rộng cái sân lúc chưa mở rộng là:

24 : 3 = 8 ( m )

Chiều dài cái sân lúc chưa mở rộng là:

8 x 2 = 16 ( m )

Diện tích cái sân lúc chưa mở rộng là:

16 x 8 = 128 ( m² )

Đáp số: 128 m²

301. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau:

Phương pháp giải: 

Để tìm số hạng thứ 10 của các dãy số trên, ta sử dụng công thức tổng quát của dãy số số học:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

trong đó:

$a_n$​ là số hạng thứ $n$,

$a_1$​ là số hạng đầu tiên,

$d$ là công sai của dãy số.

Lời giải:

a) Dãy số: 1; 5; 9; 13; ...

$a_1 = 1$,

$d = 5 - 1 = 4$.

$a_{10}=1+(10-1)\cdot 4=1+9\cdot 4=1+36=37$

Số hạng thứ 10 là 37.

b) Dãy số: 2; 6; 12; ...

$a_1 = 2$,

$d = 6 - 2 = 4$.

$a_{10}=2+(10-1)\cdot 4=2+9\cdot 4=2+36=38$

Số hạng thứ 10 là 38.

c) Dãy số: ...; 54; 57; 60 (biết rằng dãy số có 20 số hạng)

$a_{20} = 60$,

$d = 57 - 54 = 3$.

Với $a_{20} = 60$, ta có:

$60=a_1+(20-1)\cdot 3$

$60=a_1+57$

$a_1=60-57=3$

$a_1 = 3$

$a_{10}=3+(10-1)\cdot 3=3+9\cdot 3=3+27=30$

Số hạng thứ 10 là 30.

d) Dãy số: ...; 92; 96; 100 (biết rằng dãy số có 25 số hạng)

$a_{25} = 100$,

$d = 96 - 92 = 4$

Với $a_{25} = 100$, ta có:

$100=a_1+(25-1)\cdot 4$

$100=a_1+96$

$a_1=100-96=4$

$a_1 = 4$

$a_{10}=4+(10-1)\cdot 4=4+9\cdot 4=4+36=40$

Số hạng thứ 10 là 40.

302. Phân tích đa thức trên thành nhân tử: 2x³-5x-6 

Phương pháp giải: 

Kiểm tra nghiệm của đa thức: Thử các nghiệm hữu tỷ (số nguyên) của đa thức bằng cách thay các giá trị vào để tìm một nghiệm. Nếu một giá trị là nghiệm của đa thức, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức.

Chia đa thức: Sử dụng phương pháp chia để phân tích đa thức thành các nhân tử bậc thấp hơn.

Phân tích tiếp tục: Nếu sau khi chia còn lại một đa thức bậc hai, ta sẽ phân tích đa thức bậc hai đó thành nhân tử nếu có thể.

Lời giải:

303. Biết MN//BC; AB = 3cm; AM = 2cm; AN = 2,6cm; BC = 4,5cm. Tính độ dài đoạn NC.

Phương pháp giải: 

Áp dụng định lý Ta-let trong tam giác: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tổng quát : Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC

Ta có:

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có: MN//BC 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{AM}}={\displaystyle \frac{AC}{AN}}$​

$\Rightarrow AC={\displaystyle \frac{AN\cdot AB}{AM}}$​

$\Rightarrow AC={\displaystyle \frac{3\cdot 2,6}{2}}=3,9\left(cm\right)$

Mà: $NC+AN=AC$

$\Rightarrow NC=AC-AN$

$\Rightarrow NC=3,9-2,6=1,3\left(cm\right)$

304. Tìm số có 2 chữ số. Nếu cùng viết thêm chữ số N vào bên trái và bên phải thì số đó tăng 21 lần. Tìm số đã cho.

Phương pháp giải: 

Gọi số cần tìm là $ab$ (có hai chữ số) với $a \neq 0$.

Viết thêm chữ số $N$ vào bên trái và bên phải của số $ab$, ta sẽ được một số mới.

Thiết lập phương trình dựa trên điều kiện của bài toán và giải để tìm số $ab$.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là ab (a khác 0,a;b <10,a;b là chữ số)

Nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước ta có số 1ab

Ta có: ab.21=1ab

ab.21=100+ab

ab.20=100

ab=100:20

ab=05

Vậy số cần tìm là 05

305. So sánh 99 x 101 và 100²

Phương pháp giải: 

Biến đổi biểu thức: Viết $99 \times 101$ dưới dạng $(100 - 1)(100 + 1)$ để áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Áp dụng hằng đẳng thức: Sử dụng hằng đẳng thức $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

So sánh kết quả: So sánh biểu thức đã rút gọn với $100^2$.

Lời giải:

99x 101= (100-1)(100+1)=100²-1<100²

306. Cho (x+2y)(x²-2xy+4y²)=0 vs (x-2y)(x²+2xy+4y²)=16. Tim x và y 

Phương pháp giải: 

Khai triển hai biểu thức về dạng bậc 3.

Cộng 2 biểu thức với nhau và tìm x.

Từ đó tìm y và kết luận.

Lời giải:

(x+2y)(x²-2xy+4y²)=0

$\iff x^3+8y^3=0$ (*)

$(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)=16$

$\iff x^3-8y^3=16$ (**)

Từ (*) và (**) cộng theo vế:

$\iff 2x^3=16\iff x^3=8\iff x=2$

Thay x = 2 và (*):

$\iff 2^3+8y^3=0\iff 8y^3=-8\iff y^3=-1\iff y=-1$

307. $\frac{x}{y}$ có phải là đơn thức không?

Phương pháp giải: 

Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, một biến, một tích hoặc một thương giữa các số và các biến hay một hạng tử. Ký hiệu của đơn thức là f ( x ). Ngoài ra số 0 sẽ được gọi là đơn thức không.

Lời giải:

$\frac{x}{y}$ là đơn thức vì $\frac{x}{y}$ nhân với biến số nào có số mũ là 0 thì nó vẫn giữ nguyên giá trị

308. Bạn Minh dùng 30000 đồng để mua bút. Có hai loại bút: bút bi xanh và bút bi đen. Bút bi xanh có giá 2500 đồng một chiếc. Bút bi đen có giá 3500 đồng một chiếc. Bạn Minh sẽ mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút nếu:

Phương pháp giải: 

Xác định số tiền và giá của mỗi loại bút: Số tiền bạn Minh có là 30.000 đồng, với giá của bút bi xanh là 2.500 đồng/chiếc và giá của bút bi đen là 3.500 đồng/chiếc.

Tính số lượng bút có thể mua được cho từng loại:

Sử dụng phép chia để xác định số lượng bút tối đa có thể mua được, bằng cách lấy tổng số tiền chia cho giá mỗi loại bút.

Làm tròn xuống để đảm bảo số lượng bút là một số nguyên.

Lời giải:

a) Bạn Minh mua được nhiều nhất số bút bi xanh là:

30 000 : 2 500 = 12 (chiếc)

b) Bạn Minh mua được nhiều nhất số bút bi đen là:

30 000 : 3 500 = 8 (chiếc) dư 2 000 đồng

Đáp số: a) 12 chiếc

                b) 8 chiếc

310. 58 : 7 = bao nhiêu?

Phương pháp giải: 

Để tính $58 : 7$, ta thực hiện phép chia số nguyên và tìm thương và số dư (nếu có).

Thực hiện phép chia: Chia $58$ cho $7$ để tìm thương và số dư.

Kết luận: Viết kết quả dưới dạng số nguyên và dư (nếu cần).

Lời giải:

Thực hiện phép chia:

$58:7=8\text{\hspace{0.17em}dư\hspace{0.17em}}2$

Hoặc có thể viết kết quả dưới dạng hỗn số:

$58:7=8\frac{2}{7}$​

Hoặc dưới dạng số thập phân:

$58:7\approx 8.2857$

Kết quả của $58 : 7$ là $8$ dư $2$, hoặc $8 \frac{2}{7}$​, hoặc xấp xỉ $8.2857$.

311. Tính nhanh 35 nhân 25 

Phương pháp giải: 

Để tính nhanh $35 \times 25$, ta có thể phân tích biểu thức để đơn giản hóa phép tính.

Viết lại phép tính: Biểu diễn $35$ và $25$ thành các số dễ tính.

Áp dụng hằng đẳng thức: Chọn cách phân tích có thể tận dụng các hằng đẳng thức hoặc nhân nhẩm.

Lời giải:

$35 x 25 = (30 + 5) x 25$

$= 30 x 25 + 5 x 25$

$= 750 + 125$

$= 875$

312. Tìm số tiếp theo của dãy số: 2; 3; 8; 27; 112; ?

Phương pháp giải: 

Để tìm số tiếp theo trong dãy số này, ta cần xem xét quy luật tạo thành các số trong dãy: 2, 3, 8, 27, 112, ?

Lời giải:

3 = 2×1 + 1 

8 = 3×2 + 2

27 = 8×3 + 3

112 = 27×4 + 4

112×5 + 5 = 565

-> 2;3;8;27;112; 565

313. Chứng minh rằng: 10⁶ - 5⁷ chia hết cho 59

Phương pháp giải: 

Phân tích thành từng phần nhỏ và thực hiện so sánh

Lời giải:

314. Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng phân số $\frac{8}{3}$ là

Phương pháp giải: 

Thực hiện phép chia 8 cho 3:

8 chia 3 được 2, dư 2.

Viết kết quả là $2.\overline{6}$ vì sau dấu thập phân, 6 sẽ lặp lại mãi mãi.

Xác định phần tuần hoàn:

Ta thấy phần thập phân của $\frac{8}{3}$​ là $2.\overline{6}$, với chu kỳ là "6".

Lời giải:

$\frac{8}{3}=2.\left(6\right)=2.666666667$

315. Tìm x biết : $\frac{6}{x^2+2}+\frac{12}{x^2+8}=3-\frac{7}{x^2+3}$

Phương pháp giải: 

Quy đồng phương trình làm mất mẫu số.

Khai triển phương trình trên và tìm x.

Lời giải:

316. Công thức tính số phần tử của tập hợp và công thức tính tổng số phần tử của tập hợp?

Phương pháp giải: 

Nêu 2 công thức tính trên.

Lời giải:

Công thức tính số phần tử của tập hợp

Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có : b – a + 1 phần tử

Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có : (b – a) : 2 + 1 phần tử

Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có : (n – m): 2 + 1 phần tử

Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b, hai số kế tiếp cách nhau d đơn vị, có : (b – a): d +1 phần tử

Cách tính tổng của một dãy số

- Tính số số hạng: Áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp

- Tính tổng: (số hạng cuối + số hạng đầu). số số hạng : 2

317. Tìm $n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$ sao cho $n^4+n^3+1$ là số chính phương.

Phương pháp giải: 

Biến đổi bài toán thành điều kiện số chính phương (scp):

Để $n^4 + n^3 + 1$ là số chính phương, đặt $A = 4n^4 + 4n^3 + 4$ và cần $A$ cũng là số chính phương.

Thiết lập bất đẳng thức:

Xét hai biểu thức $(2n^2 + n + 1)^2$ và $(2n^2 + n - 1)^2$, so sánh chúng với $A$ để tìm điều kiện cần.

Sử dụng bất đẳng thức để giới hạn giá trị của $A$:

Chứng minh rằng $A$ nằm giữa hai giá trị này: $(2n^2 + n - 1)^2 < A < (2n^2 + n + 1)^2$.

Tìm nghiệm:

Từ đó, suy ra $A = (2n^2 + n)^2$ và đưa về phương trình $4 - n^2 = 0$, dẫn đến giá trị của $n$.

Lời giải:

318. Có bao nhiêu cách để đi từ A đến B nếu chỉ đi lên và sang phải?

Phương pháp giải: 

Để đi từ A tới B ta phải đi tất cả 7 bước, 3 bước đi lên và 4 bước đi sang phải.

Từ đó tính số cách đi từ A đến B.

Lời giải:

Để đi từ A tới B ta phải đi tất cả 7 bước, 3 bước đi lên và 4 bước đi sang phải

=> Để đi từ A tới B có $C_7^3$ = 35 ( cách )

Vậy có tất cả 35 cách để đi từ A tới B

319. Tìm x;y nguyên $2xy+2x-y=8$

Phương pháp giải: 

Biến đổi phương trình ban đầu:

Bắt đầu từ phương trình $2xy + 2x - y = 8$.

Chuyển đổi phương trình về dạng $2x(y + 1) - (y + 1) = 7$.

Đặt nhân tử chung:

Đặt nhân tử chung $(y + 1)$(y+1), sau đó phương trình trở thành $(y + 1)(2x - 1) = 7$.

Phân tích tích số nguyên:

Xét các cặp giá trị của $(y + 1)$ và $(2x - 1)$ sao cho tích của chúng bằng 7.

Từ đó, giải tìm các giá trị nguyên của $x$ và $y$.

Lời giải:

Phương pháp giải: 

Phân tích các phân số thành dạng tích.

Nhân toàn bộ biểu thức với 2, giúp làm rõ cấu trúc của dãy số.

Rút gọn theo dạng số hạng liên tiếp.

Tính tổng và đưa ra kết quả.

Lời giải:

321. $\frac{3}{1^2\mathrm{.}{2}^2}+\frac{5}{2^2\mathrm{.}{3}^2}+\frac{7}{3^2\mathrm{.}{4}^2}+..\mathrm{.}+\frac{19}{9^2\mathrm{.}{10}^2}.$ Chứng minh nhỏ hơn 1

Phương pháp giải: 

Nhận ra các số hạng có thể rút gọn thành tổng của hai phần tử có cùng dạng. Sắp xếp và rút gọn các cặp số hạng để đơn giản hóa biểu thức.

Lời giải:

322. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn dương với mọi x,y: B=x²-2x+y²+4y+6

Phương pháp giải: 

Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ để biến đổi thành dạng bình phương.

Rút gọn biểu thức và nhận xét.

Lời giải: