Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 48)

Câu 1: Tìm x biết: 4x − 5 chia hết cho x – 1.

Lời giải:

Ta có 4x − 5 = 4x − 4 − 1 = 4(x − 1) – 1.

Vì 4(x − 1) ⋮ x − 1 nên để 4x − 5 chia hết cho x − 1 thì 1 ⋮ x − 1

⇒ x − 1 ∈ Ư(1) = {±1}

⇒ x ∈ {2; 0}.

Vậy x ∈ {2; 0} thì 4x − 5 chia hết cho x − 1.

Câu 2: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b;

B. Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b;

C. Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b;

D. Các khẳng định A, B, C đều sai.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b.

Khẳng định A là sai vì (P) có thể chứa b.

• Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.

Khẳng định B là đúng.

• Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b.

Khẳng định C là sai vì b có thể song song với (P).

• Các khẳng định A, B, C đều sai.

Khẳng định D là sai vì B đúng.

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho một mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a, b. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu (P) // a thì (P) // b;

B. Nếu (P) // a thì (P) // b hoặc chứa b;

C. Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b;

D. Nếu (P) chứa a thì có thể (P) song song với b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

• Nếu (P) // a thì (P) // b

Khẳng định A là sai vì (P) có thể chứa b

• Nếu (P) // a thì (P) // b hoặc chứa b

Khẳng định B là đúng

• Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b

Khẳng định C là đúng

• Nếu (P) chứa a thì có thể (P) song song với b

Khẳng định D là đúng

Chọn đáp án A.

Câu 4: Tính giá trị biểu thức: B = (3x + 5)(2x − 1) + (4x − 1)(3x − 2) với |x| = 2.

Lời giải:

B = (3x + 5)(2x − 1) + (4x − 1)(3x − 2)

= 6x² + 10x − 3x − 5 + 12x² − 3x − 8x + 2

= 18x² − 4x − 3

Ta có: |x| = 2 ⇔ x = ±2

• Với x = 2 suy ra B = 18.2² − 4.2 − 3 = 61

• Với x = −2 suy ra B = 18.(−2)² − 4.(−2) − 3 = 77.

Câu 5: Rút gọn và tính giá trị: A = (3x + 5)(2x − 1) − (1 − 4x)(3x + 2) tại |x| = 2.

Lời giải:

A = (3x + 5)(2x − 1) − (1 − 4x)(3x + 2)

= 6x² + 10x − 3x − 5 + 12x² − 3x + 8x − 2

= 18x² + 12x – 7.

Ta có: |x| = 2 ⇔ x = ± 2.

• Với x = 2 suy ra B = 18 . 2² + 12  .2 − 7 = 89.

• Với x = −2 suy ra B = 18 . (−2)² + 12 . (−2) − 7 = 41.

Câu 6: Khi quay 1 hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định ta được hình:

Lời giải:

Khi quay 1 hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định ta được một hình nón.

Câu 7: Chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống: “Khi quay ……… một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được hình nón”  

A. Hình tam giác vuông;

B. Hình tam giác;

C. Hình chữ nhật;

D. Cả 3 đáp án trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Khi quay hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được hình nón.

Chọn đáp án A.

Câu 8: Xác định hàm số bậc hai y = ax² − x + c biết đồ thị hàm số đi qua A(1; −2) và B(2; 3).

Lời giải:

Vì A thuộc đồ thị hàm số nên −2 = a − 1 + c ⇔ a + c = −1.

Vì B thuộc đồ thị hàm số nên 3 = 4a − 2 + c ⇔ 4a + c = 5.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 4a+c=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=-3\end{array}\right.$ .

Vậy y = 2x² − x − 3.

Câu 9: Giải phương trình 2x² + y² − 6x + 2xy − 2y + 5 = 0.

Lời giải:

2x² + y² − 6x + 2xy − 2y + 5 = 0

⇔ (x² + 2xy + y²) + (x² − 4x + 4) − (2x + 2y) + 1 = 0

⇔ (x + y)² + (x − 2)² − 2(x + y) + 1 = 0

⇔ (x + y)² − 2(x + y) + 1 + (x − 2)² = 0

⇔ (x + y − 1)² + (x − 2)² = 0

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=1-x\\ x=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}\right.$.

Vậy (x; y) = (2; −1) là nghiệm của phương trình.

Câu 10: Giải phương trình 2x² + y² − 2xy − 6x + 9 = 0.

Lời giải:

⇔ (x² − 2xy + y²) + (x² − 6x + 9) = 0

⇔ (x − y)² + (x − 3)² = 0

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=x\\ x=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3\\ x=3\end{array}\right.$.

Vậy (x; y) = (3; 3) là nghiệm của phương trình.

Câu 11: Hình thang ABCD có đáy AB, CD.

a) Cho biết AD // BC. Chứng minh rằng AD = BC, AB = CD.

b) Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Lời giải:

a) Hình thang ABCD có đáy AB, CD nên suy ra AB // CD.

Lại có AD // BC nên hình thang ABCD là hình bình hành.

Suy ra AB = CD, AD = BC.

b) Hình thang ABCD có đáy AB, CD nên suy ra AB // CD.

Lại có AB = CD nên hình thang ABCD là hình bình hành.

Suy ra AD // BC, AD = BC.

Câu 12: Rút gọn: (x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1).

Lời giải:

(x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1)

= (x³ − 9x² + 27x − 27) − (x³ + 3x² + 3x + 1) + 12x² − 12x

= x³ − 9x² + 27x − 27 − x³ − 3x² − 3x − 1 + 12x² − 12x

= 12x – 28.

Câu 13: Cho a, b, c ∈ ℝ thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³ = 1.

Tính a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴.

Lời giải:

Ta có: a² + b² + c² = 1 ⇒ a², b², c² ≤ 1 ⇒ a, b, c ≤ 1

Lại có: a² + b² + c² = a³ + b³ + c³

⇔ a³ − a² + b³ − b² + c³ − c² = 0

⇔ a²(a − 1) + b²(b − 1) + c²(c − 1) = 0.

Mà do $\left\{\begin{array}{l}{a}^2,b^2,c^2\ge 0\\ a,b,c\le 1\end{array}\right.\Rightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)\le 0$ .

Suy ra phải có: a²(a − 1) = b²(b − 1) = c²(c − 1) = 0.

Kết hợp giả thiết suy ra 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0.

Khi đó a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴ = 1.

Câu 14: Phân tích thành nhân tử:

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

Lời giải:

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

= ab(a − b) + b²c − bc² + c²a − a²c

= ab(a − b) + c²(a − b) − c(a² − b²)

= ab(a − b) + c²(a − b) − c(a − b)(a + b)

= (a − b)[ab + c² − c(a + b)]

= (a − b)(ab + c² − ac − bc)

= (a − b)[a(b − c) − c(b − c)]

= (a − b)(b − c)(a − c).

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

= ab² − ac² + bc² − a²b + c(a − b)(a + b)

= −ab(a − b) − c²(a − b) + c(a − b)(a + b)

= (a − b)[−ab − c² + c(a + b)]

= (b − a)[ab + c² − c(a + b)]

= (b − a)(ab + c² − ac − bc)

= (b − a)[a(b − c) − c(b − c)]

= (b − a)(b − c)(a − c).

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc − a³ − b³ − c³

= 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc

= 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² + 2abc)

= 3[ab(a + b) + bc(a + b) + c²(a + b) + ac(a + b)]

= 3(a + b)(ab + bc + c² + ac)

= 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]

= 3(a + b)(a + c)(b + c).

Câu 15: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.

Lời giải:

Gọi ba số viết ra là a, b, c không gian mẫu n (W) = 17³

Phân đoạn [1; 17] thành ba tập:

X = {3; 6; 9; 12; 15} chia hết cho 3 có 5 phần tử

Y = {1; 4; 7; 10; 13; 16} chia cho 3 dư 1 có 6 phần tử

Z = {2; 5; 8; 11; 14; 17} chia cho 3 dư 2 có 6 phần tử

• TH1: Cả ba số cùng thuộc 1 trong 3 tập có số cách viết là: 6³ + 5³ + 6³.

• TH2: Ba số thuộc 3 tập khác nhau, số cách viết là 3!.6.5.6.

Xác suất là: $P\left(A\right)=\frac{6^3+5^3+5^3+3!.6.5.6}{{17}^3}=\frac{1637}{4913}$ .

Câu 16: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có BC = 20 cm; AC = 12 cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là bao nhiêu?

Lời giải:

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta được một hình nón có chiều cao AB và bán kính đường tròn đáy là cạnh AC.

Theo định lý Py-ta-go, ta có 

AB² = BC² − AC² = 20² − 12² = 256 ⇒ AB = 16 (cm)

Thể tích của khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi A{C}^2.AB=\frac{1}{3}\pi .{12}^2.16=768\pi \left(c{m}^3\right)$

Câu 17: Cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; 1), C(5; 1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

Dễ thấy, phương trình đường cao (AA′): x − 3 = 0.

Dễ thấy phương trình đường cao (BB′): x − y − 1 = 0.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x-y-1=0\end{array}\right.$  thu nghiệm là (3; 2).

Vậy tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là (3; 2).

Câu 18: Cho tam giác ABC có A(7; 3), B(7; 1), C(10; 1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

Dễ thấy, phương trình đường cao (AA′): x − 7 = 0.

Dễ thấy phương trình đường cao (BB′): y − 1 = 0.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn   thu nghiệm là (7; 1).

Vậy tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là (7; 1).

Vậy tọa độ trực tâm H º B của tam giác ABC là (7; 1).

Câu 19: Giải phương trình: sin 2x + sin² x = 1

Lời giải:

sin 2x − sin² x = 1

⇔ 2sin x.cos x − cos² x = 0

⇔ cos x.(2sin x − cos x) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ 2\sin x-\cos x=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \tan x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = k2p (k ∈ ℤ) và $x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$  là nghiệm của phương trình.

Câu 20: Hãy chọn câu đúng: 

A. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong 2 mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau;

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau;

C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;

D. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong 2 mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định A sai vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau

Do đó, khẳng định B là đúng.

• Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định C là sai vì hai đường thẳng có thể cắt nhau.

• Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định D sai vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau.

Chọn đáp án B.

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau;

B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau;

C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;

D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

• Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.

Do đó, khẳng định A là đúng.

• Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định B sai vì hai đường thẳng có thể song song với nhau.

• Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định C sai vì hai đường thẳng có thể cắt nhau.

• Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Do đó, khẳng định D sai vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau.

Chọn đáp án A.

Câu 22: Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì?

Lời giải:

Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình tam giác đều.

Câu 23: Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình tam giác đều nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng.

Câu 24: Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định, ta được:

Lời giải:

Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định, ta được hình cầu.

Câu 25: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:  

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa;

B. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất;

C. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất;

D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Lời giải:

• Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

Do đó, khẳng định A là đúng.

• Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

Do đó, khẳng định B là đúng.

• Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

Do đó, khẳng định C là sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.

• Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Do đó, khẳng định D là đúng.

Chọn đáp án C.

Câu 26: Cho các khẳng định:

(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:

Lời giải:

(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

Khẳng định (I) là đúng

(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

Khẳng định (II) là đúng

(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

Khẳng định (III) là sai vì khi hai mặt phẳng trùng nhau thì ba điểm phân biệt có thể không thẳng hàng

Vậy có 1 khẳng định sai trong số các khẳng định trên.

Câu 27: Tìm số nguyên n sao cho n + 2 chia hết cho n − 3.

Lời giải:

Ta có: n + 2 = (n − 3) + 5

Vì n − 3 ⋮ n − 3 nên để n + 2 chia hết cho n − 3 thì 5 ⋮ n − 3

⇒ n − 3 ∈ Ư(5) = {±1; ±5}

⇒ n ∈ {−2; 2; 4; 8}

Vậy n ∈ {−2; 2; 4; 8} thì n + 2 chia hết cho n − 3.

Câu 28: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n + 2 chia hết cho n − 3.

Lời giải:

Ta có: n + 2 = (n − 3) + 5.

Vì n − 3 ⋮ n − 3 nên để n + 2 chia hết cho n − 3 thì 5 ⋮ n − 3

⇒ n − 3 ∈ Ư(5) = {± 1; ± 5}

⇒ n ∈ {−2; 2; 4; 8}.

Vậy số nguyên n lớn nhất để n + 2 chia hết cho n − 3 là n = 8.

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4); B(3; 2); C(5; 4). Tính chu vi P của tam giác đã cho.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(2;-2\right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\\ \overrightarrow{CA}=\left(-4;0\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}\\ BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\\ CA=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+0^2}=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Chu vi của tam giác ABC là: $P=AB+BC+CA=4+4\sqrt{2}$ .

Câu 30: Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = x² − 6x + 11;

b) B = x² − 20x + 101.

Lời giải:

a) A = x² − 6x + 11

= x² − 6x + 9 + 2

= (x − 3)² + 2 ³ 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x − 3 = 0 ⇔ x = 3.

Vậy GTNN của A là 2 khi x = 3.

b) B = x² − 20x + 101.

= x² − 20x + 100 + 1

= (x − 10)² + 1 ³ 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x − 10 = 0 ⇔ x = 10.

Vậy GTNN của B là 1 khi x = 10.

Câu 31: Tìm GTNN của biểu thức: A = −x² + 6x – 11.

Lời giải:

A = −x² + 6x − 11

= −(x² − 6x + 9) − 2

= −(x − 3)² − 2 ≤ −2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x − 3 = 0 ⇔ x = 3.

Vậy GTLN của A là −2 khi x = 3.

Câu 32: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Lời giải:

Hình thang ABCD có đáy AB, CD nên suy ra AB // CD.

Lại có AB = CD nên hình thang ABCD là hình bình hành.

Suy ra AD // BC, AD = BC.

Câu 33: Cho bất phương trình 2x + 3y − 6 ≤ 0 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất;

B. Bất phương trình (1) vô nghiệm;

C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm;

D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là ℝ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 2x + 3y − 6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng đó.

Ta thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa điểm O(0; 0) kể cả (d).

Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Chọn đáp án C.

Câu 34: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Tìm số các cách để chọn những màu cần dùng.

Lời giải:

Chọn 3 màu trong 5 màu để tô có $C_5^3$  (cách).

Tô 3 màu vào 3 nước khác nhau trên bản đồ có 3! (cách).

Vậy có tất cả $C_5^3.3!=60$  cách cần tìm.

Câu 35: Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được hình gì?  

Lời giải:

Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được hình trụ.

Câu 36: Tìm m để hai đồ thị hàm số y = 2x – 1 và y’ = –x + m cắt nhau tại 1 điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

Ta có: y = 2x – 1  (1)

y’ = –x + m  (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

⇔ 2x – 1 = –x + m 

⇔ 3x = m + 1

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên:

m + 1 = 3. 2

⇔ m = 5

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 5.

Câu 37: Tìm m để hai đồ thị hàm số y = x – 5m và y’ = 3x – m² cắt nhau tại 1 điểm có hoành độ bằng –3.

Lời giải:

Ta có: y = x – 5m (1)

y’ = 3x – m²  (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

⇔ x – 5m = 3x – m² 

⇔ m² – 5m = 2x

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng –3 nên:

m² – 5m = 2. (–3)

⇔ m² – 5m + 6 = 0

⇔ m² – 2m – 3m + 6 = 0

⇔ m(m – 2) – 3(m – 2) = 0

⇔ (m – 2)(m – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}m-2=0\\ m-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=2\\ m=3\end{array}\right.$

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 2 hoặc m = 3.

Câu 38: Cho hàm số bậc nhất y = (2k – 1)x + 3 – k (k là hệ số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của k để đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d’): y = 2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng –2.

Lời giải:

Để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) thì 2k – 1 ≠ 2 hay $k\ne \frac{3}{2}$.

Thay x = –2 vào hàm số y = 2x + 1

⇔ y = 2. (–2) + 1 = –3

Gọi A(–2; –3).

Do đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A nên:

–3 = (2k – 1)( –2) + 3 – k

⇔ –4k + 2 + 3 – k + 3 = 0

⇔ –5k + 8 = 0

$\iff k=\frac{-8}{5}$ (TMĐK)

Vậy giá trị k thỏa mãn là $k=\frac{-8}{5}$.

Câu 39: Cho hàm số bậc nhất y = (2k – 1)x + 3 – k (k là hệ số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của k để đồ thị hàm số song song với đường thẳng (m): y = 0,5x – 3.

Lời giải:

Để đường thẳng (d) // (m) thì:

$\iff \left\{\begin{array}{c}2k-1=\mathrm{0,5}\\ 3-k\ne -3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}k=\frac{3}{4}\left(tm\right)\\ k\ne 6\end{array}\right.$

Vậy giá trị k thỏa mãn là $k=\frac{3}{4}$.

Câu 40: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ – 7x – 6.

Lời giải:

x³ – 7x – 6 = x³ – x² + x² – x – 6x – 6 

= x²(x – 1) + x(x – 1) – 6(x + 1) 

= (x – 1)(x² + x) – 6(x + 1) 

= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) 

= (x² – x – 6)(x + 1)

= (x² + 2x – 3x– 6)(x+1)

= [x(x + 2) – 3(x + 2)](x+1)

= (x – 3)(x + 2)(x + 1)