Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 37)

Câu 1: Tích 5 × 10 × 15 × 20 × 25 × 30 × ... × 100 có tận cùng bao nhiêu chữ số 0?

Lời giải:

Ta thấy tích đó có:

+ Các số 10, 20, 30, 40, ..., 90 có 1 chữ số 0 và 100 có 2 chữ số không. Tổng cộng là 11 chữ số 0.

Vậy Tích (1): 10 × 20 × 30 × 40 ×... × 100 sẽ tận cùng 11 chữ số 0.

+ Các số 5, 15, 25, 35, ..., 95 không có chữ số 0, mà các số tận cùng bằng 5 nhân với nhau sẽ không bao giờ tận cùng bằng 0.

Vậy Tích (2): 5 × 15 × 25 × 35 × ... × 95 sẽ không tận cùng chữ số 0 nào

Vậy Tích (1) × Tích (2) = 5 × 10 × 15 × 20 × 25 × 30 × ... × 100 sẽ tận cùng bằng 11 chữ số 0.

Câu 2: Tính tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 6.

Lời giải:

Tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Đáp số: tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là 15.

Câu 3: Tính nhanh: 1.4 + 2.5 + 3.6  +   ... + 100.103.

Lời giải:

Đặt A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 100.103

= 1(2.2) + 2(3 + 2) + 3(4+ 2) + ...+ 100(101+ 2)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 100.101 + (1.2 + 2.2 + 3.2 + ... + 100.2)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 100)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + 10100

Đặt B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 100.101.3

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + ... + 100.101(102 − 99)

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + ... + 100.101.102 − 99.100.101

⇒ 3B = 100.101.102

⇒ B = 343400

Khi đó A = B + 10100 = 343400 + 10100 = 353500

Câu 4: 12m² + 9dm² = … dm²

Lời giải:

Ta có: 1m² = 100dm²

Vậy 12m² + 9dm² = 1200dm² + 9dm² = 1209dm².

Đáp số: 1209 dm²

Câu 5: 16h40p là bao nhiêu giờ?

Lời giải:

Ta có: 16 giờ = 16 × 60 phút = 960 phút

          16 giờ 40 phút = 1000 phút = $\frac{1000}{60}=\frac{50}{3}$ giờ

          Đáp số: 16 giờ 40 phút = $\frac{50}{3}$  giờ.

Câu 6: Ba bạn Hùng Thắng Minh góp tiền ủng hộ người nghèo. Hùng góp 45000 đồng, Thắng góp 30000 đồng, Minh góp số tiền kém mức trung bình cộng của 3 bạn là 3000 nghìn. Hỏi Minh góp bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Minh góp kém mức trung bình cộng của 3 bạn là 3000 đồng thì hai bạn Hùng, Thắng bù cho Minh 3000 đồng đó.

Mức trung bình cộng của cả ba bạn là:

          (45000 + 30000 – 3000) : 2 = 36000 (đồng) 

Minh góp số tiền là:

36000 – 3000 = 33000 (đồng)

Đáp số: 33000 đồng.

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo M, N là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. F là giao điểm của CN và AB.

a, Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành

b, Tứ giác AECF là hình gì?

c, Chứng minh: E, F đối xứng qua O

d, Chứng minh: EC = 2DE.

Lời giải:

a,

Ta có ABCD là hình bình hành ⇒ AC ∩ BD tại trung điểm mỗi đường

Mà AC ∩ BD = 0 ⇒ O là trung điểm AC, DB

Lại có M, N là trung điểm OD, OB

⇒ OM = $\frac{1}{2}$  OD = $\frac{1}{2}$  OB = ON

⇒  O là trung điểm MN

Do O là trung điểm AC, MN

⇒ AMCN là hình bình hành (đpcm).

b,

Ta có AMCN là hình bình hành.

⇒ AM // CN

⇒ AE // CF

Mà AB // CD ⇒ AF // CE

⇒ AECF là hình bình hành.

c,

Ta có AECF là hình bình hành.

⇒ AC ∩ EF tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm AC

⇒ O là trung điểm EF

⇒ E, F đối xứng nhau qua O (đpcm).

d,

Gọi G là trung điểm CE

Vì O là trung điểm AC ⇒ OG là đường trung bình ∆ACE

⇒ OG // AE

⇒ ME // OG

Mà M là trung điểm DO ⇒ ME là đường trung bình ∆ODG

⇒ E là trung điểm DG

⇒ DE = EG = GC

⇒ CE  = CG + GE = DE + DE = 2DE (đpcm).

Câu 8: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B. Đáy nhỏ AD = a, BC = 3a, AB = 2a. I là trung điểm của AB. Tính BA + BC, DI + DC?

Lời giải:

BA + BC = 2a + 3a = 5a.

Theo Pitago ta có: ID² = AD² + AI² = 2a²  $\Rightarrow ID=a\sqrt{2}$

 Mặt khác kẻ DH vuông góc với BC thì DHBA là hình chữ nhật nên DH = 2a, BH = a. Suy ra CH = 2a.

Theo Pitago ta có:

$\begin{array}{l}D{C}^2=D{H}^2+H{C}^2={\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=8a^2\\ \Rightarrow DC=2\sqrt{2}a\end{array}$

Vậy $ID+DC=a\sqrt{2}\text{}+2\sqrt{2}a=3\sqrt{2}\text{}a$

Câu 9: Cho tam giác abc cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

Lời giải:

Xét ΔABC có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$

Do đó: DE // CB

Xét tứ giác BEDC có DE // BC nên BEDC là hình thang

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (vì ∆ABC cân tại A)

Nên BEDC là hình thang cân

Vậy BEDC là hình thang cân.

Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CM và BN. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Chứng minh CD = 2CM.

Lời giải:

Gọi N là trung điểm cạnh AC. Suy ra BN là đường trung tuyến của ΔABC.

Vì ΔABC là tam giác cân tại A 

Nên BN = CM. (1)

Xét tam giác ΔACD có B, N lần lượt là trung điểm cạnh AD và AC.

⇒ BN là đường trung bình của tam giác của ΔACD.

⇒ BN = $\frac{1}{2}$ DC ⇒ DC = 2BN. (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD = 2CM.

Câu 11: Cho tam giác ABC có sin² C = sin² A + sin² B. Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC. Ta có:

sin² C = sin² A + sin² B

⇒ ​$\frac{C^2}{4R^2}=\frac{A^2}{4R^2}+\frac{B^2}{4R^2}$

⇒ C² = A² + B²

⇒ ΔABC vuông tại C.

Câu 12: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Qua trung điểm M của CH, kẻ đường thẳng vuông góc với OC, cắt nửa đường tròn tại D và E. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn (C, CD).

Lời giải:

Vẽ OC cắt DE ở K và cắt đường tròn (O) ở I.

Ta có:

CE² = CK.CI = CM. (2CH) = ($\frac{CH}{2}$ ). (2CH) = CH²

⇒ CD = CH

⇒ CH bán kính của đường trong tâm (C). Mà CH vuông góc với AB

⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn (C, CD) (đpcm).

Câu 13: Tìm một số tự nhiên biết nếu xóa chữ số 3 ở hàng đơn vị của nó đi thì nó giảm đi 1794 đơn vị.

Lời giải:

Ta thấy: 1794 là 9 lần số mới sau khi xóa chữ số hàng đơn vị

Mà 1794 = 199 × 9 + 3 

Do đó số mới là 199

Số phải tìm là 199 thêm 3 vào hàng đơn vị: 1993.

Đáp số: 1993.

Câu 14: Có hai sợi dây sợi thứ nhất dài hơn sợi thứ hai 54m. Nếu cắt đi 1200 cm ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất gấp 4 lần phần còn lại của sợi thứ hai. Hỏi mỗi sợi dây dài bao nhiêu mét.

Lời giải:

Đổi 1200cm = 12m

Nếu cắt đi 1200cm ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất hơn phần còn lại của sợi dây thứ hai 54m

Hiệu số phần bằng nhau là:

4 – 1 = 3 (phần)

Phần dây còn lại của sợi thứ 2 là:

54 : 3 × 1 = 18 (m)

Ban đầu sợi dây thứ 2 dài là:

18 + 12 = 30 (m)

Ban đầu sợi dây thứ nhất dài là:

30 + 54 = 84 (m)

Đáp số:        sợi dây thứ nhất dài: 84m

sợi dây thứ hai dài: 30m.

Câu 15: Đoạn thẳng AB dài 1km gồm hai đoạn thẳng AM và MB. Biết đoạn thẳng AM bằng $\frac{2}{3}$ đoạn thẳng MB. Tính độ dài đoạn thẳng MB.

Lời giải:

Tổng số phần bằng nhau là:

2 + 3 = 5 phần

Độ dài đoạn MB là:

1 : 5 × 3 = 0,6 (km)

Đáp số: Độ dài đoạn MB là: 0,6km.

Câu 16: Lớp 10A có 45 học sinh trong kì thi học kì 1 có 25 em đạt loại giỏi môn toán, 20 em đạt loại giỏi môn lý, 18 em đạt loại giỏi môn hoá. 6 em ko đạt loại giỏi bất kì môn nào, 5 em đạt loại giỏi 3 môn. Hỏi số học sinh chỉ đạt giỏi một môn và số học sinh giỏi hai môn?

Lời giải:

Tổng số bài kiểm tra đạt loại giỏi là:

25 + 20 + 18 = 63 (bài kiểm tra)

Trong đó có 5 học sinh giỏi cả 3 môn, vậy số học sinh đạt loại giỏi ít hơn 3 môn là:

45 − 5 = 40 (học sinh)

Số bài đạt điểm giỏi cho 40 học sinh đạt loại giỏi ít hơn 3 môn là:

          63 – 5 × 3 = 48 (bài kiểm tra)

Mặt khác có 6 học sinh ko đạt giỏi môn nào nên 48 điểm giỏi nằm trong:

40 – 6 = 34 (học sinh)

Hay nói cách khác trong 34 học sinh sẽ có x học sinh giỏi 1 môn và y học sinh giỏi 2 môn và từ đó ta có phương trình x + y = 34 và x + 2y = 48 (x, y > 0)

Giải hệ phương trình này ta được x = 20, y = 14.

Vậy lớp có 20 học sinh giỏi một môn và 14 học sinh giỏi hai môn.

Câu 17: Có ba tổ trồng cây. Tổ 1 trồng được nhiều hơn trung bình cộng số cây của mỗi tổ là 6 cây. Tổ 2 trồng được số cây nhiều hơn trung bình cộng số cây của tổ 2 và tổ 3 là 1 cây. Biết tổ 3 trồng 26 cây. Hỏi tổ một trồng bao nhiêu cây?

Lời giải:

Trung bình cộng số cây của tổ 2 và tổ 3 là:

(26 + 1) : 1 = 27 ( cây)

Số cây của tổ 2 trồng được là:

27 + 1 = 28 (cây)

Nếu tổ một mà hơn trung bình cộng của mỗi tổ là 6 cây thì số cây của tổ 1 là:

 (26 + 28 + 6) : 2 + 6 = 36 (cây)

Đáp số: Tổ một trồng được 36 cây.

Câu 18: Có ba tổ tham gia trồng cây tổ 1 trồng được 1353 cây. Tổ 2 trồng được số cây bằng $\frac{1}{3}$ số cây của tổ 1. Tổ 3 trồng được số cây bằng số trung bình cộng của hai tổ đầu. Hỏi cả ba tổ trồng được bao nhiêu cây?

Lời giải:

Tổ hai trồng được số cây là :

1353 : 3 = 451 (cây)

Tổ ba trồng được số cây là :

(1353 + 451) : 2 = 902 (cây)

Cả ba tổ trồng được số cây là :

1353 + 451 + 902 = 2706 (cây)

Đáp số: Cả ba tổ trồng được 2706 cây.

Câu 19: Một bếp ăn dự trữ gạo đủ cho 120 người ăn trong 18 ngày. Nay có 80 người được chuyển đi nơi khác. Hỏi số gạo đó đủ cho những người còn lại ăn trong bao nhiêu ngày? (Mức ăn mỗi người như nhau).

Lời giải:

Số suất ăn dành cho 120 người trong 18 ngày là:

          120 × 18 = 2160 (suất) 

Số người còn lại sau khi 80 người chuyển đi nơi khác là:

          120 − 80 = 40 (người) 

2160 suất ăn đủ cho 40 người ăn trong số ngày là: 

          2160 : 40 = 54 (ngày) 

           Đáp số: Số gạo đó đủ cho những người còn lại ăn trong 54 ngày. 

Câu 20: Một đội công nhân có 63 người nhận sửa xong một khối lượng quần áo trong 11 ngày. Hỏi muốn làm xong khối lượng quần áo đó trong 9 ngày thì cần thêm bao nhiêu người nữa? (Mức làm của mỗi người là như nhau)

Lời giải:

Một người sửa hết khối lượng quần áo đó trong số ngày là:

63 × 11 = 693 (ngày)

Số người sau khi bổ sung là:

693 : 9 = 77 (người)

Muốn sửa khối lượng quần áo đó trong 9 ngày thì cần thêm số người là:

77 – 63 = 14 (người)

Đáp số: 14 người.

Câu 21: Một mặt hàng trước đây đã giảm 20% so với giá bán cũ. Hỏi mặt hàng đó cần phải tăng bao nhiêu phần trăm giá hiện đang bán để trở về giá bán ban đầu?

Lời giải:

Gọi x là giá bán ban đầu (x > 0) ⇒ giá bán khi giảm đi 20% là 0,8x

Gọi y là % để giá trở lại như cũ (y > 0).

Ta có phương trình: 

          0,8x +  y ∙ 0,8x = x

          ⇒ 0,8x ∙ (1 + y) = x

          ⇒ 0,8 ∙ (1 + y) = 1 

          ⇒ y = 0,25

 Vậy phải tăng thêm 25% để giá trở lại như cũ.

Đáp số: cửa hàng cần tăng 25% giá hiện đang bán để trở về giá ban đầu.

Câu 22: Người ta mở rộng 1 thửa ruộng hình vuông theo cách sau: mở rộng lên phía trên 15m mở rộng phía dưới 10 mét thì được 1 hình chữ nhật có chu vi là 86 m. Tính diện tích thửa ruộng hình vuông?

Lời giải:

Phần chu vi tăng thêm là: 

(15 + 10) × 2 = 50 (m)

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: 

86 – 50 = 36 (m)

Độ dài cạnh thửa ruộng ban đầu là: 

36 : 4 = 9 (m)

Diện tích thửa ruộng hình vuông là: 

9 × 9 = 81 (m²)

Vậy diện tích thửa ruộng hình vuông là 81 m².

Câu 23: Chứng minh rằng: x⁵ – x + 2 không là số chính phương với mọi x thuộc Z.

Lời giải:

Ta có: x⁵ – x = x (x⁴ – 1)

                    = x (x – 1) (x + 1) (x² + 1) ⋮ 3

Mà x (x – 1) (x + 1) (x² + 1) ⋮ 3 nên x⁵ – x + 2 chia 3 dư 2

⇒ x⁵ – x + 2 phải là số chính phương (đpcm).

Câu 24: Chứng minh 79m + 1 – 79m chia hết cho 78 (m thuộc ℕ).

Lời giải:

79^{m + 1} – 79^m = 79.79^m – 79^m

                    = 79^m. (79 – 1)

                    =78.79^m chia hết cho 78.

Vậy 79^{m + 1} – 79^m chia hết cho 78 (m thuộc ℕ).

Câu 25: Kết quả chính xác của phép tính 2⁶⁴ + 1 là bao nhiêu?

Lời giải:

2⁶⁴ + 1

= (1844674407 + 10000000000000000000) + 1

= 18446744000000000000 + 1

= 18446744000000000001.

Câu 26: Chứng minh rằng: tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Lời giải:

Gọi tích của 3 số liên tiếp là:

A= a ∙ (a + 1) ∙ (a + 2) (a thuộc ℕ^*)

Giả sử a ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 3

Nếu a ko chia hết cho 3 thì có 2 khả năng: 3n + 1 hoặc 3n + 2

Với a = 3n + 1

⇒ a + 2 = (3n + 1) + 2 = 3n + 3 ⋮ 3 

⇒ A ⋮ 3 (1)

Với a = 3n + 2 

⇒ a +1 = 3n + 2 + 1 = 3n + 3 ⋮ 3

⇒ A chia hết 3 (2)

Vậy với mọi A thuộc N thì A ⋮ 3 (điều đã được chứng minh).

Câu 27: Một bếp ăn dự trữ gạo cho 80 người ăn trong 30 ngày. Nay có thêm 40 người nữa mới đến. Hỏi số gạo đó đủ ăn trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Số suất ăn có là:

80 × 30 = 2400 (suất)

Lúc sau có số người ăn là:

80 + 40 = 120 (người)

Số gạo đó ăn trong số ngày là:

2400 : 120 = 20 (ngày)

       Đáp số: Số gạo đó đủ ăn trong 20 ngày cho 120 người.

Câu 28: Một bếp ăn dự trữ gạo cho 180 người ăn trong 10 ngày. Thực tế số người ăn giảm đi 30 người. Hỏi số gạo đó đủ ăn trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Số người còn lại sau khi giảm đi 30 người là:

180 − 30 = 150 (người)

Số gạo đó đủ cho 150 người ăn trong số ngày là:

10 × 180 : 150 = 12 (ngày)

Đáp số: Số gạo đó đủ ăn trong 12 ngày với 150 người.

Câu 29: Một nhà trẻ dự trữ gạo cho 120 em bé ăn trong 20 ngày. Nay có thêm một số em đến nên số ngày ăn giảm đi 4 ngày. Hỏi có bao nhiêu em mới đến thêm?

Lời giải:

Một em bé sẽ ăn hết số gạo dự trữ trong:

20 × 120 = 2400 (ngày)

Số gạo sau khi thêm người sẽ đủ ăn trong:

20 – 4 = 16 (ngày)

Số em ở nhà trẻ sau khi thêm là:

2400 : 16 = 150 (em)

Số em mới đến thêm là:

150 – 120 = 30 (em)

Đáp số: 30 em mới đến.

Câu 30: So sánh: 4³⁰ và 3.24¹⁰

Lời giải:

Ta có: 

4³⁰ = 2³⁰ ∙ 2³⁰ = 2³⁰ ∙ (2²)¹⁵ = 2³⁰ ∙ 4¹⁵ = 2³⁰ ∙ 4¹¹ ∙ 4⁴

3 ∙ 24¹⁰ = 3 ∙ (3.2³)¹⁰ = 3 ∙ 3¹⁰ ∙ 2³⁰ = 3¹¹ ∙ 2³⁰

Mà 4¹¹ ∙ 4⁴ > 3¹¹ nên 4³⁰ > 3 ∙ 24¹⁰ .

Câu 31: Số tự nhiên thích hợp để điền vào dãy số sau: 3, 17, 59, 185, 563, ... là số nào?

Lời giải:

Ta thấy:

Hiệu giữa 3 và 17 là 14

Hiệu giữa 17 và 59 là 42 = 14 ∙ 3 

Hiệu giữa 59 và 185 là 126 = 42 ∙ 3

Hiệu giữa 185 và 563 là 378 = 126 ∙ 3

Suy ra quy luật hiệu của hai số sau sẽ gấp 3 lần hiệu của hai số trước (có lặp lại số ở giữa 2 số kia) 

Vậy số cần điền là: 378 ∙ 3 + 563 = 1697.

Câu 32: Năm năm trước con 5 tuổi và kém cha 32 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha gấp 3 lần tuổi con?

Lời giải:

Hiện tại con có số tuổi là:

5 + 5 = 10 (tuổi)

Số tuổi con kém cha không bao giờ thay đổi. Ta có sơ đồ khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con:

Cha: |------|------|------|

Con: |------|

Hiệu số phần bằng nhau là:

3 − 1 = 2 (phần)

Giá trị 1 phần hay tuổi con khi đó là:

32 : 2 × 1 = 16 (tuổi)

Vậy tuổi cha gấp 3 lần tuổi con sau số năm là:

16 − 10 = 6 (năm)

                   Đáp số: 6 năm.

Câu 33: Tìm số bị chia trong một phép chia cho một số có hai chữ số biết thương là 23 và số dư là 98?

Lời giải:

Vì số dư là 98 nên số chia là 99.

Gọi số bị chia là X.

Ta có:

X : 99 = 23 (dư 98)

X = (23 × 99) + 98

X = 2375

Vậy số bị chia là 2375.

Câu 34: Có đường gấp khúc ABCD, có AB bằng 15cm. Biết đường gấp khúc ABC dài hơn đường gấp khúc BCD là 3cm. Tính độ dài đường gấp khúc CD.

Lời giải:

Vì ABC và BCD chung đoạn BC nên AB dài hơn CD 3cm.

Độ dài đường gấp khúc CD là :

              15 − 3 = 12 (cm)

                          Đáp số: 12cm.

Câu 35: Một tấm vải dài 9,7m. Người ta cắt ra 4,75m để may áo. Hỏi tấm vải còn lại dài bao nhiêu mét?

Lời giải:

Tấm vài còn lại dài số mét là:

          9,7 – 4,75 = 4,95 (mét)

          Đáp số: 4,95m.

Câu 36: Có 8 người dự định làm xong một công việc hết 6 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong vòng 3 ngày thì cần bao nhiêu người làm? (Mức làm của mỗi người như nhau)

Lời giải:

Muốn làm xong công việc trong một ngày cần số người là:

8 × 6 = 48 (người)

Muốn làm xong công việc trong ba ngày cần số người là:

48 : 3 = 16 (người)

Đ/S: 16 người

Câu 37: Tìm số bị chia và số chia biết rằng thương bằng 3 số dư bằng 20 tổng của số bị chia số chia và dư bằng 136.

Lời giải:

Tổng của số bị chia và số chia là: 136 – 20 = 116

Gọi a là số bị chia, b là số chia.

Theo bài ra ta có:

a + b = 116 (1)

a = 3b + 20 (2)

Thay (2) vào (1) có:

3b + 20 + b = 116

4b = 116 − 20

4b = 96

⇒ b = 96 : 4 = 24 (3)

Thay (3) vào (2) có:

a = 3b + 20

  = 3 × 24 + 20

  = 92

Vậy số bị chia là 92, số chia là 24.

Câu 38: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 3x² – 4.

Lời giải:

x³ + 3x² – 4 = x³ + 4x² + 4x – x² − 4x − 4

= x (x² + 4x + 4) – (x² + 4x + 4)

= (x − 1) (x² + 4x + 4)

= (x − 1) (x + 2)²

Câu 39: 0 có chia hết cho 3 không?

Lời giải:

0 có chia hết cho 3 vì 0 chia cho số nào cũng bằng 0.

Nhưng 0 không thể chia cho 0.

Câu 40: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1, 2, 3 luôn đứng cạnh nhau.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là  $\overline{abcde}$.

Buộc 3 chữ số 1, 2, 3 thành 1 cụm, đặt là A

Hoán vị các chữ số 1, 2, 3 cho nhau ta được 3! = 6 khả năng xảy ra của A

Có 3 cách chọn vị trí cho A trong $\overline{abcde}$

Sau khi chọn xong vị trí cho A, 2 chữ số còn lại có $A_7^2=42$ cách chọn

Như vậy, sẽ có 3 ∙ 6 ∙ 42 = 756 số được tạo thành tính cả trường hợp a = 0.

Xét a = 0: 

Khi đó, ta có 2 vị trí cho A, và mỗi vị trí có 6 khả năng xảy ra của A (Hoán vị 1, 2, 3)

Chữ số còn lại có 6 cách chọn

Vậy nếu a = 0 thì sẽ có 72 số được tạo thành.

Vậy số số tự nhiên có 5 chữ số (a khác 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán: 756 − 72 = 684 số tự nhiên.

Câu 41: Tìm m để phương trình mx² – 2(m + 1) – 2m – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt?

Lời giải:

(ĐK 1) a ≠ 0 ⇒ m ≠ 0

(ĐK 2) ∆’ = (m + 1)² + 2m (m + 1) > 0

⇒ (m + 1) (m + 1 + 2m) > 0

⇒ (m + 1) (3m + 1) > 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>\frac{-1}{3}\end{array}\right.$

Vậy với m ≠ 0, m < – 1, $m>\frac{-1}{3}$  thì phương trình mx² – 2(m + 1) – 2m – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 42: Tìm x biết: x + 45 − 25 = 32.

Lời giải:

x + 45 − 25 = 32

x + 45 = 32 + 25

x + 45 = 57

        x = 57 − 45

        x = 12

Vậy x = 12 thì x + 45 – 25 = 32.

Câu 43: Tìm hai số nguyên dương a, b biết BCNN (a, b) = 240 và ƯCLN (a, b) = 16. b – a là 32.

Lời giải:

ƯCLN _{(a, b)} = 16 

⇒ a =16k, b = 16q (k, q thuộc N, (k, q) = 1)

⇒ BCNN _{(a, b)} = 240 = 16 ∙ k ∙ q

⇒ k ∙ q = 15 (1)

Lại có: b − a = 32

⇒ 16q − 16k = 32

⇒ 16 (q − k) = 32

⇒ q − k = 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ k = 3, q = 5

⇒ a = 48, b = 80

Vậy a = 48, b = 80 tmđk.

Câu 44: Một lớp học có 3 tổ học sinh cùng nhặt giấy vụn tổ 1 và tổ 2 thu nhập được 25,3 kg tổ 1 và tổ 3 nhặt được 36,2 kg tổ 2 và tổ 3 nhặt được 24,5 kg hỏi lớp đó thu nhặt được bao nhiêu kg giấy loại?

Lời giải:

Tổng số giấy vụn thu được là:

(25,3 + 36,2 + 24,5) : 2 = 43 (kg)

Tổ 1 thu được số giấy vụn là:

43 − 24,5 = 18,5 (kg)

Tổ 2 thu được số giấy vụn là:

43 − 36,2 = 6,8 (kg)

Tổ 3 thu được số giấy vụn là:

43 − 25,3 = 17,7 (kg)

Đáp số:        Tổ 1: 18,5 kg

Tổ 2: 6,8 kg

Tổ 3: 17,7 kg.

Câu 45: Hòa và bình có tất cả 120 viên bi. Biết rằng nếu hòa cho bình 10 viên bi thì số viên bi của hai bạn sẽ bằng nhau. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Lời giải:

Nếu Hòa cho Bình 10 viên bi thì số bi của hai bạn bằng nhau nên ban đầu Hoà hơn Bình số bi là:

2 . 10 = 20 (viên)

Số bi của Hoà ban đầu là:

(120 + 20) : 2 = 70 (viên)

Số bi của Bình ban đầu là:

70 – 20 = 50 (viên)

Đáp số: Hoà: 70 viên; Bình: 50 viên.

Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(3; 4), B(5; 1), C(–1; – 2). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi AH là đường cao kẻ từ A xuống BC (H thuộc BC).

Đường cao AH đi qua điểm A (3; 4) và có vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

$\overrightarrow{n_{AH}}=\overrightarrow{BC}$= (–6; –3) = –3(2; 1).

Phương trình tổng quát của AH là:

2 (x – 3) + y – 4 = 0 hay 2x + y – 10 = 0.

Câu 47: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(3; 4), B(5; 1), C(–1; – 2). Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua B và song song với AC.

Lời giải:

Gọi đường thẳng đi qua B và song song với AC là d.

Ta có: d // AC nên $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{AC}$ = (–4; –6) = –2(2; 3)

Phương trình tham số của d là: $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$ .

Câu 48: Điền vào chỗ trống: 45 dm = … m

Lời giải:

Vì 1m = 10 dm nên 1 dm = 0,1 m

Vậy 45 dm = 4,5 m.

Câu 49: Rút gọn biểu thức: a⁰a¹a²

Lời giải:

Ta có: a⁰a¹a² = a⁰⁺¹⁺² = a³.

Câu 50: Cho hai tập khác rỗng: A = (m – 1; 4]; B = (–2; 2m + 2), với m ∈ ℝ. Xác định m để A ∩ B = ∅.

Lời giải:

Vì tập A khác rỗng nên ta có m – 1 < 4 hay m < 5 (1)

Vì tập B khác rỗng nên ta có –2 < 2m + 2.

⇔ –4 < 2m.

⇔ m > –2 (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra tập hợp A và B đều khác rỗng khi và chỉ khi –2 < m < 5 (*).

Để A ∩ B ≠ ∅ thì m – 1 < 2m + 2.

 Nghĩa là, m > –3   (**).

Giao (*) và (**) lại với nhau, ta thu được kết quả –2 < m < 5.