Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 19)

Câu 1: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{A\text{E}}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$.

Lời giải:

Ta có

Ta có

Câu 2: Giải phương trình

a) sin5x + sin8x + sin3x = 0.                 

b) $4co{s}^{3}x+ 3\sqrt{2}sin2x=8cosx.$

Lời giải:

a) Ta có

Vậy $x=\frac{k\pi }{4}$ , $x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$ , $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

b) Ta có:

$4co{s}^{3}x+ 3\sqrt{2}sin2x=8cosx$

Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ , $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ , $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Câu 3: Cho bảng biến thiên hàm số y = f(x) như sau:

So sánh f(– 2021) và f(– 1); $f\left(\sqrt{3}\right)$  và f(2).

Lời giải:

Ta có – 2021; – 1 ∈ (– ∞; 1) và – 2021 < – 1

Mà trên khoảng (– ∞; 1) hàm số nghịch biến nên f(– 2021) > f(– 1)

Ta có $\sqrt{3};2 \in \left(1;3\right)$  và  $\sqrt{3}<2$

Mà trên khoảng (1; 3) hàm số đồng biến nên $f\left(\sqrt{3}\right)<f\left(2\right)$

Vậy f(– 2021) > f(– 1) và $f\left(\sqrt{3}\right)<f\left(2\right)$ .

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) = – 3x.

a) Vẽ đồ thị hàm số y = – 3x.

b) So sánh f(–2) và f(5).

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số y = – 3x đi qua gốc tọa độ O và điểm (– 1; 3)

b) Ta có: f(–2) = –3 . (–2) = 6

f(5) = –3 . 5 = – 15 

Vì 6 > – 15 nên f(–2) > f(5)

Vậy f(–2) > f(5).

Câu 5: Tìm m để hàm số y = $\sqrt{x^2+4\text{x}+m}$ có tập xác định là ℝ.

Lời giải:

y = $\sqrt{x^2+4\text{x}+m}$

Điều kiện xác định của y là x² + 4x + m ≥ 0

Để y có tập xác định là R

⇔ x² + 4x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇔ Δ' < 0

⇔ 2²  – 1 . m < 0

⇔ 4 – m < 0

⇔ m > 4

Vậy m > 4 thì hàm số y = $\sqrt{x^2+4\text{x}+m}$ có tập xác định là R.

Câu 6: Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx² – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.

Lời giải:

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ thì

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ \frac{-\Delta }{4\text{a}}=-10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \frac{{\left(-2m\right)}^2-4.m.\left(-3m-2\right)}{4m}=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \frac{16m^2+8m}{4m}=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ 16m^2+8m=40m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ 16m^2-32m=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ 16m\left(m-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff m=2 \end{gathered}$$

Vậy m = 2.

Câu 7: Tìm đa thức M biết (x³ – 5x² + x – 5) = (x – 5).M

Lời giải:

Ta có (x³ – 5x² + x – 5) = (x – 5) . M

$$\begin{gathered} \iff M=\frac{x^3-5{\text{x}}^2+x-5}{x-5} \\ =\frac{x^2(x-5)+x-5}{x-5} \\ =\frac{(x^2+1)(x-5)}{x-5} \\ =x^2+1 \end{gathered}$$

Vậy M = x² + 1.

Câu 8: Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c$ .

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Suy ra

Vậy $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c$ .

Câu 9: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, $\widehat{C}=60°$ . Độ dài cạnh c là

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 10: Cho các điểm A(1; – 2), B(– 2; 3) và C(0; 4). Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có A(1; – 2), B(– 2; 3) và C(0; 4)

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{\sqrt{34}+\sqrt{5}+\sqrt{37}}{2}$

Suy ra:

 

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $\frac{13}{2}$ .

Câu 11: Cho tập hợp A = (– ∞; 2023), B = [4 – 3m; + ∞). Tìm m để C_RB ⊂ A.

Lời giải:

Ta có C_RB = R ∖ B = (– ∞; 4 – 3m)

Để C_RB ⊂ A thì 4 – 3m < 2023

⇔ – 3m < 2019

⇔ m > 673

Vậy m > 673.

Câu 12: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

A. 15;

B. 20;

C. 25;

D. 30.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán

X là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và toán

y là số học sinh chỉ thích hai môn là Sử và toán

z là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và Sử

Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 – 6 = 39

Dựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình

Suy ra a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 25 + 18 +20

Hay a + b + c + 2(x + y + z) = 48                  (2)

Từ (1) và (2) ta có

$\left\{\begin{array}{l}a+x+z+5=25\\ b+y+z+5=18\\ c+x+y+5=20\\ x+y+z+a+b+c+5=39\left(1\right)\end{array}\right.$

a + b + c + 2(39 – 5 – a – b − c) = 48

⇔ a + b + c = 20

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right|$  + z = 3 + 4i. Mô đun của z bằng?

Lời giải:

Gọi số phức z có dạng z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Ta có $\left|z\right|$  + z = 3 + 4i

Do đó $\sqrt{a^2+4^2}+a=3$

Vậy số phức cần tìm là $\frac{-7}{6}+4i$ .

Câu 14: Đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; – 7) và B (2;  – 8). Tính y(– 1)

A. y(– 1) = 7;

B. y(– 1) = 11;

C. y(– 1) = – 11;

D. y(– 1) = – 35.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì đồ thị hàm số đi qua A và B nên

Ta có y’ = 3ax² + 2bx + c có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên

Từ (1), (2) và (3) suy ra

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}7\text{a}+3b+c=-1\\ 3\text{a}+2b+c=0\\ 12\text{a}+4b+c=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}7\text{a}+3b+c=-1\\ \text{4a}+b=-1\\ \text{9a}+2b=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-9\\ c=12\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra d = – 12

Khi đó y(– 1) = – a + b – c + d = – 35

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 15: Tính hợp lí

1/ (– 37) + 14 + 26 + 37;

2/ (– 24) + 6 + 10 + 24;

3/ 15 + 23 + (– 25) + ( – 23);

4/ 60 + 33 + (– 50) + (– 33);

5/ (– 16) + ( – 209) + ( – 14) + 209;

6/ (– 12) + ( – 13) + 36 + (– 11);

7/ 300 – (– 200) – (– 120) + 18;

8/ – (– 299) + (– 219) – 401 + 12;

9/ 555 – (– 333) – 100 – 80;

10/ 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17;

11/ 1+ (– 2) + 3 + (– 4) + ..... + 19 + (– 20);

12/ 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100.

Lời giải:

1/ (– 37) + 14 + 26 + 37

= [(– 37) + 37] + (14 + 26)

= 0 + 40 = 40

2/ (– 24) + 6 + 10 + 24

= (– 24 + 24) + (6 + 10)

= 0 + 16 = 16

3/ 15 + 23 + (– 25) + ( – 23)

= [15 + (– 25) + [23 + (– 23)]

= – 10 + 0 = – 10

4/ 60 + 33 + (– 50) + (– 33)

= [60 + (– 50)] + [33 + (– 33)]

= 10 + 0 = 10

5/ (– 16) + ( – 209) + ( – 14) + 209

= [(– 16) + (– 14)] + [(– 209) + 209]

= – 20 + 0 = – 20

6/ (– 12) + ( – 13) + 36 + (– 11)

= (– 25) + (– 11) + 36

= – 36 + 36 = 0

7/ 300 – (– 200) – (– 120) + 18

= 300 + 200 + 120 + 18

= 500 + 120 + 18

= 620 + 18

= 638

8/ – (– 299) + (– 219) – 401 + 12

= 299 – 219 – 401 + 12

= 80 – 401 + 12

= – 321 + 12 = – 309

9/ 555 – (– 333) – 100 – 80

= 555 + 333 – 180

= 888 – 180

= 708

10/ 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17

= (34 – 14) + (35 – 15) + (36 – 16) + (37 – 17)

= 20 + 20 + 20 + 20

= 80

11/ 1+ (– 2) + 3 + (– 4) + ..... + 19 + (– 20)

=[1 + (– 2)] . [(20 – 1) : 1 + 1] : 2 = – 1 . 10 = – 10

12/ 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100

= (1 – 2) . [(100 – 1) : 1 + 1] : 2 = –1 . 50 = – 50

Câu 16: Tìm điểm thuộc đồ thị y = – x + 2 có hoành độ gấp 3 lần tung độ.

Lời giải:

Gọi A(x_A; y_A) là điểm cần tìm

Theo đề bài ta có x_A = 3y_A

Vì A thuộc đồ thị hàm số y = – x + 2

Nên y_A = – x_A + 2

⇔ y_A = – 3y_A + 2

⇔ 4y_A = 2

$\iff y_A=\frac{1}{2}$

Suy ra $x_A=3y_A=\frac{3}{2}$

Vậy $A\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ .

Câu 17: Cho a và b là hai số dương khác nhau thỏa mãn $a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$ .

Chứng minh a² + b² = 1.

Lời giải:

Ta có

$\iff \left[\begin{array}{l}{a}^2-b^2=0\\ a^2+b^2-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ a^2+b^2=1\end{array}\right.$

Mà a ≠ b

Suy ra a² + b² = 1.

Câu 18: Cho A (– 1; 2); B(2; 0); C(3; 4).

a) Tính tọa độ trung điểm I của AC.

b) Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tính tọa độ D: ABCD theo thứ tự là hình bình hành.

d) Tìm tọa độ E sao cho: $3\overrightarrow{E\text{A}}+2\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

a) Vì I là trung điểm của AC nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-1+3}{2}=1\\ y_I=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{2+4}{2}=3\end{array}\right.$

Vậy I (1; 3)

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}\\ y_G=\frac{x_A+y_B+x_C}{3}=\frac{2+0+4}{3}=2\end{array}\right.$

Vậy G ( $\frac{4}{3}$; 2)

c) Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \left\{\begin{array}{l}2+1=3-x_D\\ 0-2=4-y_D\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=0\\ y_D=6\end{array}\right.$

Vậy D(0; 6)

d) Gọi K là trung điểm của AB

Suy ra $\overrightarrow{E\text{A}}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EK}$  và $K\left(\frac{1}{2};1\right)$

Ta có

$3\overrightarrow{E\text{A}}+2\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{E\text{A}}-\overrightarrow{EC}+2\overrightarrow{E\text{A}}+2\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{EK}$

Mà $3\overrightarrow{E\text{A}}+2\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$  nên $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{EK}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}3+1=4\left(\frac{1}{3}-x_E\right)\\ 4-2=4\left(1-y_E\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_E=\frac{-2}{3}\\ y_E=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy $E\left(\frac{-2}{3};\frac{1}{2}\right)$ .

Câu 19: Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|$ .

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}$

Gọi giao điểm của AG và BC là I

Vì ABC là tam giác đều nên AI ⊥ BC

Hay tam giác ABI vuông tại I

Suy ra AI = $\sqrt{A{B}^2-B{I}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do đó AG = $\frac{2}{3}$ AI = $\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 20: Tìm x biết

a) (x² – x + 7) ⋮ (x – 1);

b) (x² – 9x + 7) ⋮ (x – 9).

Lời giải:

a) (x² – x + 7) ⋮ (x – 1)

⇔ x(x – 1) + 7 ⋮ (x – 1)

Vì x(x – 1) ⋮ (x – 1) nên 7 ⋮ (x – 1)

Suy ra x – 1 ∈ Ư(7) = {1; – 1; 7; – 7}

Do đó x ∈ {2; 0; 8; – 6}

b) (x² – 9x + 7) ⋮ (x – 9)

⇔ x(x – 9) + 7 ⋮ (x – 9)

Vì x(x – 9) ⋮ (x – 9) nên 7 ⋮ (x – 9)

Suy ra x – 9 ∈ Ư(7) = {1; – 1; 7; – 7}

Do đó x ∈ {10; 8; 16; 2}

Câu 21: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó song song với đường thẳng y = 2x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 5.

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x – 3

Nên a = 2; b ≠ − 3

Vì đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ là 5 

nên x = 0 ; y = 5 

⇔ 5 = 2 . 0 + b 

⇔ 5 = b ( thỏa mãn ) 

Vậy y = 2x + 5 là hàm số cần tìm.

Câu 22: Có 10 người, để làm xong một công việc thì phải mất 8 ngày. Nếu muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày thì cần phải có bao nhiêu người, biết năng suất lao động của mỗi người là như nhau?

Lời giải:

Cần số người để làm xong việc đó trong 1 ngày là

10 × 8 = 80 (người)

Cần số người để làm xong việc đó trong 5 ngày là

80 : 5 = 16 (người)

Vậy cần 16 người để hoàn thành công việc trong 5 ngày.

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC). 

Lời giải:

Trong mp(ABCD) nối AN kéo dài cắt BC kéo dài tại E

Suy ra E ∈ (SBC)

Vì N là trung điểm của CD nên NC = ND

Vì AD // BE nên $\frac{AN}{NE}=\frac{N\text{D}}{NC}=1$  (Định lí Ta – let)

Suy ra AN = EN

Do đó N là trung điểm của AE

Xét tam giác SAE có

N là trung điểm của AE

M là trung điểm của AS

Suy ra MN là đường trung bình

Do đó MN // SE

Vậy MN // (SBC). 

Câu 24: Cho A = (– ∞; m], B = [3 – 2m; + ∞). Tìm m để

a) A giao B bằng rỗng, A giao B khác rỗng, A hợp B bằng ℝ.

b) A giao B là 1 tập hợp có 1 phần tử.

Lời giải:

a) • A ⋂ B = ∅

⇔ m < 3 – 2m

⇔ 3m < 3

⇔ m < 1

• A ⋂ B ≠ ∅

⇔ m ≥ 3 – 2m

⇔ 3m ≥ 3

⇔ m ≥ 1

• A ∪ B = ℝ

⇔ m ≥ 3 – 2m

⇔ 3m ≥ 3

⇔ m ≥ 1

b) A giao B là 1 tập hợp có 1 phần tử

⇔ m = 3 – 2m

⇔ 3m = 3

⇔ m = 1

Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(– 1; 2), C(3; – 2), D (– 2; m). Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Gọi I(x; y)

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(4–x;3-y\right)$ ;  $\overrightarrow{IB}=\left(–1–x;2–y\right)$ và $\overrightarrow{IC}=\left(3–x;–2–y\right)$

Ta có $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4-x+2(-1-x)-(3-x)=0\\ 3-y+2(2-y)+(2+y)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2x=1\\ -2y=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2}\\ y=\frac{9}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $I\left(\frac{-1}{2};\frac{9}{2}\right)$ .

Câu 26: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA.

Lời giải:

Kẻ đường cao BH

Xét tam giác ABH vuông ở H có AH = AB.cosA

Theo định lí Pytago ta có

AB² = AH² + BH²

Xét tam giác ACH vuông ở H có AC² = AH² + CH² (định lí Pytago)

Ta có AB² + AC² –  2AB.AC.cosA

= AB² + AC² – 2AC.AH

= AH² + BH² + AC² – 2AC.AH

= BH² + (AC – AH)²

= BH² + HC²

= BC²

Vậy BC² = AB² + AC² –  2AB.AC.cosA.

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a) Chứng minh MN // CD.

b) Tìm giao điểm P của SC và (AND).

c) Gọi I là giao điểm của AN và DP. Chứng minh SI // AB // CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà AB // CD (do ABCD là hình thang).

Suy ra MN // CD.

b) Trong mp(ABCD), gọi E là giao điểm của BC và AD.

Khi đó E ∈ AD ⊂ (AND) nên mp(AND) chính là mp(ANE);

            E ∈ BC ⊂ (SBC) nên mp(SBC) chính là mp(SBE).

Trong mp(SBE), gọi P là giao điểm của EN và SC.

Ta có: (ANE) ∩ (SBE) = NE;

           NE ∩ SC = P

Suy ra SC ∩ (ANE) = P.

Do đó P là giao điểm của SC và (AND).

c) Do AN ∩ DP = {I} nên ta có:

• I ∈ DP, DP ⊂ (SCD) do đó I ∈ (SCD).

• I ∈ AN, AN ⊂ (SAB) do đó I ∈ (SAB).

Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên (SAB) ∩ (SCD) = S;

           I ∈ (SAB) và I ∈ (SCD) nên (SAB) ∩ (SCD) = I.

Do đó (SAB) ∩ (SCD) = SI.

Lại có AB // CD; AB ⊂ (SAB) và CD ⊂ (SCD)

Suy ra SI // AB // CD.

Câu 28: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Lời giải:

a) Gọi E là giao điểm của AD và BC.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}E\in AD\Rightarrow E\in \left(SAD\right)\\ E\in BC\Rightarrow E\in \left(SBC\right)\end{array}\right.$

Do đó E = (SAD) ∩ (SBC)

Mà S = (SAD) ∩ (SBC)

Suy ra SE = (SAD) ∩ (SBC).

b) Trong mp(SBE) gọi giao điểm của MN và SE là F.

Trong mp(SAD) gọi giao điểm của AF là SD là P.

Suy ra P = SD ∩ (AMN).

c) Ta có

Vậy thiết diện thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giác AMNP.

Câu 29: Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (học sinh)

Vậy số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (học sinh).

Câu 30: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) biết rằng đồ thị của hàm số này song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là – 2.

Lời giải:

• Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên $\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b\ne 3\end{array}\right.$ .

Khi đó ta có hàm số y = 2x + b (b ≠ 3).

• Vì đồ thị của hàm số y = 2x + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là – 2 nên điểm A(– 2; 0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + b

Suy ra 0 = 2 . (– 2) + b

Hay b = 4 (thỏa mãn b ≠ 3)

Vậy y = 2x + 4.

Câu 31: Số tự nhiên thích hợp để điền vào dãy số sau: 3, 17, 59, 185, 563, ... là số nào?

Lời giải:

Ta thấy

Hiệu giữa 3 và 17 là 14

Hiệu giữa 17 và 59 là 42 = 14 . 3 

Hiệu giữa 59 và 185 là 126 = 42 . 3

Hiệu giữa 185 và 563 là 378 = 126 . 3

Suy ra quy luật hiệu của hai số sau sẽ gấp 3 lần hiệu của hai số trước (có lặp lại số ở giữa 2 số kia) 

Vậy số cần điền là : 378 . 3 + 563 = 1697.

Câu 32: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x² – 4xy + y²;

b) 9x³ – 9x²y – 4x + 4y;

c) x³ + 2 + 3(x³ – 2).

Lời giải:

a) 4x² – 4xy + y²

= (2x – y)²

b) 9x³ – 9x²y – 4x + 4y

= 9x²(x – y) – 4(x – y)

= (x – y)(9x² – 4)

c) x³ + 2 + 3(x³ – 2)

= x³ + 2 + 3x³ – 6

= 4x³ – 4

= 4(x³ – 1)

= 4(x – 1)(x² + x + 1)

Câu 33: Trung Bình cộng số vở của 2 bạn Hiền và Hương là 56 quyển. Số vở của Hiền ít hơn Trung bình cộng số vở của 2 bạn là 14 quyển vở. Vậy bạn Hương có nhiều hơn bạn Hiền bao nhiêu quyển vở?

Lời giải:

Hiền có số quyển vở là :

56 – 14 = 42 (quyển)

Cả 2 bạn có số quyển vở là :

56 × 2 = 112 (quyển)

Hương có số quyển vở là :

112 – 42 = 70 (quyển)

Hương có nhiều hơn Hiền số quyển vở là :

70 – 42 = 28 (quyển)

Vậy Hương có nhiều hơn Hiền 28 quyển vở.

Câu 34: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ .

A. M là trung điểm cạnh IC, với I là trung điểm cạnh AB.

B. M trùng với đỉnh C của tam giác ABC.

C. M là trọng tâm của tam giác ABC.

D. M là đỉnh của hình bình hành MCAB.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Gọi I là trung điểm của cạnh AB

Ta có

Suy ra M là trung điểm cạnh IC

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 35: Mẹ đi chợ về mua 10 lít nước mắm, trong đó có 4 lít nước mắm loại một, còn lại là nước mắm loại hai. Tỉ số phần trăm giữa nước mắm loại một và nước mắm loại hai là:

A. 40%;

B. 45%;

C. 60%;

D. 66,66%.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Mẹ mua số lít nước mắm loại hai là:

10 – 4 = 6 (lít)

Tỉ số phần trăm giữa nước mắm loại một và nước mắm loại hai là:

4 : 6 = 0,6666 = 66,66%

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 36: Một người bỏ ra 250 000 đồng (tiền vốn) để mua rau. Sau khi bán hết số rau này thì thu được 300 000 đồng. Hỏi người đó được lãi bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Số tiền được lãi của người đó là :

300 000 – 250 000 = 50 000 ( đồng )

Người đó được lãi số phần trăm là :

50 000 : 250 000 × 100 % = 20 %

Vậy người đó lãi được 20%.

Câu 37: Cho biết $\frac{b\text{z}-cy}{a}=\frac{c\text{x}-az}{b}=\frac{ay-b\text{x}}{c}$ . Chứng minh x : y : z = a : b : c.

Lời giải:

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{b\text{z}-cy}{a}=\frac{c\text{x}-az}{b}=\frac{ay-b\text{x}}{c} \\ =\frac{a(b\text{z}-cy)}{a^2}=\frac{b(c\text{x}-az)}{b^2}=\frac{c(ay-b\text{x)}}{c^2} \\ =\frac{ab\text{z}-acy}{a^2}=\frac{bc\text{x}-baz}{b^2}=\frac{cay-cb\text{x}}{c^2} \end{gathered}$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Vậy x : y : z = a : b : c.

Câu 38: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}$ . Tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

Cách vẽ: 

+) Vẽ tam giác ABC bất kì

+) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, vẽ một phần đường thẳng d đi qua A, song song với BC

+) Trên d, lấy điểm D sao cho AD = BC

Khi đó ta có hai vectơ $\overrightarrow{A\text{D}},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và cùng độ dài nên  $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}$

+) Tứ giác ABCD có AD // BC và AD = BC nên ABCD là hình bình hành. 

Câu 39: Cho hai khoảng A = (m; m + 1) và B = (3; 5)

Tìm m để A ∪ B là một khoảng. Hãy xác định khoảng đó.

Lời giải:

Để A hợp B là một khoảng thì

Trường hợp 1: A ⊂ B, tức (m; m + 1) ⊂ (3; 5)

$\iff \left\{\begin{array}{l}3\le m\\ m+1\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 3\\ m\le 4\end{array}\right.\iff 3\le m\le 4\iff m\in \left[3;4\right]$

 

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 2: B ⊂ A, tức (3; 5) ⊂ (m; m + 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ 5\le m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 4\end{array}\right.$ (loại)

Do đó không xảy ra trường hợp này.

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 3: A ∪ B = (m; 5) thì

$\left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m+1>3\\ m+1\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m>2\\ m\le 4\end{array}\right.\iff 2<m\le 3\iff m\in \left(2;3\right]$

Trường hợp 4: A ∪ B = (3; m +1) thì

$\left\{\begin{array}{l}3\le m\\ 5>m\\ 5\le m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 3\\ m<5\\ m\ge 4\end{array}\right.\iff 4\le m<5\iff m\in \left[4;5\right)$

Vậy $m\in \left(2;3\right]$  thì A ∪ B = (m; 5);

        $m\in \left[3;4\right]$  thì A ∪ B = (3; 5);

        $m\in \left[4;5\right)$  thì A ∪ B = (3; m +1).

Câu 40: Cho đường tròn (O; 13) và một điểm M cách O là 5. Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua M?

Lời giải:

Dây dài nhất đi qua M chính là đường kính đi qua M của đường tròn.

Như vậy độ dài của dây dài nhất bằng 26 (cm).

Dây ngắn nhất đi qua M là dây đi qua M và vuông góc với MO.

Độ dài dây ngắn nhất bằng 

$2\sqrt{R^2-d_{(O,d)}}=2\sqrt{{13}^2-5^2}=24$ (cm).

Suy ra dây có độ dài là số nguyên thì có độ dài là 24, 25, 26 (cm)

Vậy có 3 dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua M.

Câu 41: Giải phương trình sinx + cosx = 1.

Lời giải:

Ta có

Vậy phương trình có nghiệm là x = k2π hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Câu 42: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 2,5 cm và dây AB di động, sao cho AB = 4 cm. Hỏi trung điểm H của AB di động trên đường nào?

Lời giải:

Xét tam giác OAB có OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

Mà OH là trung tuyến

Suy ra OH là đường cao

Hay tam giác OAH vuông tại H

Suy ra AO² = OH² + AH²

Hay $R^2=O{H}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$

Suy ra $\text{O}H=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-2^2}=\mathrm{1,5}$

Vậy H di động trên đường tròn tâm O bán kính 1,5 cm.

Câu 43: Tìm GTNN của A = x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x + 5.

Lời giải:

Ta có

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x

x² + 2 ≥ 0 với mọi x

suy ra A ≥ 3 với mọi x

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = 1.

Câu 44: Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Phép dời hình biến DAMO thành DCPO là

A. Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{AM}$ ;

B. Phép đối xứng trục MP;

C. Phép quay tâm A góc quay 180°;

D. Phép quay tâm O góc quay – 180°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: phép dời hình biến DAMO thành DCPO tức biến điểm A thành điểm C, biến điểm O thành chính nó sao cho OA = OC.

Do đó C = Q_{(O; –180°)}(A).

Phép dời hình biến DAMO thành DCPO tức biến điểm M thành điểm P, biến điểm O thành chính nó sao cho OM = OP.

Do đó P = Q_{(O; –180°)}(M).

Mà O = Q_{(O; –180°)}(O).

Suy ra phép dời hình biến DAMO thành DCPO là phép quay tâm O, góc quay – 180°.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 45:  Phương trình sinx = a luôn có nghiệm khi nào?

Lời giải:

Vì – 1 ≤  sinx  ≤ 1

Nên phương trình sinx = a có nghiệm khi – 1 ≤ a ≤ 1

Vậy – 1 ≤ a ≤ 1.

Câu 46: Một ô tô chạy 100km hết 13 lít xăng. Hỏi cần bao nhiêu xăng khi ô tô chạy quãng đường 300 000 m?

Lời giải:

Đổi 300 000 m = 300 km

300 km gấp 100 km số lần là :

300 : 100 = 3 (lần)

Ô tô đi quãng đường 300 km thì tiêu thụ hết số xăng là :

13 x 3 = 39 (lít)

Vậy đi 300 000 m ô tô cần 39 lít xăng.

Câu 47: Di chuyển 1 que diêm để phép tính 2 + 3 – 8 = 4 có kết quả đúng:

Lời giải:

Ta dịch chuyển 1 que diêm từ số 8 sang trước số 4 để có phép tính đúng là:

2 + 3 – 9 = – 4

Ta dịch chuyển 1 que diêm từ dấu = sang dấu – để có phép tính đúng là:

2 + 2 = 8 – 4

Câu 48: Cho A = 5 + 70 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để:

a) A chia hết cho 5;

b) A không chia hết cho 5.

Lời giải:

a) Ta có: A = 5 + 70 + x = 75 + x

Để A chia hết cho 5 thì  75 + x chia hết cho 5

Mà 75 chia hết cho 5 nên x chia hết cho 5

Suy ra x ∈ B(5)

Vậy x ∈ B(5) thì A chia hết cho 5.

b) Ta có: A = 75 + x

Để A không chia hết cho 5 thì  75 + x không chia hết cho 5

Mà 75 chia hết cho 5 nên x  không chia hết cho 5

Suy ra x ∉ B(5)

Vậy x ∉ B(5) thì A không chia hết cho 5.

Câu 49: Cho H, K là các giao điểm  của đường tròn (O₁), (O₂). Đường thẳng O₁H cắt (O₁) tại A , (O₂) tại B . O₂H cắt (O₁)  tại C và (O₁) tại D. Chứng minh rằng ba đường thẳng  BC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.

Lời giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là E

Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn (O₁) có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C, tam giác AHK vuông tại K

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}DC\perp A\text{E (1)}\\ HK\perp AK\text{ (2)}\end{array}\right.$

Các tam giác HDK, HDB nội tiếp đường tròn (O₂) có cạnh HD là đường kính nên tam giác HDK vuông tại K, tam giác HBD vuông tại B

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB\perp D\text{E (4)}\\ HK\perp KD\text{ (3)}\end{array}\right.$

Từ (2) và (3) suy ra A, K, D thẳng hàng

Do đó HK ⊥ AD

Từ (1) và (4) suy ra H là trực tâm tam giác AED

Do đó HE ⊥ AD

Suy ra H thuộc EK

Vậy BC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.

Câu 50: Cho tana = 2. Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{4\sin a+3\cos a}{5\sin a-2\cos a}$ .

Lời giải:

Vì tana = 2 nên cosa ≠ 0.

Ta có:

$$\begin{gathered} A=\frac{4\sin a+3\cos a}{5\sin a-2\cos a} \\ =\frac{\frac{4\sin a+3\cos a}{\cos a}}{\frac{5\sin a-2\cos a}{\cos a}} \\ =\frac{4\tan a+3}{5\tan a-2} \\ =\frac{4.2+3}{5.2-2}=\frac{11}{8} \end{gathered}$$

Câu 51: Cho tanα = – 2. Tính giá trị biểu thức  $A=\frac{3c\text{os}\alpha +4\sin \alpha }{\text{cos}\alpha +\sin \alpha }$.

Lời giải:

Vì tanα = – 2 nên cosα ≠ 0.

Ta có

$A=\frac{3c\text{os}\alpha +4\sin \alpha }{\text{cos}\alpha +\sin \alpha }=\frac{\frac{3c\text{os}\alpha +4\sin \alpha }{c\text{os}\alpha }}{\frac{\text{cos}\alpha +\sin \alpha }{c\text{os}\alpha }}=\frac{3+4\tan \alpha }{1+\tan \alpha }$  (vì $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\text{cos}\alpha }$ )

Thay tanα = – 2 vào biểu thức trên ta được:

Nên $A=\frac{3+4.\left(-2\right)}{1+\left(-2\right)}=\frac{-5}{-1}=5$ .

Vậy A = 5.