Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 18)

Câu 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và $IJ=\frac{1}{4}AE$ .

Lời giải:

Ta có:

Hay $\overrightarrow{\text{IJ}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{A\text{E}}$

Suy ra IJ // AE và IJ = $\frac{1}{4}$ AE                                       

Vậy IJ // AE và IJ = $\frac{1}{4}$ AE.

Câu 2: Cho $P=\left(\frac{2\text{x}+1}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để P = 3.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$

Ta có : $P=\left(\frac{2\text{x}+1}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

Vậy với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$  thì $P=\sqrt{x}-1$ .

b) Với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$  để P = 3 thì $\sqrt{x}-1=3$

$\iff \sqrt{x}=4\iff x=16$ (thỏa mãn)

Vậy x = 16 thì P = 3.

Câu 3: Cho biểu thức: $P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$ .

a) Xác định tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức.

Lời giải:

a) Biểu thức P xác định khi

b) Ta có :

Câu 4: Hai kho gạo có 155 tấn gạo. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và thêm vào kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

Lời giải:

Số gạo kho thứ nhất nhiều hơn số gạo kho thứ hai là:

                17 – 8 = 9 (tấn)

Số gạo lúc đầu của kho thứ nhất là:

                (155 + 9) : 2 = 82 (tấn)

Số gạo lúc đầu của kho thứ hai là

               155 – 82 = 73 (tấn)

Vậy lúc đầu kho thứ nhất có 82 tấn gạo, kho thứ hai có 73 tấn gạo.

Câu 5: Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 26 cm, chiều rộng kém chiều dài 8cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đó?

Lời giải:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hai lần chiều dài hình chữ nhật là:

26 + 8 = 34 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

34 : 2 = 17 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

17 – 8 = 9 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

17 × 9 = 153 (cm²)

Vậy diện tích hình chữ nhật là 153 cm².

Câu 6: Không tính cụ thể các giá trị của A và B, hãy cho biết số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

A = 32 . 53 – 31; B = 53 . 31 + 32.

Lời giải:

Ta có:

A = 32 . 53 – 31

A = 31 . 53 + 53 – 31

A = 31 . 53 + (53 – 31)

A = 31 . 53 + 22

Vì 22 < 32

Suy ra A < B và nhỏ hơn 32 – 22 = 10

Vậy A < B.

Câu 7: Không tính cụ thể các giá trị của A và B, hãy cho biết số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

a, A = 1998 . 1998 ; B = 1996 . 2000.

b, A = 2000 . 2000 ; B = 1990 . 2010.

c, A = 25 . 33 – 10 ; B = 31 . 26 + 10.

d, A = 32 . 53 – 31 ; B = 53 . 31 + 32.

Lời giải:

a, Ta có:

A = 1998 . 1998 = (1996 + 2) . 1998 = 1996 . 1998 + 2 . 1998

B = 1996 . 2000 = 1996 . (2 + 1998) = 1996 . 2 + 1996 . 1998

Vì 2 . 1998 > 1996 . 2 nên 2 . 1998 + 1996 . 1998 > 1996 . 2 + 1996 . 1998

Vậy A > B.

b, Ta có:

A = 2000 . 2000

B = 1990 . 2010 = (2000 – 10) . (2000 + 10) = 2000 . 2000 – 10 . 10

Suy ra A > B.

c, Ta có:

A = 25 . 33 – 10 = (26 – 1) . 33 – 10  = 26 . 33 – 33 – 10 = 26 . 33 – 43

B = 31 . 26 + 10 = (33 – 2) . 26 + 10 = 33 . 26 – 2 . 26 + 10 = 26 . 33 – 42

Vì 42 < 43 nên 26 . 33 – 42 > 26 . 33 – 43 hay B > A.

Nên A < B

d, Ta có:

A = 32 . 53 – 31

A = 31 . 53 + 53 – 31

A = 31 . 53 + (53 – 31)

A = 31 . 53 + 22

Vì 22 < 32 nên 31 . 53 + 22 < 53 . 31 + 32 hay A < B.

Vậy A < B.

Câu 8: Cho biết log₂₅ 7 = a và log₂ 5 = b. Tính ${\log }_{\sqrt[3]{5}}\frac{49}{8}$  theo a, b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Do đó :

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 9: Trên một khu đất rộng 2dam² 60m², người ta dùng $\frac{2}{5}$  diện tích đó để làm nhà, $\frac{1}{3}$  diện tích còn lại trồng rau. Phần đất cuối làm chuồng trại chăn nuôi. Tính diện tích phần làm chuồng trại chăn nuôi.

Lời giải:

Đổi 2dam² 60m² = 260 m²

Diện tích để làm nhà là :

260 : 5 × 2 = 104 (m²)

Diện tích còn lại sau khi làm nhà là:

260 – 104 = 156 (m²)

Diện tích để trồng rau là :

156 : 3 × 1 = 52 (m²)

Diện tích đất làm chuồng trại chăn nuôi là :

156 – 52 = 104 (m²)

Vậy diện tích phần làm chuồng trại chăn nuôi là 104 m².

Câu 10: Ông Tư mua một khu đất hình chữ nhật dài 48m, rộng 25m. Ông thuê rào xung quanh bằng lưới giá 2 500 đồng/dm. Hỏi ông tốn tất cả bao nhiêu tiền, biết lúc rào ông có chừa lối đi rộng 2m.

Lời giải:

Chu vi khu đất hình chữ nhật là :

(48 + 25) x 2 = 146 (m)

Đổi : 146 m = 1460 dm và 2 m = 20 dm

Số dm rào ông Tư cần là :

1460 – 20 = 1440 (dm)

Số tiền ông Tư cần là :

1440 × 2 500 = 3 600 000 (đồng)

Vậy ông Tư tốn tất cả 3 600 000 đồng.

Câu 11: Lớp 4A và 4B trung bình mỗi lớp có 22 học sinh tiên tiến. Biết lớp 4A có 24 học sinh tiên tiến. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu học sinh tiên tiến ?

Lời giải:

Tổng số học sinh tiên tiến của cả hai lớp là : 22 × 2 = 44 ( học sinh ) 

Lớp 4B có số học sinh tiên tiến là : 44 – 24 = 20 ( học sinh )

Vậy lớp 4B có 20 học sinh tiên tiến.

Câu 12: Số trung bình cộng của hai số bằng 8 . Biết một trong hai số kia là 9 .tìm số kia ?

Lời giải:

Tổng của hai số là: 8 × 2 = 16

Số kia là: 16 – 9 = 7

Vậy số còn lại là 7.

Câu 13: Mẹ hái được 27kg chè, chị hái được ít hơn 12kg chè nhưng lại hơn em 6kg chè. Hỏi trung bình mỗi người hái được bao nhiêu kg chè?

Lời giải:

Số kg chè chị hái được là:

27 – 12 = 15 (kg)

Số kg chè em hái được là:

15 – 6 = 9 (kg)

Trung bình mỗi người hái được số kg chè là:

(27 + 15 + 9) : 3 = 17 (kg)

Vậy trung bình mỗi người hái được 17 kg chè.

Câu 14: Cho đường thẳng (d): y = (m – 3)x + 3m + 2. Tìm giá trị nguyên của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và Ox là

(m – 3)x + 3m + 2 = 0

⇔ (m – 3)x = – 3m – 2

$$\begin{gathered} \iff x=\frac{3m+2}{3-m} \\ \iff x=\frac{3m-9+11}{3-m}=\frac{-3(3-m)+11}{3-m}=-3+\frac{11}{3-m} \end{gathered}$$

Để x đạt giá trị nguyên thì $\frac{11}{3-m}$  nguyên

⇔ 11 ⋮ 3 – m

⇔ 3 – m ∈ Ư(11)

⇔ 3 – m ∈ {1; 11; – 1; – 11}

⇔ m ∈ {2; – 8; 4; 14}

Vậy m ∈ {2; – 8; 4; 14} thì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

Câu 15: Chứng minh: sin 2a = 2sin a cos a.

Lời giải:

Ta có

sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a

Vậy sin 2a = 2sin a cos a.

Câu 16: Diện tích miếng bìa có kích thước theo hình vẽ bên là:

A. 96 cm²;

B. 192 cm²;

C. 224 cm²;

D. 288 cm².

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Chiều dài hình chữ nhật MNPQ là:

8 + 8 + 8 = 24 (cm)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

24 × 12 = 288 (cm²)

Diện tích hình vuông EGHK là:

8 × 8 = 64 (cm²)

Diện tích miếng bìa là :

288 – 64 = 224 (cm²)

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 17: Tính diện tích miếng bìa có kích thước theo hình vẽ bên.

Lời giải:

Chia miếng bìa ra thành hai miếng bìa nhỏ. Từ đó ta có hai miếng bìa hình chữ nhật.

Diện tích của miếng bìa thứ nhất (H₁) là:

9 × 3 = 27 (cm²)

Chiều rộng của miếng bìa thứ hai (H₂) là:

10 – 3 = 7 (cm)

Diện tích của miếng bìa thứ hai (H₂) là:

21 × 7 = 147 (cm²)

Diện tích cả miếng bìa là:

27 + 147 = 174 (cm² )

Vậy diện tích miếng bìa là 174 cm².

Câu 18: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1  (d). Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ.

Lời giải:

Để (d) đi qua gốc tọa độ thì (d) đi qua điểm O(0; 0)

Suy ra m + 1 = 0

Hay m = – 1

Vậy với m = – 1 thì (d) đi qua gốc tọa độ.

Câu 19: Chu kì của hàm số y = 3 + 2sin² 2x là

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: y = 3 + 2sin² 2x $=3+\frac{1-cos4\text{x}}{2}=\frac{7}{2}-\frac{cos4\text{x}}{2}$

Do đó chu kì của hàm số trên là $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 20: Có một số tiền mua kẹo Trung Thu. Nếu mua loại 5000 đồng một gói thì được 18 gói. Hỏi cùng số tiền đó, nếu mua kẹo loại 7 500 một gói thì mua được mấy gói như thế?

Lời giải:

Số tiền dùng để mua kẹo Trung thu là:

5000 × 18 = 90 000 (đồng)

Số gói kẹo mua được nếu mua kẹo loại 7 500 đồng 1 gói là:

90 000 : 7 500 = 12 (gói)

Vậy mua được 12 gói kẹo loại 7 500 đồng.

Câu 21: Theo dự định một đội công nhân phải làm trong 15 ngày, mỗi ngày lắp 200 m đường ống thì mới lắp xong đường ống nước cho khu dân phố. Do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày đội công nhân đó làm được nhiều hơn dự định 50 m đường ống. Hỏi đội công nhân đó phải làm trong bao lâu để lắp xong đường ống đó?

Lời giải:

Số mét đường ống cần phải lắp là:

200 x 15 = 3000 (m)

Nếu cải tiến kỹ thuật thì mỗi ngày đội công nhân đó lắp được số ống là:

200 + 50 = 250 (m)

Số ngày cần có để đội công nhân lắp xong đường ống đó là:

3000 : 250 = 12 (ngày)

Vậy cần 12 ngày để đội nhân công đố lắp xong đường ống.

Câu 22: Một vòi nước chảy vào một cái bể không có nước.Trong 2 giờ đầu vòi chảy được $\frac{2}{7}$  bể, trong 3 giờ sau chảy được $\frac{9}{14}$  bể. Hỏi trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể nước?

Lời giải:

Trong 5 giờ vòi nước chả được số phần bể là

$\frac{2}{7}+\frac{9}{14}=\frac{13}{14}$ (bể)

Trung bình mỗi giờ vòi nước chảy được là

$\frac{13}{14}:5=\frac{13}{70}$ (bể)

Vậy trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được $\frac{13}{70}$  bể nước.

Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)

a) Tìm hệ số a của đường thẳng đi qua A và B.

b) Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A và B.

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có dạng: y = ax + b

Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình

Ta có:

Tại A: 2 = a + b ⇔ b = 2 – a                (1)

Tại B: 4 = 3a + b                       (2)

Thay (1) và (2) ta có: 4 = 3a + 2 – a ⇔ 2a = 2 ⇔ a = 1

Vậy hệ số a của đường thẳng đi qua A và B là 1

b) Ta có: b = 2 – a = 2 – 1 = 1

Vậy đường thẳng đi qua A và B là y = x + 1.

Câu 24: Giải phương trình: x² – 4x + xy – 4y = 0.

Lời giải:

Ta có x² – 4x + xy – 4y = 0

⇔ (x² – 4x) + (xy – 4y) = 0

⇔ x(x – 4) + y(x – 4) = 0

⇔ (x – 4)(x + y) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-4=0\\ x+y=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ y=-x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$

 

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (4; – 4).

Câu 25: Một mảnh vườn hình vuông cạnh 20 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m thuộc đất của vườn. Phần đất còn lại dùng để trồng trọt. Tính diện tích trồng trọt của mảnh vườn.

Lời giải:

Phần còn lại để trồng trọt là hình vuông có cạnh là: 

20 – 2 – 2 = 16 (m)

Diện tích trồng trọt của mảnh vườn là:     

16 × 16 = 256 (m²)

Vậy diện tích trồng trọt của mảnh vườn là 256 m².

Câu 26: Cho x, y, x thỏa mãn điều kiện x + y + x + xy + yz + zx = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x² + y² + z².

Lời giải:

Ta có (x – 1)² ≥ 0

⇔ x² + 1 ≥ 2x

(y – 1)² ≥ 0

⇔ y² + 1 ≥ 2y

(z – 1)² ≥ 0

⇔ z² + 1 ≥ 2z

(x – y – z)² ≥ 0

⇔ 2(x² + y² + z² ) ≥ 2(xy + yz + zx)

Suy ra 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + xz)

Hay 3P + 3 ≥ 2 . 6

⇔ P ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z =1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z =1.

Câu 27: Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1.

Lời giải:

Vì hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất

Nên m – 1 ≠ 0

Hay m ≠ 1

Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1

Nên m – 1 = –1

Hay m = 0

Vậy m = 0 thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1.

Câu 28: Nhà máy A sản xuất một loại áo giá vốn là 500 000 000 đồng và giá bán mỗi chiếc sẽ là 400 000 đồng khi đó gọi y (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) của nhà máy thu được khi bán x cái áo.

a) Viết công thức biểu diễn y theo x.

b) Hỏi nhà máy A phải bán bao nhiêu cái áo để đạt được số tiền lời trên 15 000 000 (đồng)?

Lời giải:

a) Ta có: $y=\left|\text{400 000x}-5\text{00 000 000}\right|$

b) Để số tiền lời trên 15 000 000 đồng

⇔ y > 15 000 000

$\iff \left|\text{400 000x}-5\text{00 000 000}\right|>15000000$

⇔ 400 000x – 500 000 000 > 15 000 000

⇔ 400 000x > 515 000 000

⇔ x > 1 287,5

⇔ x = 1288

Vậy nhà máy A phải bán 1288 cái áo để đạt được số tiền lời trên 15 000 000 (đồng).

Câu 29: So sánh: 12¹⁸ và 27¹⁶ . 16⁹.

Lời giải:

Ta có

12¹⁸ = (2² . 3)¹⁸ = 2³⁶ . 3¹⁸

27¹⁶ . 16⁹ = (3³)¹⁶ . (2⁴)⁹ = 3⁴⁸ . 2³⁶

Vì 3¹⁸ < 3⁴⁸ nên 12¹⁸ < 27¹⁶ . 16⁹

Vậy12¹⁸ < 27¹⁶ . 16⁹

Câu 30: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12.

Lời giải:

Ta có △’ = (m + 1)² – 4m = m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)²

△’ ≥ 0 nên phương trình có 2 nghiệm là

$$\begin{gathered} x_1=m+1+\sqrt{{(m-1)}^2} \\ =m+1+\left|m-1\right| \\ =m+1+m-1=2m \\ {x}_2=m+1-\sqrt{{(m-1)}^2} \\ =m+1-\left|m-1\right| \\ =m+1-m+1=2 \end{gathered}$$

Ta có: (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12

⇔ (2m + m)(2 + m) = 3m² + 12

⇔ 4m + 2m² + 2m + m² = 3m² + 12

⇔ 6m + 3m² = 3m² + 12

⇔ 6m = 12

⇔ m = 2

Vậy m = 2.

Câu 31: Trong hai số – 1 và – 6, số nào lớn hơn?

Lời giải:

Vì 1 < 6 nên – 1 > – 6

Vậy – 1 > – 6.

Câu 32: Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{\text{x}}^2+4\text{x}-5$ đồng biến trên ℝ.

A. 0 < m < 1;

B. – 1 ≤ m ≤ 1;

C. 0 ≤ m ≤ 1;

D. – 1 < m < 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y’ = x² – 4mx + 4

△’ = (– 2m)² – 4 = 4m² – 4

Để làm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}1>0\\ 4m^2-4\le 0\end{array}\right.$

⇔ m² – 1 ≤ 0

⇔ – 1 ≤  m  ≤ 1

Vậy – 1 ≤  m  ≤ 1.

Câu 33: Biết 20% của một số là 25 số đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Số cần tìm là 

25 × 100 : 20 = 125

Vậy số đó là 125.

Câu 34: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}$ .

Lời giải:

Ta có:

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}$ .

Câu 35: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = x(x − 1)(x + 4)³ , ∀ x ∈ R. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có

Ta có bảng xét dấu của f’(x)

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 36: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = x(x − 1)² , ∀ x ∈ R. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2;

B. 0;

C. 1;

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có:

f’(x) = 0 ⇔ x(x − 1)² = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Ta xét dấu của f’ (x)

Ta thấy đạo hàm đổi dấu đúng 1 lần nên hàm số đã cho có đúng 1 cực trị

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 37: Cho tam giác ABC và ABD vuông có chung cạnh huyền AB ( C, D cùng thuộc 1 nua mp có bờ là AB).

a) Chứng minh A, B , C, D cùng thuộc 1 đường tròn và gọi đường tròn đó có tâm O

b) Chứng minh CD < AB.

c) Giả sử 2 đoạn thẳng CD cắt AB tại M. Chứng minh OM = $\frac{MA+MB}{2}$ .

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của AB

Vì tam giác ABC vuông tại C

Nên C thuộc đường tròn (O) đường kính AB

Vì tam giác ABD vuông tại D

Nên D thuộc đường tròn (O) đường kính AB

Suy ra A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O)

b) Xét (O) có

AB là đường kính

CD là dây cung

Do đo: CD < AB

c) Ta có MA + MB = AB = 2OM (vì O là trung điểm của AB)

Suy ra OM = $\frac{MA+MB}{2}$

Vậy OM = $\frac{MA+MB}{2}$ .

Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = x(x – 1)(x + 2)³ ; ∀ x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 3

B. 2

C. 5

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có f’(x) = 0 ⇔ x(x – 1)(x + 2)³ = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Vì các nghiệm này đều là nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 39: Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó.

Lời giải:

Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i của thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T” (i = 1, 2, 3 )

Gọi A là biến cố “thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T”

Như vậy: A = A1 . A2 . A3

Vì A1, A2, A3 độc lập toàn phần với nhau, do đó:

P(A) = P(A1) . P(A2) . P(A3)

Các biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”và “bộ phận thứ i bị hỏng” là đối lập với nhau, cho nên:

P(A1) = 1 – 0,1 = 0,9

P(A2) = 1 – 0,2 = 0,8

P(A3) = 1 – 0,3 = 0,7

Vậy P(A) = 0,9 . 0,8 . 0,7 = 0,504.

Câu 40: Một chiếc cổng hình parabol dạng y = $-\frac{1}{2}{x}^2$  có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh)

Lời giải:

Đường thẳng chứa chiều rộng d = 8 m cắt (P) tại A(4; – h) nằm bên phải trục tung.

Điểm A thuộc (P) suy ra – h = $-\frac{1}{2}{.4}^2=-8$

Hay h = 8

Vậy chiều cao h của cổng là 8 m.

Câu 41: Một ôtô đi trên quãng đường AB với v = 54 km/h. Nếu giảm vận tốc đi 9 km/h thì ôtô đến B trễ hơn dự định 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự tính để đi quãng đường đó.

Lời giải:

Đổi 45 phút = 0,75 giờ

Theo đề ta có:

V . t = (v - v' )(t' + t) (km)

Hay: 54t' = 45(t' + 0,75)

⇔ 54 t' – 45 t' = 33,75

⇔ t' = 3,75 (giờ)

Suy ra quãng đường AB là:

s = 54t' = 3,75 . 54 = 202,5 (km)

Vậy quãng đuong AB dài 202,5km; thời gian dự tính là 3,75 giờ.

Câu 42: Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm gần nhất với:

A. 0,26 . 10^-3

B. 0,52 . 10^-3

C. 0,37 . 10^-3

D. 0,41 . 10^-3

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Số cách chia 20 bạn thành 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn là

n(Ω) = $C_{20}^5{C}_{15}^5{C}_{10}^5{C}_5^5$

Gọi A là biến cố “5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”

Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có $C_{15}^5{C}_{10}^5{C}_5^5$  cách chia các bạn nam vào nhóm còn lại

Do vai trò của các nhóm như nhau nên $\left|{\Omega }_A\right|=4C_{15}^5{C}_{10}^5{C}_5^5$

Khi đó $P\left(A\right)=\frac{4}{C_{20}^5}={\mathrm{0,26.10}}^{-3}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 43: Trong khai triển (1 + ax)ⁿ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x² . Hãy tìm a và n.

Lời giải:

Ta có:

Theo bài ra

Vậy a = 3 và n = 8.

Câu 44: Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) không quá 2 phế phẩm.

Lời giải:

a) Xác xuất để trong 12 sản phẩm do do nhà máy đó sản xuất ra có 2 phế phẩm là

P = $C_{12}^2$ . 0,05² . 0,95¹⁰ = 66 . 0,0025 . 0,599 = 0,099

b) Xác xuất để trong 12 sản phẩm do do nhà máy đó sản xuất ra có không quá 2 phế phẩm là

P = P(0) + P(1) = 0,95¹² + $C_{12}^1$ . 0,05 . 0,95¹¹ = 0,54 + 0,34 = 0,88.

Câu 45: Tìm x, y biết x : y : z = 3 : 8 : 5 và 3x + y –  2z = 14.

Lời giải:

Ta có x : y : z = 3 : 8 : 5

Suy ra $\frac{x}{3}=\frac{y}{8}=\frac{z}{5}$

Hay $\frac{3x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{2z}{10}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{3x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{2z}{10}=\frac{3\text{x+y}-\text{2z}}{9+8-10}=\frac{14}{7}=2$

 

Suy ra

$\left\{\begin{array}{l}\frac{3\text{x}}{9}=2\\ \frac{y}{8}=2\\ \frac{2\text{z}}{10}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=16\\ z=10\end{array}\right.$

Vậy x = 6, y = 16, z = 10.

Câu 46: Điền số thích hợp vào chỗ trống: 271 km 25m = ....m.

Lời giải:

Ta có:

271 km 25m = 271 025 m.

Câu 47: Phân số cần những điều kiện gì để trở thành 1 số nguyên?

Lời giải:

Ta có phân số $\frac{a}{b}$ , điều kiện phân số $\frac{a}{b}$  là một số nguyên là:

+) a và b khác 0

+) a > b và a chia hết cho b

Câu 48: Một số nếu giảm xuống 3 lần rồi bớt đi 14,6 thì được kết quả là 30,4. Tìm số đó.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là: x

Theo đề bài, ta có:

x : 3 − 14,6 = 30,4

⇔ x : 3 = 30,4 + 14,6

⇔ x : 3 = 45

⇔ x = 45 x 3

⇔ x = 135

Vậy số phải tìm là 135.

Câu 49: Giải phương trình: ${\left(\sin \frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)}^2+\sqrt{3}\cos x=2$

Lời giải:

Ta có:

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 2 ta được:

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{-\pi }{6}+k2\pi$ , x = $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ .

Câu 50: Tìm x, y, z biết $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{6}$  và 5z – 3x – 4y = 50.

Lời giải:

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Vậy x = 5, y = 5, z = 17.