Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:
Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 96)
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy chứng minh.
Lời giải:
a/ Ta có ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm O mỗi đường
Nên OA = OC; OB = OD
Mà AB // CD nên OMOP=OAOC=1
Nên OM = OP hay O là trung điểm MP
Tương tự: O là trung điểm NQ
Vì d1 vuông góc d2 tức NQ vuông góc MP
Suy ra: NQ ⊥ MP = O là trung điểm mỗi đường
Vậy MNPQ là hình thoi
b/ Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD
Suy ra: ^MOB=90∘-^BON=^NOC
Mà OB = OC; ^OBM=^OBA=45∘=^OCB=^OCN
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
^OBM=^OCN
OB = OC
^MOB=^NOC
Nên: ∆OBM = ∆OCN (g.c.g)
Suy ra: OM = ON
Kết hợp phần a nên MNPQ là hình vuông.
Lời giải:
Kẻ đường cao AH và đường cao BK ⇒ AB = HK = 1cm
Nên ta có: DH + CK = 4 (1)
Theo tỉ số lượng giác cho tam giác ADH và BCK ta lại có:
AH = tan60°. DH
BK = tan 30°. CK
Nên: tan60°. DH = tan30°. CK (2)
Từ (1) và (2) giải ra ta được: DH = 1cm, CK = 3cm.
Suy ra: AH = tan60°. DH = √3(cm)
SABCD = 12.AH.(AB+CD)=12.√3.(1+5)=3√3(cm2).
Đề bài. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và ˆA= 60°. Tính cạnh BC.
Lời giải:
Kẻ CH ⊥ AB, DK ⊥ AB
Suy ra DK // CH (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Mà CD // HK
Suy ra CDKH là hình bình hành
Lại có ^CHK= 90° nên CDKH là hình chữ nhật
Suy ra KH = CD = 10 (cm)
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC và ˆA=ˆB=60∘
Xét ∆AKD và ∆BHC có
ˆA=ˆB=60∘(chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên);
^AKD=^BHC=90∘
Do đó ∆AKD = ∆BHC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AK = BH
Ta có AB = AK + KH + BH = 30
Hay 2AK + 10 = 30
Suy ra AK = BH = 10 (cm)
Xét tam giác BCH vuông ở H
Suy ra: BC=BHcosˆB=10cos60∘=20(cm).
Đề bài. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 8cm. Tính chu vi hình thoi ABCD?
Lời giải:
Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên mỗi cạnh đều bằng 8cm.
Chu vi hình thoi là: 8.4 = 32 (cm).
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD.
Lời giải:
a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là:
SABCD = AB.BC = 40.20 = 800 (m2)
b) Chòi hình vuông nằm chính giữa mảnh vườn
⇒ IL = (20 − 2) : 2 = 9m
Lối đi hình bình hành DHIK có đường cao là IL = 9m ứng với cạnh đáy DK = 1m
Diện tích lối đi hình bình hành DHIK là: SDHIK = IL.DK = 9.1 = 9 (m2)
IG = HG – HI = 2 – 1 = 1m
CK = CD – DK = 40 – 1 = 39m
Diện tích trồng rau hình thang IGCK là:
SIGCK = 12IL.(IG + CK) = 180 (m2)
Diện tích chòi hình vuông EFGH là:
SEFGH = EH.EH = 2.2 = 4 (m2)
Diện tích trồng hoa là:
SABCD − SDHIK − SIGCK − SEFGH = 800 – 9 – 180 – 4 = 607 (m2).
Lời giải:
a) {M∈(OMN),M∈(SAB)N∈(OMN),
Nên: (OMN) ∩ (SAB) = MN
b) Ta có: nên MN // AB
Kẻ đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại G, H
⇒ G, H ∈ (OMN)
Khi đó: (OMN) ∩ (SAD) = GN
c)
Nên (OMN) ∩ (SBC) = MH
d) Gọi giao điểm của MH và SC là I; giao điểm của NG và SD là J
Ta có:
Nên (OMN) ∩ (SCD) = IJ.
Lời giải:
Ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ AC, AB ⊥ AC
Nên AMHN là hình chữ nhật
⇒ AH = MN
⇒
Mà
⇒ ∆ANM ∽ ∆ABC (g.g)
⇒
Ta có: 1 – cos2B = sin2B
⇒ (1 – cos2B)sin2C = sin2Bsin2C = (sinBsinC)2
=
⇒
⇒
Lời giải:
Diện tích hình chữ nhật OABC là: 3.4 = 12(đvdt)
Do diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện phần phần chứa điểm C do đó đường thẳng y = ax sẽ cắt đoạn BC tại một điểm, gọi điểm đó là điểm D.
Diện tích tam giác ODC là: 12 : (2 + 1) . 1 = 4 (đvdt)
Độ dài đoạn DC:
Nên tọa độ điểm .
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật DCNM là: 180 : 2 = 90 (cm)
Khi đó: MN + CN = 90 (cm)
Chiều dài MN gấp 4 lần chiều rộng CN
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 4 = 5 (phần)
Chiều dài MN (hay CD) của hình chữ nhật DCNM là:
90 : 5 . 4 = 72 (cm)
Chiều rộng CN (hay DM) của hình chữ nhật DCNM là:
90 – 72 = 18 (cm)
Diện tích hình chữ nhật DCMN là:
18 . 72 = 1296 (cm2)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
72 . 20 = 1440 (cm2)
Diện tích hình H là:
1296 + 1440 = 2736 (cm2).
Đề bài. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn log2a + log8b + log32c = 10 và . Tính log4(abc).
Lời giải:
log2a + log8b + log32c = 10
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Mà
Nên:
⇔
⇔ a = 32
Nên:
Vậy log4(abc) =
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm D(xD; yD)
Ta có: 2BD = 5DC nên
Do đó:
Vậy .
Lời giải:
Kẻ AE ⊥ CD, OF ⊥ CD, BG ⊥ CD
⇒ AE // OF // BG
Do khoảng cách từ A, B, O đến CD theo thứ tự bằng 20cm, 15cm, 12cm
⇒ AE = 20cm, OF = 12cm, BG = 15cm
⇒
Ta có: AE // OF nên
Hay
⇒
⇒
Lại có: BG // OF nên
⇒
⇒
⇒ )
Lại có:
⇒
SABCD = SOAB + SOBC + SOCD + SDOA = 24 + 36 + 144 + 216 = 420 (cm2).
Đề bài. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.
Lời giải:
Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:
⇒ AB2 + AD2 = 2AN2 + (1)
Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:
⇒ CB2 + CD2 = 2CN2 + (2)
Cộng (1) với (2) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2AN2 + 2CN2 + BD2 (3)
Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:
⇒ AN2 + CN2 = 2MN2 + (4)
Thay (4) vào (3) ta được:
AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2.(2MN2 + + BD2 = 4MN2 + AC2 + BD2
Vậy AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.
Lời giải:
Ta có:
Suy ra: AB2 + AC2 + AD2 = 4.AI2 ≥ 4.27 ≥
⇔ AB.AC.AD ≤ 216
Vậy
Dấu “=” xảy ra khi AB = AC = AD = 6.
Đề bài. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – (1 + 9m2)x2 + 9m2 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x4 – (1 + 9m2)x2 + 9m2 = 0
⇔ (x2 – 1)(x2 + 1) – (9m2 + 1)(x2 – 1) = 0
⇔ (x2 – 1)(x2 – 9m2) = 0
⇔
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì \(m \ne \pm \frac{1}{3}\)
TH1:
TH2:
Vậy .
Lời giải:
Doanh thu của công ty khi khi sản xuất bán sản phẩm thứ 10 là:
−3.102 + 140.10 = 1100 (đôla).
Lời giải:
.
Đề bài. Tính giá trị biểu thức: .
Lời giải:
.
Lời giải:
.
Đề bài. Tìm x nguyên biết 2x + 4 chia hết cho x + 1.
Lời giải:
Ta có: 2x + 4 = 2(x + 1) + 2
Vì 2(x + 1) chia hết cho x + 1
Nên để 2x + 4 chia hết cho x + 1 thì 2 chia hết cho x + 1
Hay x + 1 ∈ Ư(2)
Mà Ư(2) ∈{1; 2; -1; -2}.
⇒ x ∈{ - 3; - 2; 0; 1}.
Đề bài. Rút gọn biểu thức (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2.
Lời giải:
(3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
= [(3x + 1) – (3x + 5)]2
= (-4)2
= 16.
Lời giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 1
⇔ -x2 + 1 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 2x = 0
⇔ 2x(x – 1) = 0
⇔
Vậy x = 1.
Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
⇔
⇔
⇔
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1
Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3
Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)
Ta xét
S = x2 + y2
= (m + 1)2 + (m – 3)2
= m2 + 2m + 1 + m2 − 6m + 9
= 2m2 – 4m + 10
= 2(m2 – 2m + 1) + 8
= 2(m – 1)2 + 8
Vì (m – 1)2 ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)2 + 8 ≥ 8
Hay S ≥ 8; ∀m.
Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Đề bài. Tìm x biết (x + 1)5 = 243.
Lời giải:
(x + 1)5 = 243
⇔ (x + 1)5 = 35
⇔ x + 1 = 3
⇔ x = 2
Vậy x = 2.
Lời giải:
⇔
⇔
⇔ .
Đề bài. Tìm x biết (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15.
Lời giải:
(x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15
x3 – 9x2 + 27x – 27 – (x3 + 3x2 + 9x – 3x2 – 9x – 27) + 9(x2 + 2x + 1) – 15 = 0
x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 – 15 = 0
45x – 6 = 0
x = .
Đề bài. Phân tích thành nhân tử: 12x2 – 72x + 60.
Lời giải:
12x2 – 72x + 60
= 12x2 – 12x – 60x + 60
= 12x(x – 1) – 60(x – 1)
= (x – 1)(12x – 60)
= 12(x – 1)(x – 5).
Đề bài. 2 ngày 16 giờ = … ngày.
Lời giải:
2 ngày 16 giờ = ngày.
Đề bài. Tính giá trị biểu thức: .
Lời giải:
.
Lời giải:
Ta có: 196 : a + a = X (1)
X : a + a = 26a
⇔ X : a = 25a
⇔ X = 25a.a = 25a2 (2)
Thay (2) vào (1) có:
196 : a + a = 25a2
⇔
⇔ 25a3 – 196 – a2 = 0
⇔ (a – 2)(25a2 + 49a + 98) = 0
⇔ a = 2 (vì phương trình 25a2 + 49a + 98 = 0 vô nghiệm)
Vậy a = 2.
Lời giải:
Ta có: y = x3 – 3mx2 – 9m2x
y’ = 3x2 – 6mx – 9m2
y’ = 3(x2 – 2mx – 3m2)
y’ = 3(x + m)(x – 3m)
TH1: m > 0 suy ra y’ < 0 ⇔ –m < x < 3m
Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra:
TH2: m < 0 suy ra y’ < 0 ⇔ 3m < x < –m
Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra:
TH3: m = 0 suy ra y’ = 3x2 ≥ 0; ∀ x ∈ (0; 1) nên hàm số đồng biến trên ℝ.
Vậy hoặc m < – 1.
Lời giải:
Xét phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
Ta có: ∆’ = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 > 0 với mọi m khác 2.
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 2.
Áp dụng Vi-ét:
Theo bài ra:
⇒
⇔
⇔ 4(m – 1)2 – 4(2m – 3) – 25 = 0
⇔ 4m2 – 16m – 9 = 0
⇔ (2m – 9)(2m + 1) = 0
⇔ .
Đề bài. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.
Q: “∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.
Lời giải:
Với n = 0, n + 1 = 1, khi đó 0 chia hết cho 1.
Suy ra mệnh đề Q là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là: : “∀n ∈ ℕ, n không chia hết cho n + 1”.
Đây là mệnh đề sai.
Đề bài. Tìm 3 giá trị của x biết .
Lời giải:
Hay
Nên 3 giá trị của x có thể là 0,21; 0,22; 0,23.
Đề bài. Tính giá trị biểu thức A =.
Lời giải:
.
Lời giải:
Ta có:
….
Suy ra:
Vậy .
Đề bài. Tính A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021.
Lời giải:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021
2A = 2 + 22 + 23 + … + 22022
Ta có: 2A – A = (2 + 22 + 23 + … + 22022) – (1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021)
A = 22022 – 1.
Đề bài. Chứng minh rằng: 109 + 108 + 107 chia hết cho 222 và chia hết cho 555.
Lời giải:
Ta có: 109 + 108 + 107
= 107(102 + 10 + 1)
= 107.111
= 27.57.111
= 26.57.222 ⋮ 222
Vậy 109 + 108 + 107 chia hết cho 222.
Lại có: 109 + 108 + 107
= 107(102 + 10 + 1)
= (2.5)7(102 + 10 + 1)
= 27.56.5.111
= 27.56.555 ⋮ 555
Vậy 109 + 108 + 107 chia hết cho 555.
Đề bài. Chứng minh rằng: 13n − 1 chia hết cho 12.
Lời giải:
Ta có: 13n − 1
= (13 – 1)(13n-1 + 13n-2 + … + 131 + 1)
= 12.(13n-1 + 13n-2 + … + 131 + 1) ⋮ 12
Vậy 13n − 1 chia hết cho 12.
Đề bài. Tìm 2 số hữu tỉ a và b, sao cho a + b = ab = a : b.
Lời giải:
a + b = ab
⇒ a = ab - b = b(a - 1)
Thay a = b - 1 vào a + b = a : b ta có:
a + b = a -1
⇔ a + b - a = -1
⇔ b = -1
Ta có:
ab = a + b
⇔ - 1 .a = a + - 1
⇔ - a = a - 1
⇔ -a - a = -1
⇔ -2a = -1
⇔
Vậy .
Đề bài. Chứng minh 1919 + 6919 chia hết cho 44.
Lời giải:
1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 - 1917.69 + … + 6918)
= 88.(1918 - 1917.69 + … + 6918)
= 2.44.(1918 - 1917.69 + … + 6918)
Mà 44 ⋮ 44 nên 2.44.(1918 - 1917.69 + … + 6918) ⋮ 44
Vậy 1919 + 6919 chia hết cho 44.
Đề bài. Chứng minh 22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024 chia hết cho 7.
Lời giải:
22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024
= 22020(1 + 2 + 22) + 7.(72022 + 72023)
= 22020.7 + 7.(72022 + 72023)
= 7(22020 + 72022 + 72023) ⋮ 7
Vậy 22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024 chia hết cho 7.
Đề bài. Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 chia hết cho 3n + 1.
Lời giải:
Ta có : 2n + 3 chia hết cho 3n + 1
⇒ 6n + 9 chia hết cho 3n + 1
⇒ 6n + 2 + 7 chia hết cho 3n + 1
⇒ 7 chia hết cho 3n + 1
⇒ 3n + 1 thuộc Ư(7) = {1;7}
Suy ra: n = 0; 2.
Đề bài. Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.
Lời giải:
Vì 3n + 4 = 3n + 7 – 3 = 3n – 3 + 7 = 3(n – 1) + 7
Do 3(n – 1) chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tích)
Nên để 3n + 4 chia hết cho n – 1 thì 7 phải chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tổng)
Hay (n – 1) thuộc Ư(7) = {1; 7}
Với n – 1 = 1 thì n = 2
Với n – 1 = 7 thì n = 8
Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 3n + 4 chia hết cho n – 1.
Đề bài. Tìm tất cả các số tự nhiên x biết 3x - 12 chia hết cho x – 2.
Lời giải:
Ta có:
3x – 12 = 3x – 6 – 6 = 3(x − 2) − 6
Mà [3(x − 2)] ⋮ (x − 2) nên 6 ⋮ (x − 2)
⇒ (x − 2) ∈ Ư(6)
Vì x ∈ ℕ nên x ≥ 0
⇒ x – 2 ≥ −2
⇒ (x − 2) ∈ {−2; −1; 1; 2; 3; 6}
⇒ x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}
Vậy để (3x − 12) ⋮ (x − 2) thì x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}.
Đề bài. Cho A = 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40. Hỏi A có chia hết cho 80 không? Vì sao?
Lời giải:
Để chứng minh A chia hết cho 80 ta chứng minh A chia hết cho 8 và 10.
Ta thấy: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 10 và 40 ⋮ 10
Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 10 hay A ⋮ 10
Lại có: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 8 và 40 ⋮ 8
Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 8 hay A ⋮ 8
Vậy A chia hết cho 80.
Đề bài. Cho góc và góc là hai góc kề bù. Biết góc bằng năm lần góc .
b) Gọi OD là tia phân giác của góc . Tính số đo góc .
Lời giải:
a) Vì góc và góc là hai góc kề bù nên:
mà
Do đó nên
Suy ra:
b) Vì OD là tia phân của góc BOC nên:
Vì góc và góc là hai góc kề bù nên:
Do đó
c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ một tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 - 1 = n + 3 tia còn lại thành n + 3 góc.
Có n + 4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần. Vậy có tất cả góc.
Đề bài. Điền chữ số vào dấu * để:
a) chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9.
Lời giải:
a) Để chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng * phải là 0 hoặc 5
Mà chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng * là 0
Khi đó ta có số
Để chia hết cho 9 thì * + 4 + 5 + 0 chia hết cho 9 hay * + 9 chia hết cho 9
Suy ra: * = 9
Vậy số cần tìm là 9450.
b) chia hết cho 5 thì * = 0 hoặc * = 5
Nếu * = 0 ta có số 210 ⋮ 3 (thỏa mãn)
Nếu * = 5 ta có số 215 ⋮̸ 3 (loại).
Vậy 210 chia hết cho cả 3 và 5.
Đề bài. Điền chữ số vào dấu * để:
Lời giải:
a) Để chia hết cho 3 thì (6 + * + 7) ⋮ 3 hay (13 + *) ⋮ 3
Suy ra: * = 2; 5; 8
Vậy số cần tìm là 627, 657, 687.
b) Để chia hết cho 9 thì (1 + * + 8) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9
Suy ra: * = 0; 9
Vậy số cần tìm là 108, 198.
Đề bài. Viết chữ số thích hợp vào ô trống để được: 1…8 chia hết cho 9.
Lời giải:
Để 1…8 chia hết cho 9 thì (1 + 8 + … ) chia hết cho 9 hay (9 + …) chia hết cho 9.
Vậy ta cần viết vào ô trống một trong các chữ số 0 hoặc 9.
Lời giải:
4 phần không tô đen nằm trong hình vuông ABCD ghép lại thành 1 hình tròn có bán kính 7cm.
Diện tích phần tô đen là:
14.14 – 3,14.72 = 42,14 (cm2).
Lời giải:
Gọi số tổ chia được nhiều nhất là a (a ∈ ℕ*)
Vì lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ chia thành các tổ để số nam và số nữ được chia đều
⇒ 24 chia hết cho a; 20 chia hết cho a
⇒ a ∈ ƯC(20, 24)
Vì số tổ chia thành nhiều nhất nên a = ƯCLN(20, 24)
Ta có: 20 = 22.5
24 = 23.3
⇒ ƯCLN(20, 24) = 22 = 4
Vậy số tổ chia được nhiều nhất là 4 tổ
Khi đó số nữ ở mỗi tổ là:
24 : 4 = 6 (học sinh)
Khi đó số nam ở mỗi tổ là:
20 : 4 = 5 (học sinh).
Lời giải:
Diện tích phòng học là:
15.7 = 105 (m2)
Diện tích viên gạch hình vuông là:
0,5 . 0,5 = 0,25 (m2)
Số viên gạch cần dùng là:
105 : 0,25 = 420 (viên)
Lời giải:
Diện tích nền căn phòng là: 27.15 = 405 (m2) = 4050000 cm2
Diện tích 1 viên gạch là: 30.30 = 900 (cm2)
Số viên gạch cần dùng là: 4050000 : 900 = 4500 (viên gạch)
Đáp số: 4500 viên gạch
Lời giải:
Hàm số xác định khi .
Đề bài. Cho . Tính sin2α, cos2α, tan2α, cot2α.
Lời giải:
Theo bài ra ta có:
⇔
⇔
⇔
⇔
Nên sin2α = 2sinαcosα
Lời giải:
.
Đề bài. Tính giá trị đúng của .
Lời giải:
Với 2 góc a và b thỏa mãn: cos a ≠ 0 và cos b ≠ 0 ta có
Áp dụng ta có: .
Đề bài. Phương trình tương đương với phương trình nào?
Lời giải:
Điều kiện xác định:
Ta có:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔.
Đề bài. Tìm tập xác định của hàm số y = tanx – cot2x.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
.
Vậy tập xác định .
Đề bài. Khai triển đẳng thức (a + b + c)2.
Lời giải:
(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
Đề bài. Khai triển đẳng thức (a + b + c)3.
Lời giải:
(a + b + c)3
= [(a + b) + c]3
= (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a).
Đề bài. Tìm 6 chữ số khác nhau a, b, c, d, e, g sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta thấy: a,b,c,d,e,g ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
có giá trị nhỏ nhất thì a – d = 1
(nhỏ nhất)
(lớn nhất)
Khi đó
Vậy b = 0, c = 1, e = 9, g = 8
a và b là một trong các cặp số sau: 3 và 2, 4 và 3, 5 và 4, 6 và 5, 7 và 6.
Lời giải:
(P) đi qua A(-1; 0) nên: 0 = a – b + c
⇔ c = b - a (1)
(P) đi qua đỉnh B(1; 2) nên:
2 = a + b + c
Vậy T = a + b + c = 2.
Đề bài. Viết công thức tổng quát nhân xác suất P(A.B.C) trong trường hợp A, B, C độc lập với nhau
Lời giải:
P(A.B.C) = P(A).P(B).P(C).
Đề bài. Tìm a và b biết C = chia hết cho 45.
Lời giải:
C chia hết cho 45 tức là C chia hết cho 5 và 9.
Để C chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5.
Với b = 0 ta có số
Để chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 0) chia hết cho 9 hay (8 + a) chia hết cho 9.
Suy ra: a = 1
Vậy ta có số 20140.
Với b = 5 ta có số
Để chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 5) chia hết cho 9 hay (11 + a) chia hết cho 9.
Suy ra: a = 7.
Vậy ta có số 20745.
Đề bài. Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + … + 100.
Lời giải:
A = 1 + 2 + 3 + … + 100
A = (1 + 100) + (2 + 99) + ….
Từ 1 đến 100 có 100 số. Như vậy, số cặp số là:
100: 2 = 50 (cặp)
Mỗi cặp số có tổng bằng:
1 + 100 = (2 + 99) = (3 + 98)... = 101
Kết quả của phép tính là:
101.50 = 5050
Đáp số: 5050.
Đề bài. Tính tổng dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99.
Lời giải:
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy là:
(99 – 1) : 1 + 1 = 99 (số hạng)
Tổng dãy số là:
(1 + 99).99 : 2 = 4950.
Lời giải:
Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm, có 5 cách chọn chữ số hàng chục và có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy có tất cả: 5.5.5 = 125 (số)
Lời giải:
Xét
Mà
Nên .
Lời giải:
Chọn A.
Ta có: y’ = x2 – 2x + m – 1
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung khi y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều dương
⇔ Δ ' = 1 − m + 1 > 0
S = 2 > 0
P = m − 1 > 0
(trong đó S là tổng 2 nghiệm và P là tích 2 nghiệm của phương trình)
⇔ 2 > m > 1.
Đề bài. Cho A = 1 + 2 + 22 + … + 250. Hãy chứng tỏ A + 1 là một lũy thừa của 2.
Lời giải:
A = 1 + 2 + 22 + … + 250
2A = 2 + 22 + … + 251
2A – A = (2 + 22 + … + 251) – (1 + 2 + 22 + … + 250)
A = 251 – 1
Suy ra: A + 1 = 251 (đpcm)
Vậy A + 1 là một lũy thừa của 2.
Đề bài. Tính giá trị biểu thức A = 1 + 2 + 3 + … + 2011.
Lời giải:
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy số A là:
(2011 – 1) : 1 + 1 = 2011
Giá trị của dãy số A là:
(1 + 2011) . 2011 : 2 = 2023066.
Đề bài. Tính nhanh 1 + 2 + 3 + … + 59 + 60.
Lời giải:
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy số A là:
(60 – 1) : 1 + 1 = 60
Giá trị của dãy số A là:
(1 + 60) . 60 : 2 = 1830.
a) Hỏi căn phòng được lát cần bao nhiêu viên gạch đó.
b) Biết rằng để lát 1m2 gạch men hết 75000 đồng. Vậy để lát hết căn phòng đó thì hết bao nhiêu tiền?
Lời giải:
a) Chiều rộng căn phòng là:
Diện tích căn phòng là:
8.6 = 48 (m2) = 4800 dm2
Diện tích mỗi viên gạch là:
4.4 = 16 (dm2)
Cần số viên gạch là:
4800 : 16 = 300 (viên)
b) Lát hết căn phòng đó cần số tiền là:
75000 . 48 = 3600000 (đồng).
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên.
Lời giải:
Từ hệ ta có:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Với mọi m thì hệ luôn có nghiệm
Để x, y là số nguyên thì 2x – y = cũng là số nguyên
Do m2 + 2 ≥ 2 nên nguyên khi m2 + 2 = 3 hoặc m2 + 2 = 9.
Suy ra: m2 = 1 hoặc m2 = 7 (loại vì m là số nguyên)
Nếu m2 = 1 thì m = 1 hoặc m = -1
+) Với m = 1 thì (loại)
+) Với m = -1 thì x = 1; y = -1 (thỏa mãn)
Vậy m = -1.
Đề bài. Tìm x biết (2x – 3)2 = 9.
Lời giải:
(2x – 3)2 = 9
⇔
⇔
Vậy x = 0 hoặc x = 3.
Đề bài. Rút gọn (3x + 2)(3x – 2).
Lời giải:
(3x + 2)(3x – 2)
= (3x)2 – 22
= 9x2 – 4.
Đề bài. Tìm x biết (3x – 24).73 = 2.74.
Lời giải:
(3x – 24).73 = 2.74
⇔ (3x – 16).343 = 4802
⇔ 3x – 16 = 14
⇔ 3x = 30
⇔ x = 10.
Vậy x = 10.
Đề bài. Cho hình vuông ABCD. Tính giá trị .
Lời giải:
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
Mà AC và DB vuông góc với nhau do ABCD là hình vuông nên
Vậy .
Lời giải:
Lời giải:
.
Đề bài. Tìm x biết (x + 7)(2x – 6) = 0.
Lời giải:
(x + 7)(2x – 6) = 0
⇔
⇔
Vậy x = -7 hoặc x = 3.
Đề bài. Cho 2 số x,y thỏa mãn đẳng thức . Tính x + y.
Lời giải:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Ta thấy (*) vô nghiệm do
Nên:
Vậy x + y = 0.
Lời giải:
⇔
⇔
⇔
⇔ (*)
Vì x2 + y2 – xy
Nên bất đẳng thức (*) luôn đúng
Vậy
Dấu “=” khi x = y.
Đề bài. Tìm x biết x2 – 4 + (x – 2)(3 – 2x) = 0.
Lời giải:
(x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
⇔ (x – 2)[(x + 2) + (3 – 2x)] = 0
⇔ (x – 2)(5 – x) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
+ 5 – x = 0 ⇔ x = 5.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 5}.
Đề bài. Khai triển biểu thức (–x – 3y)3 ta được?
Lời giải:
(–x – 3y)3 = [–(x + 3y)]3 = –x3 – 9x2y – 27xy2 – 27y3.
Đề bài. Rút gọn biểu thức (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z).
Lời giải:
(x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (z – y)2
= (x – y + z + y – z)2
= x2.
Đề bài. Cho hàm số y= f(x). Đồ thị hàm số y= f’(x) như hình dưới và f(-2) = f( 2) = 0.
Hàm số g( x) = [f(3 - x)]2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Lời giải:
Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
Suy ra: f(x) ≤ 0 với mọi x
Ta có: g’(x) = -2f’(3 – x).f(3 – x)
Xét g’(x) < 0 thì f’(3 – x).f(3 – x) > 0
⇔
Suy ra hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng (2; 5) và (-∞; 1).
Lời giải:
7km 5hm = 7500m
Nửa chu vi khu rừng là:
7500 : 2 = 3750 (m)
Chiều rộng khu rừng là:
3750 : (2 + 3) . 2 = 1500 (m)
Chiều dài khu rừng là:
3750 : (2 + 3) . 3 = 2250 (m)
Diện tích khu rừng là:
1500.2250 = 3375000 (m2) = 337,5ha
Vậy diện tích khu rừng là 3375000m2 = 337,5ha.