Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 105)

Câu 1: Thực hiện phép tính: $A=(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+\frac{1}{14.19}+..\mathrm{.}+\frac{1}{44.49})\mathrm{.}\frac{1-3-5-7-..\mathrm{.}-49}{89}$

Phương pháp giải: 

Phân tích $\frac{1}{n(n+5)}$​ thành $\frac{1}{5} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+5} \right)$ rồi tính tổng còn lại $\frac{1}{5} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{99} \right)$.

Tổng $-1-3-5-\cdots -49=-625$.

Thay vào biểu thức: $\left( \frac{1}{5} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{99} \right) \right) \cdot \frac{-625}{89}$ và tính kết quả.

Lời giải:

Đặt $A=({\displaystyle \frac{1}{4.9}}+{\displaystyle \frac{1}{9.14}}+{\displaystyle \frac{1}{14.19}}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+{\displaystyle \frac{1}{44.49}})\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}$​

$={\displaystyle \frac{1}{5}}({\displaystyle \frac{5}{4.9}}+{\displaystyle \frac{5}{9.14}}+{\displaystyle \frac{5}{14.19}}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+{\displaystyle \frac{5}{44.49}})\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}$​

$={\displaystyle \frac{1}{5}}({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{14}}+{\displaystyle \frac{1}{14}}-{\displaystyle \frac{1}{19}}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+{\displaystyle \frac{1}{44}}-{\displaystyle \frac{1}{49}})\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}$​)​

$={\displaystyle \frac{1}{5}}({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{49}})\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}$​

$={\displaystyle \frac{9}{196}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}$​

Đặt $B=1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}-49$

$=1-(3+5+7+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+49)$

$=1-\{(49+3)\mathrm{.}[(49-3):2+1]:2\}$

$=1-624$

$=-623$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{9}{196}}\mathrm{.}\left({\displaystyle \frac{-623}{89}}\right)=-{\displaystyle \frac{9}{28}}$​

Vậy: $({\displaystyle \frac{1}{4.9}}+{\displaystyle \frac{1}{9.14}}+{\displaystyle \frac{1}{14.19}}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+{\displaystyle \frac{1}{44.49}})\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1-3-5-7-\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}-49}{89}}=-{\displaystyle \frac{9}{28}}$​

Câu 2: Chứng minh rằng: A = ${2012}^{4n} + {2013}^{4n} + {2014}^{4n} + {2015}^{4n}$ không là số chính phương với mọi n thuộc N*

Phương pháp giải: 

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ 0, 1, 4, 9, 16, ...).

Tính chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong biểu thức $A = 2012^{4n} + 2013^{4n} + 2014^{4n} + 2015^{4n}$.

Tìm chữ số tận cùng của tổng $A$ dựa trên các chữ số tận cùng đã tính.

Lời giải:

2012⁴ⁿ luôn có chữ số tận cùng là 6, $2013^{4n}$ luôn có chữ số tận cùng là 1, $2014^{4n}$ luôn có chữ số tận cùng là 6, $2015^{4n}$ luôn có chữ số tận cùng là 5.

$\Rightarrow A=2012^{4n}+2013^{4n}+2014^{4n}+2015^{4n}$ luôn có chữ số tận cùng là 8.

Mà số chính phương không bao giờ có chữ số tận cùng là 8

$\Rightarrow$A không phải là số chính pơng.

Câu 3: Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau?

Phương pháp giải: 

Quy đồng phân số về dạng cùng mẫu số. 

Phân tích đa thức thành nhân tử và kết luận.

Lời giải:

$\iff a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+bc(c-b)=0$

$\iff a^2(c-b)-a(c-b)(c+b)+bc(c-b)=0$

$\iff (c-b)(a^2-ac-ab+bc)=0$

$\iff (c-b)(a(a-c)-b(a-c))=0$

$\iff (c-b)(a-c)(a-b)=0$

=> a = b hoặc b = c hoặc a = c  (dpcm)

Phương pháp giải: 

Phần a: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản và phân tích biểu thức.

Đầu tiên, áp dụng bất đẳng thức $(a - b)^2 \geq 0$ để suy ra $a^2 + b^2 \geq 2ab$.

Sau đó, thêm điều kiện để suy ra các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $M = a^3 + b^3 - (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$.

Cuối cùng, xác định $M_{\text{min}} = \frac{1}{4}$​ khi $a = b = \frac{1}{2}$​.

Phần b: Sử dụng cách biểu diễn $a^3 + b^3$ để đưa ra kết luận.

Phân tích biểu thức $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq 0$ và tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cho các biểu thức liên quan.

Kết luận dựa trên bất đẳng thức, và cuối cùng là rút ra kết quả mong muốn.

Lời giải:

a. Với mọi a;b ta có: ${(a-b)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\Rightarrow 2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)\ge {(a+b)}^2\Rightarrow a^2+b^2\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}{(a+b)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$​

$M=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2-ab$

$M={\displaystyle \frac{3}{2}}(a^2+b^2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(a+b)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}(a^2+b^2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$​

$M_{min}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ khi $a=b={\displaystyle \frac{1}{2}}$​

b.

Do $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2>0$

Mà $a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0$

Mặt khác với mọi a;b ta có:

${(a-b)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge 4ab$

$\Rightarrow {(a+b)}^2\ge 4ab\Rightarrow ab\le {\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2$$\Rightarrow -ab\ge -{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2$

Từ đó:

$2=a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)\ge {(a+b)}^3-3.{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2(a+b)={\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^3$

$\Rightarrow {(a+b)}^3\le 8\Rightarrow a+b\le 2$

$N_{max}=2$ khi $a=b=1$.

Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy bé 5,2 cm, đáy lớn gấp đôi đáy bé, chiều cao 7cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

a) Tính diện tích hinh thang ABCD.                                                               

b) So sánh diện tích hai tam giác AOD và BOC.                                           

c) So sánh OA và OC.

Phương pháp giải: 

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: $S_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\times h}{2}$

Thay giá trị của $AB$, $CD$, và $h$ vào để tính diện tích.

b) Kẻ AH vuông góc với DC; BK vuông góc với DC và chứng minh thông qua trung gian.

c) Theo cách làm câu b sẽ tìm so sánh được OA và OC

Lời giải:

a: Độ dài đáy lớn là 5,2*2=10,4(cm)

Diện tích hình thang ABCD là: $S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 7(5,2+10,4)$

$=3,5\cdot 15,6=54,6\left(c{m}^2\right)$

b: Kẻ AH$\perp$DC; BK$\perp$DC

=> AH//BK

Xét tứ giác ABKH có:

AB // KH

AH // BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=> AH = BK(1)

Vì ΔADC có AH là đường cao

nên $S_{ADC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AH\cdot DC\left(2\right)$

Vì ΔBDC có BK là đường cao

nên $S_{BDC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot BK\cdot DC\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) suy ra $S_{ADC}=S_{BDC}$

Vì AB // CD

nên ${\displaystyle \frac{OA}{OC}}={\displaystyle \frac{OB}{OD}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$​

OA/OC=1/2 nên ${\displaystyle \frac{AO}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$​

=>$S_{AOD}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S_{ADC}\left(5\right)$

Vì OB/OD = 1/2 nên ${\displaystyle \frac{BO}{BD}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$​

=> $S_{BOC}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S_{BDC}\left(6\right)$

Từ (4), (5), (6) suy ra $S_{AOD}=S_{BOC}$

c) Vì $OA={\displaystyle \frac{1}{2}}OC$

nên OA < OC

Câu 6: Khi nào dùng suy ra và khi nào dùng tương đương?

Phương pháp giải: 

Nêu lí do khi nào có thể dùng tương đương hoặc suy ra.

Lời giải:

+ Dấu tương đương được dùng trong khi mình suy ra được và suy ngược lại được. Hay nói cách khác là tương đương với nhau. 

+ Dấu suy ra được dùng khi một mệnh đề hoặc kết quả có thể được rút ra từ một mệnh đề hoặc kết quả khác, nhưng không đảm bảo rằng điều ngược lại là đúng

Mở rộng: 

Dùng "suy ra" khi chỉ muốn kết luận một chiều và không đảm bảo rằng kết luận ngược lại cũng đúng.

Dùng "tương đương" khi hai mệnh đề hoặc kết quả liên hệ chặt chẽ, đảm bảo rằng cả hai đều có thể rút ra từ nhau.

Câu 7: a. Giải hệ phương trình:

Phương pháp giải: 

a) Tính x theo y, thay vào phương trình dưới tìm y. Sau đó tìm x.

b) Quy đồng đưa về cùng mẫu và tối giản biểu thức đó.

Lời giải:

a) Ta có: $\{\begin{array}{c}2x+y=5\\ 3x-2y=11\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}6x+3y=15\\ 6x-4y=22\end{array}\iff \{\begin{array}{c}7y=-7\\ 2x+y=5\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}y=-1\\ 2x=5-y=5-(-1)=6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=-1\end{array}$​

b) Ta có: $B=({\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}}+{\displaystyle \frac{5\sqrt{x}+2}{4-x}}):{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+2}}$​

$={\displaystyle \frac{x+3\sqrt{x}+2+2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}}:{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+2}}$​

$={\displaystyle \frac{x-2\sqrt{x}+2x-4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{x}+2}{1}}$​

$={\displaystyle \frac{3x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}}$​​

$=3\sqrt{x}$

Phương pháp chung:

Phương pháp giải hệ phương trình:

Phương pháp 1: Phương pháp thế.

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Bước 4: Kết luận.

Phương pháp 2: Phương cộng đại số.

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó( ẩn x hay y) trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới

Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Bước 5: Kết luận

Phương pháp 3: Phương đặt ẩn phụ.

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình.

Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới.

Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ.

Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y.

Bước 5: Kết luận.

Phương pháp rút gọn biểu thức:

Bước 1: Vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết làm xuất hiện căn thức cùng loại;

+ Đưa thừa số A² ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$ với B ≥ 0;

+ Đưa thừa số vào tròn dấu căn: ;

+ Khử căn ở mẫu: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^2}}=\frac{1}{\left|B\right|}\sqrt{A.B}$ với B ≠ 0, AB ≥ 0;

+ Trục căn thức ở mẫu: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$; $\frac{m}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{m\left(\sqrt{A}\pm \sqrt{B}\right)}{A-B}$.

Bước 2: Cộng, trừ, các căc thức bậc hai cùng loại.

Câu 8: Tính $\frac{42}{46}+\frac{250}{186}+(-\frac{2121}{2323})+(-\frac{125125}{143143})$

Phương pháp giải: 

- Bước 1: Đưa các phân số về dạng tối giản. Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1.

- Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng, trừ và các tính chất để tính

● Quy tắc cộng, trừ: Đưa các số hữu tỉ về cùng mẫu (quy đồng, rút gọn,…) rồi cộng, trừ tử số, giữ nguyên mẫu số.

● Tính chất:

Tính chất giao hoán: x + y = y + x

Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)

Tính chất cộng với 0: x + 0 = 0 + x = x

- Bước 3: Rút gọn kết quả (nếu có thể)

Lời giải: