Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 10)

Câu 1: Cho A = (0,2) và B = (1,4), tìm C_R(A ∪ B) và C_R(A ∩ B).

Lời giải:

A ∩ B = (1; 2)  ⇒ C_R(A ∩ B) = (–∞; 1] ∪ [2; +∞) 

A ∪ B = (0; 4) ⇒ C_R(A ∪ B) = (–∞; 0] ∪ [4; +∞)

Câu 2: Tìm A∩B, A∪B, A\B, B\A, C_RA, C_RB, C_R(A∩B), C_R(A∪B), C_RA∩C_RB, C_RA∪C_RB trong trường hợp sau đây: A = [–8; 1] ∪ [4; 7] và B = (–∞; 2)

Lời giải:

A∩B = [–8; 1] ; A∪B = (–∞; 2) ∪ [4; 7]; A\B = [4; 7]; B\A = (–∞; –8) ∪ (1; 2)

C_RA = (–∞; –8) ∪ (1; 4) ∪ (7; +∞); C_RB = [2; +∞)

C_R(A∩B) = (–∞; –8) ∪ (1; +∞); C_R(A∪B) = [2; 4) ∪ (7; +∞)

C_RA∩C_RB = [2; 4) ; C_RA∪C_RB =  (–∞; –8) ∪ (1; +∞)

Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² – 4xy + 4y² – 25

b) x³ – 4x² – xy² + 4x

c) 11x + 11y + x² + xy

d) 225 – 4x² – 4xy – y²

Lời giải:

a)

x² – 4xy + 4y² – 25

= (x² – 4xy + 4y²) – 25

= (x – 2y)² – 5²

= (x – 2y – 5)(x – 2y + 5)

b)

x³ – 4x² – xy² + 4x

= x(x² – 4x – y² + 4)

= x[(x² – 4x + 4) – y²]

= x[(x – 2)² – y²)]

= x(x – 2 – y)(x – 2 + y)

c)

11x + 11y + x² + xy

= (11x + 11y) + (x² + xy)

= 11(x + y) + x(x + y)

= (11 + x)(x + y)

d)

225 – 4x² – 4xy – y²

= 225 – (4x² + 4xy + y²)

= 15² – (2x + y)²

= (15 – 2x – y)(15 + 2x + y)

Câu 4: Giải phương trình: sin³x + cos³x = 0

Lời giải:

sin³x + cos³x = 0

⇔ (sinx + cosx)(sin²x + cos²x – sinxcosx) = 0

Câu 5: Cho sinx + cosx = $\frac{1}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = sin³x + cos³x

Lời giải:

Ta có:

sinx + cosx =  $\frac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(\sin x+\cos x\right)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}\\ \Rightarrow 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{-3}{8}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=\left(\sin x+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)\\ =\frac{1}{2}.\left(1-\frac{-3}{8}\right)=\frac{11}{16}\end{array}$

Câu 6: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{3n+1}$  với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2$ .

A. 210                  

B. 252                   

C. 120                   

D. 45

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: n≥ 2

Ta có:

$\begin{array}{l}3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2\\ \iff 3.\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!.2!}+2n=4.\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\\ \iff \frac{3}{2}n\left(n+1\right)+2n=4n\left(n-1\right)\\ \iff 3\left(n+1\right)+4=8\left(n-1\right)\\ \iff 3n+3+4=8n-8\\ \iff 5n=15\iff n=3\end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(\frac{1}{x}\right)}^{10-k}.{\left(x^3\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.\frac{x^{3k}}{x^{10-k}}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{4k-10} \end{gathered}$$

Hệ số của số hạng chứa x⁶ ứng với 4k – 10 = 6 ⇒ k = 4

Hệ số cần tìm là: $C_{10}^4=210$

Câu 7: Phân tích đa thức ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a) thành nhân tử, ta được

A. (a + b)(a – c)(b – c)

B. (a + b)(a – c)(b + c)

C. (a – b)(a – c)(b – c)

D. (a + b)(c – a)(b + c)

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có b + c = (a + b) + (c – a) nên

A = ab(a + b) – bc[(a + b) + (c – a)] – ac(c – a)

= ab(a + b) – bc(a + b) – bc(c – a) – ac(c – a)

= b(a + b)(a – c) – c(c – a)(b + a)

= (a + b)(a – c)(b + c)

Câu 8: Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}$  và $B=\left(\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-6}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$  với x > 0, x ≠ 9.

1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.

2. Rút gọn biểu thức B.

3. Tìm x để P = A.B là số nguyên tố.

Lời giải:

1)

Thay x = 16 vào $A=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}$  ta có: $A=\frac{\sqrt{16}+2}{1+\sqrt{16}}=\frac{6}{5}$

2)

Với x > 0, x ≠ 9 ta có:

$\begin{array}{l}B=\left(\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-6}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\left(\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\left(\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\end{array}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$

3)

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+4}{1+\sqrt{x}}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}$

Do đó, 1 < P ≤ 3, nên để P là số nguyên tố thì P = 2 hoặc P = 3

$$\begin{gathered} P=3\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}=2\Rightarrow \sqrt{x}+1=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P=2\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}=1\Rightarrow \sqrt{x}+1=3 \\ \Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4 \end{gathered}$$

Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có vô số nghiệm:

(I) $\left\{\begin{array}{l}x-my=m\left(1\right)\\ mx-9y=m+6\left(2\right)\end{array}\right.$

Lời giải:

+) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} \frac{1}{m}=\frac{m}{9}\ne \frac{m}{m+6}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}=\frac{m}{9}\\ \frac{m}{9}\ne \frac{m}{m+6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}\right.\\ m^2+6m\ne 9m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}\right.\\ m\ne 0\\ m\ne 3\end{array}\right.\Rightarrow m=-3 \end{gathered}$$

+) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} \frac{1}{m}=\frac{m}{9}=\frac{m}{m+6}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}=\frac{m}{9}\\ \frac{m}{9}=\frac{m}{m+6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}\right.\\ m^2+6m=9m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=3\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow m=3 \end{gathered}$$

Câu 10: Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}2x+my=m+2\\ (m+1)x+2my=2m+4\end{array}\right.$

A. m ∈ {3; 0; –2}

B. m = 3

C. m = 0

D. m = –2

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với m = 0, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x=2\\ x=4\end{array}\right.$  vô nghiệm. Do đó, m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài 

Với m ≠ 0 ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2x+my=m+2\\ (m+1)x+2my=2m+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+2-2x}{m}\\ \left(m+1\right)x+2m.\frac{m+2-2x}{m}=2m+4\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+2-2x}{m}\\ \left(m+1\right)x+2\left(m+2-2x\right)=2m+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+2-2x}{m}\\ mx+x+2m+4-4x=2m+4\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+2-2x}{m}\\ (m-3)x=0\end{array}\right.\end{array}$

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi m – 3 = 0 ⇔ m = 3 (TM)

Câu 11: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b^2+1}=a-\frac{a{b}^2}{b^2+1}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2} \\ \frac{b}{c^2+1}=b-\frac{b{c}^2}{c^2+1}\ge b-\frac{b{c}^2}{2c}=b-\frac{cb}{2} \\ \frac{c}{a^2+1}=c-\frac{c{a}^2}{a^2+1}\ge c-\frac{c{a}^2}{2a}=c-\frac{ac}{2} \end{gathered}$$

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

$\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\left(\frac{ab+bc+ac}{2}\right)$

Ta có: $ab+bc+ac\le \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{3}=\frac{9}{3}=3$

$\Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Câu 12: Nghiệm của phương trình $\sin x.\cos x=\frac{1}{2}$  là ?

Lời giải:

$\begin{array}{l}\sin x.\cos x=\frac{1}{2}\\ \iff \frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin 2x=1\\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Câu 13: Giải phương trình lượng giác: 2cos²(2x) – 3cos2x + 1 = 0.

Lời giải:

2cos²(2x) – 3cos2x + 1 = 0

⇔ (cos2x – 1)(2cos2x – 1) = 0

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}cos2x-1=0\\ 2\cos 2x-1=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\cos 2x=1\\ \cos 2x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})\end{array} \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

Câu 14: Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọ bất kỳ hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{17}^2=136$

Số cách chọn được một cặp bút và vở là: $n\left(A\right)=C_8^1.C_9^1=72$

Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{72}{136}=\frac{9}{17}$

Câu 15: Tính $2^n+2^{n+3}=72$

Lời giải:

$\begin{array}{l}{2}^n+2^{n+3}=72\\ \iff 2^n+{8.2}^n=72\\ \iff {9.2}^n=72\\ \iff 2^n=8\\ \iff n=3\end{array}$

Câu 16: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b. G là trọng tâm. Chứng minh:GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Lời giải:

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ \Rightarrow A{G}^2=\frac{1}{9}\left(A{B}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+A{C}^2\right)=\frac{1}{9}\left(b^2+2bc.\cos A+c^2\right)\\ =\frac{1}{9}\left(b^2+2bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+c^2\right)=\frac{1}{9}\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\end{array}$

Tương tự, ta có:

$G{B}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right);G{C}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)$

Do đó,  GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Câu 17: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x³ + ax² + 2x + b chia hết cho đa thức x² + x + 1.

Lời giải:

Thấy rằng bậc của x(2 – a) + (b – a + 1) nhỏ hơn bậc của x²  + x + 1 nên nó là số dư của x³ + ax² + 2x + b chia cho x² + x + 1

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu để bài thì: x(2 – a) + (b – a + 1) = 0

Hay a = 2; b = 1

Vây (a; b) = (2; 1)

Câu 18: Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ . Chứng minh $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

⇔ (ab + bc + ca)(a + b + c) = abc

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) + c²(a + b) = 0

⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0

Suy ra:

Trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a=–b

Thay vào ta dễ thấy: $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
1. (SBM) và (SCD).

2. (ABM) và (SCD).

3. (ABM) và (SAC).

4. (ABM) và (SAD).

Lời giải:

1)

(SBM) ∩ (SCD) = SM (M ∈ (SCD))

2)

(ABM) và (SCD)

Ta có: AB ∩ CD tại I

⇒ (ABM) ∩ (SCD) = MI

3)

(ABM) và (SAC)

Gọi J = IM ∩ SC

Do đó, J ∈ (SAC)

Và J ∈ (ABM)

Do đó, (ABM) ∩ (SAC) = AJ

4)

JM ∩ SD tại K

K ∈ JM ⇒ K thuộc (ABM)

K ∈ SD ⇒ K thuộc (SAD)

Do đó, (ABM) ∩ (SAD) = AK

Câu 20: Tìm x, y biết $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$ . Tính x + y = ?

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff \left(x^2+1-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\end{array}$

Tương tự, nhân cả hai vế với $\sqrt{y^2+1}-y$ , ta có:

$x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$ (2)

Trừ (1) cho (2) ta có: 2y = –2x

⇒ y = –x ⇒ x + y = 0

Câu 21:  Cho 2 số thực x, y thỏa mãn $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ – 15xy + 6x² + 5y² + 2017

Lời giải:

 $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$

Với x = 0 thì y = 0

Với x, y ≠0:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff \left(x^2+1-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\end{array}$

Tương tự ta cũng có: $x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$

Suy ra: x + y  = –(x + y) ⇔ x + y = 0

M = 10x⁴ + 8y⁴ – 15xy + 6x² + 5y² + 2017

= 18x⁴ + 26x² + 2017 ≥ 2017

Dấu “=” tại x = 0 thì y = 0.

Câu 22: Cho đa giác n đỉnh (n ≥ 6), hỏi có bao nhiêu tứ giác có hai cạnh là 2 cạnh đa giác, 2 cạnh là 2 đường chéo đa giác.

Lời giải:

Số tứ giác có hai cạnh là 2 cạnh đa giác, 2 cạnh là 2 đường chéo đa giác là: $n.C_{n-5}^2$

Câu 23: Trong ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)² – c² = 3ab

⇔ a² + b² + 2ab – c² = 3ab

Mà a² + b² – 2ab.cosC = c²

Nên 2ab.cosC = ab ⇒ cos C = $\frac{1}{2}$  ⇒ $\widehat{C}=60°$

Câu 24: Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=\frac{x+4}{x+m}$  đồng biến trên khoảng (–∞; –7) là:

A. [4; 7)                

B. (4; 7)                

C. (4; 7]                

D. (4; +∞)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = ℝ\{–m}

Ta có:   $y\text{'}=\frac{m-4}{{\left(x+m\right)}^2}$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (–∞; –7) ⇔y’ > 0 với mọi x ∈ (–∞; –7)

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-4>0\\ -m\notin \left(-\infty ;-7\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>4\\ -m\ge -7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>4\\ m\le 7\end{array}\right.\iff 4<m\le 7$

Câu 25: Cho hai hàm số y = x² và y = mx + 4, với m là tham số

a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A₁(x₁; y₁) và A₂(x_2­; y₂). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho y₁² + y₂² = 72.

Lời giải:

y = x²

y = mx + 4

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

x² = mx + 4

⇔ x² – mx – 4 = 0

a)

Với m = 3 thì ta có:

x² – 3x – 4 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\end{array}\right.$

b)

y₁² + y₂² = 72

⇔ x₁² + x₂² = 72

⇔ (x₁² + x₂²)² – 2x₁².x₂² = 72

⇔ [(x₁² + x₂²)² – 2x₁.x₂]² – 2x₁²x₂² = 72

⇔ [m² – 2.(–4)]² – 2.(–4)² = 72

⇔ (m² + 8)² = 104

⇔ m² + 8 = $2\sqrt{26}$

⇔ m² = $2\sqrt{26}$  – 8

⇔ m = $\sqrt{2\sqrt{26}-8}$

Câu 26: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, cách giải chi tiết, giải thích vì sao lại như thế ?

Lời giải:

Đồ thị y = 2x

Cho:  

x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ O(0; 0)

x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ A(1; 2)

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua điểm O và A có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Câu 27: Cho hàm số: y = 2, y = |x + 1|, y = 2mx + m + 1. 

a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2, y = |x + 1| trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2mx + m + 1 đi qua giao điểm của hai đồ thị y = 2 và y = |x + 1|.

Lời giải:

a)

Đồ thị hàm số y = 2 song song với trục Ox, đi qua điểm (0; 2)

Đồ thị hàm số y = |x + 1| đi qua điểm (0; 1) và (–1; 0) và (1; 2)

Hình vẽ như sau:

b)

Giao điểm của hai đồ thị y = 2 và y = |x + 1| là  hai điểm (–4; 3) và (2; 3)

Để đồ thị hàm số y = 2mx + m + 1 đi qua (–4; 3) thì: 3 = 2m.(–4) + m + 1 ⇔ $m=\frac{-2}{7}$

Để đồ thị hàm số y = 2mx + m + 1 đi qua (2; 3) thì: 3 = 2m.2 + m + 1 ⇔ $m=\frac{2}{5}$

Câu 28: Giải phương trình lượng giác: cos³x + sin³x = cos2x.

Lời giải:

cos³x + sin³x = cos2x

⇔ (cosx + sinx)(cos²x – sinxcosx + sin²x) = cos²x – sin²x

⇔ (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) = (cosx + sinx)(cosx – sinx)

⇔ (cosx + sinx)(1 – sinxcosx – cosx + sinx) = 0

⇔ (cosx + sinx)(1 + sinx)(1 – cosx) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=-\cos x\\ \sin x=-1\\ \cos x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \sin x=-1\\ \cos x=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Câu 29: Một chiếc cổng hình parabol dạng $y=\frac{-x^2}{2}$  có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (h.25).

Lời giải:

Ta có: A(4; –h) mà A ∈ parabol

$y=-\frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow h=\left|-\frac{1}{2}{.4}^2\right|\Rightarrow h=8$.

Câu 30: Nghiệm của phương trình: sin⁴x – cos⁴x = 0 là:

Lời giải:

Đáp án đúng là:A

sin⁴x – cos⁴x = 0

$\begin{array}{l}\iff \left({\sin }^{2}x-co{s}^{2}x\right)\left({\sin }^{2}x+co{s}^{2}x\right)=0\\ \iff {\sin }^{2}x-co{s}^{2}x=0\\ \iff cos2x=0\\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

 

Câu 31: Tìm điều kiện để biểu thức xác định: $\sqrt{x^2+2x+3}$ .

Lời giải:

Ta có:

$x^2+2x+3=x^2+2x+1+2={\left(x+1\right)}^2+2\ge 0$ với mọi số thực x

Do đó,  $\sqrt{x^2+2x+3}$ xác định với mọi số thực x.

Câu 32: Chứng minh: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$ .

Lời giải:

Xét trong tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

$\alpha =\widehat{B}$

 

$\tan \alpha =\frac{AC}{AB};\sin \alpha =\frac{AC}{BC};cos\alpha =\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{AC}{AB}=\tan \alpha$ (đcpcm).

Câu 33: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx.

Lời giải:

y = sinx + cosx ⇒y’ = cosx – sinx

y’ = 0 ⇔cosx – sinx = 0 ⇔ cosx = sinx

Mà sin²x + cos²x = 1 $\Rightarrow {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$

Với

$\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}};\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y=\sqrt{2}\\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}};\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y=-\sqrt{2}\end{array}$

Vậy GTLN của y là: $y=\sqrt{2}$  và GTNN của y là: $y=-\sqrt{2}$ .

Câu 34: Tính giá trị biểu thức: B = x³ – 9x² + 27x – 27 với x = 5.

Lời giải:

B = x³ – 9x² + 27x – 27 = x³ – 3.3x² + 3.3².x – 3³ = (x – 3)³

Thay x = 5 vào B ta được:

B = (5 – 3)³ = 2³ = 8

Vậy B = 8 khi x = 5

Câu 35: Kết quả của phép tính: $\frac{25x^2}{17y^4}.\frac{34y^5}{15x^3}$ .

Lời giải:

$\frac{25x^2}{17y^4}.\frac{34y^5}{15x^3}=\frac{25x^2.34y^5}{17y^4.15x^3}=\frac{5.2y}{3x}=\frac{10y}{3x}$

 

Câu 36: 12 người làm xong một công việc trong 4 ngày. Hỏi 16 người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày ? (Biết rằng mức làm của mỗi người như nhau)

Lời giải:

1 người làm xong công việc hết số ngày là:

4.12 = 48 (ngày)

16 người làm xong công việc hết số ngày là:

48 : 16 = 3 (ngày)

Câu 37: Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8.

Lời giải:

9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

⇔6sinxcosx – 6cosx 0 2sin²x – 9sinx + 7 = 0

⇔ 6cosx(sinx – 1) + (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

⇔ (sinx – 1)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=1\\ 6\cos x+2\sin x-7=0(6\cos x+2\sin x-7>0\forall \sin x\ne 1)\end{array}\right.\\ \iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Câu 38: Chứng minh rằng số có dạng n⁶ – n⁴ + 2n³ + 2n² trong đó n ∈ ℕ và n > 1 không phải là số chính phương.

Lời giải:

n⁶ – n⁴ + 2n³ + 2n²

= n².(n⁴ – n² + 2n + 2)

= n².[n²(n – 1)(n + 1) + 2(n + 1)]

= n²[(n + 1)(n³ – n² + 2)]

= n²(n + 1)[(n³ + 1) – (n² – 1)]

= n².(n + 1)².(n² – 2n + 2)

Với n ∈ ℕ và n > 1 thì n² – 2n + 2 = (n – 1)² + 1 > (n – 1)²

Và n² – 2n + 2 = n² – 2(n – 1) < n²

Vậy (n – 1)² < n² – 2n + 2 < n² ⇒ n² – 2n + 2 không phải là số chính phương

Câu 39: Chứng minh:

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

Lời giải:

a)

Giả sử x thuộc A, x thuộc B ∪ C

Do đó, x thuộc A và x thuộc B hoặc thuộc C

Vậy x thuộc A ∩ B hoặc x thuộc A ∩ C hay A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

b)

Giả sử x thuộc A, x thuộc B ∩ C

Do đó, x thuộc A hoặc x thuộc B và thuộc C

Vậy x thuộc A và thuộc B hoặc x thuộc A và thuộc C hay A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Câu 40: Quan hệ tương đương là gì ?

Lời giải:

Quan hệ R trên tập A được cho là quan hệ tương đương nếu và chỉ khi quan hệ R là phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

– Phản xạ: Một quan hệ được cho là phản xạ, nếu (a, a) ∈ R, với mọi a ∈ A.

– Đối xứng: Một quan hệ được cho là đối xứng, nếu (a, b) ∈ R, thì (b, a) ∈ R.

– Bắc cầu: Một quan hệ được cho là bắc cầu nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, thì (a, c) ∈ R.