Ta có: $\frac{3}{4}=\tan B=\frac{AC}{AB}$​

$\Rightarrow AC=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}\mathrm{.}12=9$ (cm) 

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$ (cm) - theo định lý Pitago

$\cot C=\frac{AC}{AB}=\tan B=\frac{3}{4}$​

$\Rightarrow \widehat{C}=53,13^0$

VT = $\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2} = \frac{\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha } = \frac{1-\tan \alpha }{1+\tan \alpha }$(với cos #0)

$(a-b)(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$

$=a(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$

$-b(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$

$=a^5+a^{4}b+a^{3}b+a^2{b}^3+a{b}^4$

$-a^{4}b-a^3{b}^2-a^2{b}^3-a{b}^4-b^5$

$=a^5-b^5\left(\text{đ}pcm\right)$

Phương pháp chung

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

+ Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

+ Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

+ Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

4¹⁵ x 5³⁰

= (2²)¹⁵ x 5³⁰

= 2³⁰ x 5³⁰

= (2x5)³⁰

= 10³⁰

a) ${\displaystyle \frac{6}{7}}+{\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{48}{56}}+{\displaystyle \frac{49}{56}}={\displaystyle \frac{97}{56}}$​

b) ${\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{12}{15}}-{\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$​

c) ${\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{8}{27}}$​

d) ${\displaystyle \frac{1}{5}}:{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$

Các phép tính với phân số

a) Phép cộng hai phân số:

⦁ Cộng hai phân số cùng mẫu: $\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$ (với a, b, m ∈ ℤ và m ≠ 0).

⦁ Cộng hai phân số khác mẫu: Quy đồng mẫu số của phân số để đưa về phép cộng hai phân số cùng mẫu.

b) Phép trừ hai phân số:

⦁ Số đối: $\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=0$ (với a, b ∈ ℤ và b ≠ 0).

⦁ Trừ hai phân số cùng mẫu: $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$ (với a, b, m ∈ ℤ và m ≠ 0).

⦁ Trừ hai phân số khác mẫu: Quy đồng mẫu số của phân số để đưa về phép trừ hai phân số cùng mẫu.

Chú ý:

– Muốn trừ hai phân số ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+-\left(\frac{c}{d}\right)$(với a, b, c, d ∈ ℤ và b, d ≠ 0).

– Sau khi thực hiện phép cộng và phép trừ phân số, ta rút gọn kết quả (nếu có).

c) Phép nhân hai phân số

Quy tắc: Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Lưu ý:

+) Sau khi làm phép nhân hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.

+) Khi nhân hai phân số, sau bước lấy tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số, nếu tử số và mẫu số cùng chia hết cho một số nào đó thì ta rút gọn luôn, không nên nhân lên sau đó lại rút gọn.

d) Các tính chất của phép nhân phân số

+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

+) Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của hai phân số còn lại.

+) Tính chất phân phối: Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân lần lượt từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả đó lại với nhau.

+) Nhân với số 1: Phân số nào nhân với 1 cũng bằng chính phân số đó.

Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép nhân phân số trong các bài tính nhanh.

e) Phép chia hai phân số

Quy tắc: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Gọi số tự nhiên thứ nhất là $x$, số tự nhiên thứ hai là $y$ $(x,y\in N)$

Vì 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng 18040 nên ta có: $5x+4y=18040 \left(1\right)$

Vì 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002 nên ta có: $3x-2y=2002 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}5x+4y=18040\\ 3x-2y=2002\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}5x+4y=18040\\ 6x-4y=4004\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}11x=22044\\ 6x-4y=4004\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}x=2004\\ 6.2004-4y=4004\end{array}$​

$\iff \{\begin{array}{c}x=2004\\ y=2005\end{array}$$\left(tm\text{đ}k\right)$

Phương pháp chung

Trình tự các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Bước 1: Lập hệ phương trình.

+ Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số x và y. Đặt đơn vị và điều kiện của ẩn.

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.

• Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

• Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

a) $\frac{13}{57}$ và $\frac{29}{73}$ MC(4161)

$\frac{13}{57} = \frac{13.73}{57.73} = \frac{949}{4161}$

$\frac{29}{73} = \frac{29.57}{73.57} = \frac{1653}{4161}$

$\frac{949}{4161} < \frac{1653}{4161}$ nên $\frac{13}{57} < \frac{29}{73}$

b) $\frac{7}{-12}$ và $\frac{11}{-18}$  MC(36)

$\frac{7}{-12} = \frac{-7}{12} = \frac{-7.3}{12.3} = \frac{-21}{36}$

$\frac{11}{-18} = \frac{-11}{18} = \frac{-11.2}{18.2} = \frac{-22}{36}$

$\frac{-21}{36} > \frac{-22}{36}$ nên $\frac{7}{-12} > \frac{11}{-18}$

a) Quy đồng mẫu số

Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Phương pháp giải:

Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phân số có cùng mẫu số đó.

Bước 3: Rút ra kết luận.

b) Quy đồng tử số

Điều kiện áp dụng: Khi hai phân số có mẫu số khác nhau nhưng mẫu số rất lớn và tử số nhỏ thì ta nên áp dụng cách quy đồng tử số để việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.

Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác tử số, ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới.

Phương pháp giải:

Bước 1: Quy đồng tử số hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phân số có cùng tử số đó.

Bước 3: Rút ra kết luận.

Có:

$\frac{x-10}{30}+\frac{x-14}{43}+\frac{x-5}{95}+\frac{x-148}{8}=0$

$\Rightarrow \frac{x-10}{30}+\frac{x-14}{43}+\frac{x-5}{95}+\frac{x+100}{8}-6=0$

$\Rightarrow (\frac{x-10}{30}-3)+(\frac{x-14}{43}-2)+(\frac{x-5}{95}-1)+\frac{x-100}{8}=0$

$\Rightarrow \frac{x-100}{30}+\frac{x-100}{43}+\frac{x-100}{95}+\frac{x-100}{8}=0$

$\Rightarrow (x-100)(\frac{1}{30}+\frac{1}{43}+\frac{1}{95}+\frac{1}{9})=0$

Mà $\frac{1}{30}+\frac{1}{43}+\frac{1}{95}+\frac{1}{8}\mathrm{\ne }0\iff (x-100)(\frac{1}{30}+\frac{1}{43}+\frac{1}{95}+\frac{1}{8})=0$

$\iff x-100=0\iff x=100$

Phương pháp chung

+ Bước 1: Quy đồng và khử mẫu ( nếu có mẫu thức).

+ Bước 2: Áp dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

+ Bước 3. Nhân phá các ngoặc, rút gọn hai vế, tìm giá trị của ẩn thỏa mãn

Chú ý: a.b = 0 khi a = 0 hoặc b = 0

Ta có :10p = 600s

Chiều dài nửa quãng đường AB là :

S = $\frac{AB}{2}=\frac{2400}{2}=1200\left(m\right)$

Thời gian xe đi nửa quãng đường đầu là :

t1 = $\frac{S}{v_1}=\frac{1200}{v_1}$(h)

Thời gian xe đi nửa quãng đường sau là :

t2 = $\frac{S}{v_2}=\frac{1200}{\frac{1}{2}{v}_1}=\frac{2400}{v_1}$​(h)

Ta có : t1+t2=t

$\Rightarrow \frac{1200}{v_1}+\frac{2400}{v_1}=600$

$\Rightarrow \frac{3600}{v_1}=600$

$\Rightarrow v_1=6$(m/s) = 21,6km/h

v2 = $\frac{1}{2}$​v1 = $\frac{1}{2}\mathrm{.}21,6$ = 10,8(km/h)

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$​

$\iff \frac{ab+bc+ca}{abc}\ge \frac{9}{a+b+c}$​

$\iff (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc$

Áp dụng cô si ta có : $\{\begin{array}{l}a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\\ ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\end{array}$​​

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 3\cdot 3\cdot \sqrt[3]{a^3{b}^3{c}^3}$​

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc\left(\text{đ}pcm\right)$

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= (1 + 9) + (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) + 5

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 10 x 4 + 5

= 40 + 5

= 45

Phương pháp tính nhanh giá trị biểu thức

Dạng 1: Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn... rồi cộng (hoặc trừ) các kết quả lại.

Trong một bài toán về tính giá trị biểu thức, học sinh cần quan sát xem có nhóm các số nào có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn hay không, từ đó nhóm các số đó lại để tính một cách thuận tiện nhất.

Công thức tổng quát: a + b + c = (a + b) + c

a - b - c = (a - b) - c 

Dạng 2: Vận dụng tính chất một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số, một hiệu chia cho một số.

Trong các phép tính tổng (hoặc hiệu), tích ( hoặc thương), học sinh cần chú ý các tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của các số để có thể tính một cách thuận tiện nhất.

Công thức tổng quát: 

- Một số nhân với một tổng: a x (b + c) = a x b + a x c

a x b + a x c = a x (b + c)

- Một số nhân với một hiệu: a x (b - c) = a x b - a x c

a x b - a x c = a x (b - c)

- Một tổng chia cho một số: (a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d

Ví dụ: Tính nhanh giá trị của biểu thức sau 

(18 + 45 + 63) : 9

= 18 : 9 + 45 : 9 + 63 : 9

= 2 + 5 + 7

= 14

- Một hiệu chia cho một số: (a - b - c) : d = a : d - b : d - c : d

Với các biểu thức chưa có thừa số chung, cần xem xét có thể phân tích một số ra một tích hoặc phân tích một tích ra các thừa số, từ đó làm xuất hiện thừa số chung được không.

Dạng 3: Vận dụng các tính chất: một số nhân với 0, một số nhân với 1, một số chia cho 1, 0 chia cho một số.

Trong các phép tính giá trị biểu thức, học sinh cần chú ý quan sát có biểu thức nào kết hợp các số có cho kết quả đặc biệt như 0 hoặc 1 hay không, từ đó tính bằng cách thuận tiện nhất.

Tính chất đặc biệt:

Một số nhân với 0 luôn cho kết quả bằng 0

Một số nhân với 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó

Một số chia cho 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó

Số 0 chia cho một số luôn cho kết quả bằng 0

Công thức tổng quát:

a x 0 = 0

a x 1 =  a

a : 1 = a

0 : a = 0

Dạng 4: Vận dụng kiến thức về dãy số để tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất.

Vận dụng chủ yếu trong các dạng bài toán nâng cao về dãy số cách đều.

Công thức tổng quát:

Cách tìm số hạng của một dãy số cách đều: Số các số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1

Cách tính nhanh tổng của một dãy số cách đều:

Bước 1: Tính số các số hạng của dãy số cách đều (Theo công thức nêu trên)

Bước 2: Tính số cặp số của dãy số bằng cách lấy kết quả ở bước 1 chia cho 2 (Trường hợp dư 1 thì xem xét không ghép cặp 1 số)

Bước 3: Nhóm các cặp số hạng và tính tổng giá trị của cặp số (Chú ý có cặp số nào cho kết quả đặc biệt không, thông thường hay nhóm số đầu với số cuối)

Bước 4: Tính tổng dãy số bằng cách nhân kết quả ở bước 2 với kết quả ở bước 3, cộng thêm số không ghép cặp nếu có (tính tích số các cặp số nhân với tổng của một cặp số).

a) Để A có giá trị là số nguyên​​

Suy ra 2n-3 chia hết cho n-2

Mà n-2 chia hết cho n-2

Suy ra 2(n-2) chia hết cho n-2

Suy ra 2n-4chia hết cho n-2

Mà 2n-3 chia hết cho n-2

Suy ra [(2n-3)-(2n-4)]chia hết cho n-2

(2n-3-2n+4) chia hết cho n-2

Suy ra 1 chia hết cho n-2

n-2 thuộc Ư(1)

n-2 thuộc {1;-1}

Ta có bảng 

Vậy n thuộc {3;1}

b) Gọi ƯCLN (2n-3:n-2)=d

Suy ra 2n-3chia hết cho d

          n-2 chia hết cho d

Suy ra 2n-3 chia hết cho d

          2(n-2) chia hết cho d

Suy ra 2n-3 chia hết cho d

          2n-4 chia hết cho d

Suy ra [(2n-3)-(2n-4)] chia hết cho d

          (2n-3-2n+4) chia hết cho d

          1 chia hết cho d

Suy ra d thuộc Ư(1)

          d thuộc {1;-1}

Vậy phân số A là phân số tối giản

53²+47²+2.47.53

= 53²+47²+94.53

= 47²+2.47.53+53²

= (47+53)²

= 100²

= 10 000

Đáp án cần chọn là: B

MSC:36

Khi đó:

$\frac{1}{18} < \frac{x}{12} < \frac{y}{9} <\frac{1}{4}$ ⇒ $\frac{2}{36} < \frac{3x}{36} < \frac{4y}{36} < \frac{9}{36}$ ⇒ 2 < x .3 < y .4 < 9

Mà (x.3)⋮3 và (y.4)⋮4 nên x.3∈{3;6} và y.4∈{4;8}

Mà x.3 < y.4 nên:

+ Nếu x.3 = 3 thì y.4 = 4 hoặc y.4 = 8

Hay nếu x = 1 thì y = 1 hoặc y = 2

+ Nếu x.3 = 6 thì y.4 = 8

Hay nếu x = 2 thì y = 2

Vậy các cặp số nguyên (x;y) là (1;1), (1;2), (2;2)

11 + 12 + 13 + ... + 109 

Số số hạng của dãy số trên là : 

(109 - 11) : 1 + 1  =  99 (số hạng) 

Tổng của dãy số là : 

(109 + 11) . 99 : 2  = 5940

Vậy 11 + 12 + 13 + ... + 109 = 5940

Ta có: ${(\sin \alpha +\cos \alpha )}^2={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \mathrm{.}\cos \alpha$$=1+2.\frac{1}{2}=1+1=2$

=> $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}$=> $\sin \alpha =\sqrt{2}-\cos \alpha$

=> $\sin \alpha \mathrm{.}\cos \alpha =(\sqrt{2}-\cos \alpha )\mathrm{.}\cos \alpha =\sqrt{2}\mathrm{.}\cos \alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}$​

=> ${\cos }^2\alpha -\sqrt{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}=0$

Xong bạn giải phương trình bậc 2 => $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$​​=> $\alpha =45^o$

Ta có: $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3$

$=(a+1)(a+4)(a+2)(a+3)-3$

$=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)-3$

$={(a^2+5a+5)}^2-1-3$

$={(a^2+5a+5)}^2-4$

$=(a^2+5a+7)(a^2+5a+3)$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{9900}$​

=$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{99.100}$​

= $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$​

= $1-\frac{1}{100}$​

=$\frac{99}{100}$​

BĐT

 $$\begin{gathered} \iff (a+b)\mathrm{.}\frac{a+b}{ab}\ge 4 \\ \iff {(a+b)}^2\ge 4ab \\ \iff a^2+2ab+b^2\ge 4ab \\ \iff {(a-b)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Do BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a = b

a) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là n, n là số tự nhiên.

Ta có 3 = 3

         8 = 3 + 5

        15 = 3 + 5 + 7

       24 = 3 + 5 + 7 + 9

       35 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11

       n = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + n1

        n1 = (100 - 1) x 2 + 3 = 201

     => n = (201 + 3) x 100 : 2 = 10200

Số hạng thứ 100 của dãy là 10 200

b) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là n, n là số tự nhiên.

Ta có: 3 = 3

         24 = 3 + 21

        63 = 3 + 21 + 39

       120 = 3 + 21 + 39 + 57

       195 = 3 + 21 + 39 + 57 + 75

          n = 3 + 21 + 39 + 57 + 75 + ... + n1 (Tổng dãy số cách đều có khoảng cách 18 đơn vị)

          n1 = (100 - 1) x 18 + 3 = 1785

          n = (3 + 1785) x 100 : 2 = 89400

          Số hạng thứ 100 của dãy là 89400

c) Dãy này có quy luật là số thứ n của dãy là tổng từ 1 đến n (dãy số tự nhiên).

- Số hạng thứ nhất: 1.

- Số hạng thứ hai: 1 + 2 = 3.

- Số hạng thứ ba: 1 + 2 + 3 = 6.

- Và tiếp tục.

Áp dụng quy luật trên, ta tính được số hạng thứ 100:

1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5,050.

d) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là n, n là số tự nhiên.

Có 2 = 2

    5 = 2 + 3

  10 = 2 + 3 + 5

  17 = 2 + 3 + 5 + 7

   26 = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 

    n = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + n1 (Kể từ số hạng thứ 2 đến n là dãy số cách đều có khoảng cách 2 đơn vị và có 99 số trong dãy đó)

    n1 = (99 - 1) x 2 + 3 = 199

    n = (3 + 199) x 99 : 2 + 2 = 10 001

 Số hạng thứ 100 của dãy là 10 001

a) Ta có: 3 = 15 x 0 + 3; 18 = 15 x 1 + 3; 48 = 15 x 3 + 8; 93 = 15 x 6 + 3; 153 = 15 x 10 + 3, .....

Như vậy, bản chất là tìm số hạng thứ 100 của dãy số: 0, 1, 3, 6, 10,....Bỏ qua số 0 (1, 3, 6, 10,....) thì dãy số này, bắt đầu từ số thứ 2 bằng tổng của số liền trước cộng với số thứ tự của nó. Số hạng thứ 100 cần tìm của dãy 0, 1, 3, 6, 10,....chính là số hạng thứ 99 của dãy 1, 3, 6, 10,.... và bằng: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 = (99 + 1) x 99 : 2 = 4950.

Vậy số hạng thứ 100 cần tìm là: 15 x 4950 + 3 = 74253.

b) Ta có: (11703 – 3) : 15 = 780; Mà 780 x 2 = 1560 = 39 x 40 = (39 + 1) x 39.

Vậy số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy