$\frac{4}{7}:x=\frac{5}{15}$​

$=\frac{4}{7}:\frac{5}{15}$=$\frac{4}{7}.\frac{15}{5}$​

$=\frac{12}{7}$​

Ta có:

$Q=(a+b)(b+c)(c+a)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc-abc$

$=(a+b+c)(ab+bc+ac)-2abc$

Ta thấy:

$a+b+c⋮4$ nên $a+b+c$ chẵn. Do đó phải tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là số chẵn.

$\Rightarrow abc⋮2$

$\Rightarrow 2abc⋮4\left(1\right)$

$a+b+c⋮4\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)⋮4\left(2\right)$

Từ $\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow Q⋮4$

Ta có đpcm.

Câu 17: Hiệu hai số tự nhiên là 6. Nếu gấp số bị trừ lên 4 lần thì hiệu sẽ là 54. Tìm hai số đó.

Phương pháp giải: 

Đặt hai số:

Gọi hai số tự nhiên là $a$ (số bị trừ) và $b$ (số trừ).

Theo đề bài, ta có: $\begin{array}{cccc}& a-b=6& & \text{(1)}\end{array}$

Nếu gấp số bị trừ $a$ lên 4 lần, hiệu sẽ là 54: $\begin{array}{cccc}& 4a-b=54& & \text{(2)}\end{array}$

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (1), ta có $a = b + 6$.

Thay $a = b + 6$ vào phương trình (2) và giải để tìm $b$.

Lời giải:

Gọi 2 số đó là a và b. Theo bài ra, ta có:

a - b = 6 => a = b + 6  (1)

a.4 - b = 54 (2)

Từ (1) và (2), ta có:

(b + 6) .4 - b = 54

b.4 + 24 - b = 54

b.3 = 54 - 24

b.3 = 30

b = 30:3

b = 10

=> a = 10 + 6 = 16

Vậy 2 số đó là 10 và 16

Phương pháp giải: 

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $\Delta ABC$

Tính $HB$ và $HC$ (dùng đường cao $AH$)

Tính $HD$ (sử dụng tính chất phân giác)

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$ (cm) 

Áp dụng tính chất tia phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$​

Mà: $BD+DC=BC=20$

$\Rightarrow BD=20:(3+4)\mathrm{.}3=\frac{60}{7}$ (cm) 

Theo hệ thức lượng của tam giác vuông:

$HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2$ (cm) 

$CH=BC-HB=20-7,2=12,8$ (cm) 

$HD=BD-BH=\frac{60}{7}-7,2=\frac{48}{35}$​ (cm)

Câu 19: Giải phương trình: 3x² - 7x + 8 = 0

Phương pháp giải: 

Đưa phương trình về dạng bình phương của một hiệu.

Do lớn hơn 0 nên phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Cách 1:

Câu 20: Hiện nay mẹ hơn con 28 tuổi. Biết rằng 3 năm sau tuổi của con bằng $\frac{3}{7}$ tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi

Phương pháp giải: 

Sử dụng hiệu số tuổi không đổi:

Hiệu số tuổi của hai mẹ con luôn là 28 tuổi, kể cả sau 3 năm.

Lập tỉ lệ tuổi sau 3 năm:

Theo đề bài, sau 3 năm, tuổi con bằng $\frac{3}{7}$​ tuổi mẹ. Sử dụng tỉ lệ này để tính tuổi con sau 3 năm.

Tính tuổi con và mẹ hiện tại:

Từ tuổi con sau 3 năm, suy ra tuổi con hiện tại bằng cách trừ đi 3.

Tính tuổi mẹ hiện tại bằng cách cộng thêm hiệu số tuổi (28 tuổi) vào tuổi con hiện tại.

Lời giải:

3 năm sau hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi và bằng: 28 tuổi

Tuổi con 3 năm sau là:

28 : (7 - 3) x 3 = 21( tuổi)

Tuổi con hiện nay là:

21 - 3 = 18 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là:

18 + 28 = 46 (tuổi)

Đáp số: Con: 18 tuổi

            Mẹ : 46 tuổi

Câu 21: Viết chương trình tính tổng các số chẵn nhỏ hơn với N là số tự nhiên được nhập vào từ bàn phím.

Phương pháp giải: 

Khởi tạo biến:

Khai báo các biến cần thiết: $s$ (tổng), $i$ (biến đếm), và $n$ (giá trị giới hạn được nhập từ bàn phím).

Duyệt từ 1 đến $n$:

Sử dụng vòng lặp để duyệt qua các số từ 1 đến $n-1$.

Kiểm tra nếu số đó là số chẵn (chia hết cho 2) thì cộng vào biến tổng $s$.

In kết quả:

Sau khi hoàn tất vòng lặp, in ra tổng các số chẵn nhỏ hơn $n$.

Lời giải:

uses crt;

var
m, n, s, i: integer;

begin
clrscr;
writeln('Nhap so tu nhien n: ');
readln(n); 
s := 0;

for i := 1 to n - 1 do 
if i mod 2 = 0 then
s := s + i;

writeln('Tong cac so chan nho hon ', n, ' la: ', s);
readln;
end.

Câu 22: Giải phương trình $\frac{x+14}{86}+\frac{x+15}{85}+\frac{x+16}{84}+\frac{x+17}{83}+\frac{x+116}{4}=0$

Phương pháp giải: 

Rút gọn các phân số:

Đơn giản hóa các phân số trong phương trình nếu có thể.

Tìm mẫu số chung:

Xác định mẫu số chung để quy đồng các phân số trong phương trình, từ đó chuyển phương trình thành phương trình dạng đa thức.

Giải phương trình bậc nhất:

Sau khi quy đồng, ta sẽ có một phương trình tuyến tính (bậc nhất) theo $x$.

Giải phương trình bậc nhất để tìm $x$.

Kết luận:

Đưa ra giá trị của $x$ tìm được.

Lời giải:

Câu 23: Cho Biểu Thức $E=\frac{3-x}{x-1}$.​ Tìm giá trị nguyên của x để:

a) E có giá trị nguyên

b) E có giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải: 

Xác định điều kiện của $x$:

Biểu thức $E = \frac{3 - x}{x - 1}$ xác định khi $x \neq 1$ (để tránh mẫu số bằng 0).

Biến đổi biểu thức để phân tích giá trị của $E$:

Ta viết lại biểu thức dưới dạng khác nếu cần, nhằm hiểu rõ hơn về cách $E$ thay đổi khi $x$ thay đổi.

Tìm giá trị nguyên của $x$ để $E$ nhỏ nhất:

Thử thay các giá trị nguyên của $x$ vào $E$ để tìm giá trị nhỏ nhất có thể.

Nếu biểu thức là dạng phân số có mẫu chứa $x$, có thể khảo sát dấu của tử và mẫu để xác định khi nào $E$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Kết luận:

Ghi lại giá trị của $x$ mà tại đó $E$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Câu 24: $\frac{15}{35}$ rút gọn được bao nhiêu

Phương pháp giải: 

Tìm ƯCLN của tử số (15) và mẫu số (35) bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho $5$

Lời giải:

$15 = 3 \cdot 5$

$35 = 5 \cdot 7$

ƯCLN là $5$.

$\Rightarrow \frac{15}{35} = \frac{15 : 5}{35 : 5} = \frac{3}{7}$

Phương pháp chung:

Khi rút gọn phân số có thể làm như sau:

- Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

- Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Lưu ý: Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Câu 25: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế $\left\{\begin{array}{l}12x - 4y = -16\\ 3x - y = -4\end{array}\right.$

Phương pháp giải: 

Chọn phương trình đơn giản hơn để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

Thế vào phương trình còn lại

Giải phương trình với một ẩn

Lời giải:

Câu 26: Tính bằng cách hợp lý:

a) - (-253) + 178 - 216 + (-156) - (-21)

b) - (-239) + 115 + (-27) + (-125) -121

Phương pháp giải: 

Đổi dấu khi gặp $-(-a) \rightarrow +a$, hoặc giữ nguyên khi $-(+a) \rightarrow -a$.

Kết hợp các số có dấu hoặc có giá trị gần nhau để dễ tính toán.

Tính từng nhóm nhỏ trước, sau đó cộng/trừ để có kết quả cuối cùng.

Lời giải:

Phương pháp giải: 

Biến đổi phương trình và tìm x.

Bài toán yêu cầu tìm các phân số có mẫu số bằng 35 và có tử số từ 26 đến 29. Biến đổi các phân số​ về mẫu số chung 35.

Lời giải:

a. $\frac{12}{5} - x : \frac{5}{7} = \frac{12}{5}$

$x : \frac{5}{7} = \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$

$x : \frac{5}{7} = 0$

$x = 0.\frac{5}{7}$

$x = 0$

b. Ta có : $\frac{5}{7}= \frac{25}{35}; \frac{6}{7} = \frac{30}{35}$

Vậy 4 phân số thỏa mãn là $\frac{26}{35}, \frac{27}{35}, \frac{28}{35}, \frac{29}{35}$

Phương pháp chung:

Áp dụng các quy tắc

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương

Câu 28: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 218 đến 436 có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Phương pháp giải: 

Tính tổng số các số tự nhiên trong dãy từ 218 đến 436.

Tính số lượng các số chẵn.

Tính số lượng các số lẻ.

Lời giải:

Câu 29: Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm biết rằng: x.f(x+1) = (x+3).f(x)

Phương pháp giải: 

Để chứng minh rằng đa thức $f(x)$ có ít nhất 2 nghiệm, ta sử dụng phương trình $x.f(x+1)=(x+3).f(x)$ với mọi giá trị của $x$.

Xét 2 trường hợp: x = 0 và x = -3

Lời giải:

Vì x.f(x+1) = (x+3).f(x) với mọi x nên: 

* Khi x = 0 thì 0.f(0-1) = (0+3).f(0) tương đương f(0)=0.

Vậy 0 là nghiệm của đa thức f(x)

* Khi x = -3 suy ra -3.f(-3+2) = (-3 +3).f(-3)

              -3f(-2) = 0f(-3) tương đương f(-2) = 0.

Vậy -2 cũng là một nghiệm của f(x)

Do đó đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và 2

Câu 30: Cho số thập phân 135,27. Hỏi giá trị của chữ số 3 gấp giá trị của chữ số 2 bao nhiêu lần?

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định giá trị của chữ số 3

Bước 2: Xác định giá trị của chữ số 2

Bước 3: Tính tỷ lệ giữa giá trị của chữ số 3 và chữ số 2

Lời giải:

Chữ số 3 trong số 135,27 có giá trị là 3x10 = 30.

Chữ số 2 trong phần thập phân (0,27) có giá trị là 2x0,1 = 0,2.

Giá trị của chữ số 3 gấp giá trị của chữ số 2 là

30 : 0,2 = 150 (lần)

Câu 31: Một cửa hàng quần áo nhận được 1 đơn hàng 20 cái áo trong đó có 5 cái áo trắng 35% cái áo dạ 30% cái phao còn lại là áo len

a. Tính số áo dạ và áo phao mà cửa hàng đó cần chuẩn bị

b. Số áo trắng chiếm bao nhiêu phần trăm, số áo len chiếm bao nhiêu phần trăm

Phương pháp giải: 

a. Tính số áo dạ và áo phao:

Số áo dạ: Tính 30% của 20 cái áo

Số áo phao: Số áo phao chiếm 35% của 20 cái áo

b. Tính phần trăm áo trắng và áo len:

Số áo trắng: Trong đơn hàng có 5 cái áo trắng.

Số áo len: Tổng số áo là 20 cái, do đó tính số áo len.

Tính tỷ lệ phần trăm của áo trắng; Tính tỷ lệ phần trăm của áo len

Lời giải:

Câu 32: Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B

A = $2x^3-7x^2-11x+a-8$ và B = $2x^2+3x+4$

A = $x^3-x^2-5x+a+2$ và B = $-x^2-x+3$

Phương pháp giải: 

Câu a: Chia $A = 2x^3 - 7x^2 - 11x + a - 8$ cho $B = 2x^2 + 3x + 4$, phần dư là $-10x^2 - 15x + a - 8$, giải $a - 8 = -20$, ta có $a = -12$.

Câu b: Chia $A = x^3 - x^2 - 5x + a + 2$ cho $B = -x^2 - x + 3$, phần dư là $-2x^2 - 2x + a + 2$, giải $a + 2 = 6$, ta có $a = 4$.

Kết luận.

Lời giải:

Cách 1:

Câu 33: Tìm x biết: $\frac{3}{2}-4(\frac{1}{4}-x)=\frac{2}{3}-7x$

Phương pháp giải: 

Áp dụng các quy tắc

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương

Lời giải:

$\frac{3}{2}-4(\frac{1}{4}-x)=\frac{2}{3}-7x$

Câu 34: Tính: $2^7:2^2+5^4:5^3\times 2^4-3\times 2^5$

Phương pháp giải: 

Sử dụng Quy tắc thương số có cùng cơ số: $a^n: a^m = a^{n-m}$

Lời giải:

Câu 35: Một người đi xe đạp đi quãng đường 18,3 km hết 1,5 h. Hỏi với vận tốc như vậy thì người đó đi quãng đường 30,5km hết bao nhiêu thời gian?

Phương pháp giải: 

Tính vận tốc:

Vận tốc = Quãng đường / Thời gian.

Tính thời gian đi quãng đường 30,5 km:

Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

Lời giải:

Câu 36: Tìm x biết: $5^{x+1}$ - $5^x$= 100 . $25^{29}$

Phương pháp giải: 

Đưa phương trình về dạng lũy thừa

Rút gọn phương trình

Biến đổi về cơ số 5

Lời giải: