Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Công thức tính tổng dãy số cách đều chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết về Công thức tính tổng dãy số cách đều, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Công thức tính tổng dãy số cách đều

1. Bài toán tính tổng dãy số là gì? 

Bài toán tính tổng dãy số là bài toán cho một dãy số gồm nhiều số hạng. Trước mỗi số hạng trong dãy có thể là dấu cộng hoặc dấu trừ, nên dãy số có thể chứa cả những số hạng mang dấu cộng và cả những số hạng mang dấu trừ.

Ví dụ:

Dãy số thứ nhất: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 99 + 100

Dãy số thứ hai: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... - 100 + 101

2. Công thức tính tổng dãy số cách đều 

2.1. Tính số số hạng của dãy

Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : Đơn vị khoảng cách + 1

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

(100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Trong đó:

100 là Số hạng cuối

1 là Số hạng đầu

1 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng của dãy

2.2. Công thức tính tổng dãy số cách đều

- Xác định khoảng cách của hai số hạng liên tiếp.

- Xác định số số hạng của tổng:

Số số hạng =  (số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

- Tổng dãy số cách đều = (số hạng đầu + số hạng cuối) × số số hạng : 2

Ví dụ: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + … + 99 + 101

Hướng dẫn giải:

Ta thấy khoảng cách 2 số hạng liên tiếp là 2

Số số hạng = $\left(101-1\right):2+1=51$  (số hạng)

S = $\left(1+101\right)\times 51:2=2601$

2.3. Công thức tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật

Để tìm được số hạng thứ n của dãy số theo quy luật ta sử dụng công thức tính mà dưới đây.

Công thức tìm số hạng thứ n:

a, Cuối dãy: n = Số đầu + khoảng cách x (n – 1)

b, Đầu dãy: n = Số cuối – khoảng cách x (n – 1)

Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, …

Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?

Giải:

Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

20 số hạng thì có số khoảng cách là : 20 – 1 = 19 (khoảng cách)

19 số có số đơn vị là:

19 x 2 = 38 (đơn vị)

Số cuối cùng là:

1 + 38 = 39

Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39

Ví dụ 2. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …, 24, 27, 30

Biết rằng dãy số có 10 số hạng.

Giải

10 số hạng thì có số khoảng cách là:

10 – 1 = 9 (khoảng cách)

Tổng khoảng cách là:

3 x 9 = 27

Số hạng đầu tiên của dãy là:

30 – 27 = 3

2.4. Công thức tính trung bình cộng của dãy số các đều

Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng của dãy số : Số số hạng

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

(100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Tổng của dãy số trên là:

(1 + 100) x 100 : 2 = 5050

Trung bình cộng của dãy số trên là:

5050 : 100 = 50,5 

Trong đó:

5050 là tổng của dãy số

100 là số số hạng 

3. Bài tập về dãy số cách đều

Bài 1: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018

 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Bài giải

Dãy số trên là dãy số cách đều 2 đơn vị

Số số hạng của dãy số đó là

(2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số hạng)

Đáp số: 1009 số hạng

Bài 2: Cho dãy số 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; …. ; 68

a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2007 là số nào?

Bài giải

Lời giải câu a

Dãy số đã cho là dãy số cách đều 3 đơn vị.

Số số hạng của dãy số là

(68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

Lời giải câu b

• Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 = 11 + 3 x (2 – 1)
• Số hạng thứ 3 của dãy số là 17 = 11 + 3 x (3 – 1)
• Số hạng thứ 4 của dãy số là 20 = 11 + 3 x (4 – 1) 

            ……

Vậy số hạng thứ 2007 của dãy số là 11 + 3 x (2007 – 1) = 6029

Bài 3: Trong các số có 3 chữ số:

a) Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9?

b) Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?

Bài giải

Lời giải câu a

Các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là 108 ; 126 ; ….. ; 990 

Khoảng cách giữa hai số liền nhau là 18 đơn vị.

Số các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là

       (990 – 108) : 18 + 1 = 50 (số)

Lời giải câu b

Các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là 101 ; 105 ; 109 ; …. ; 997

Khoảng cách giữa hai số liền nhau là 4.

Số các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là:

       (997 – 101) : 4 + 1 = 225 (số)

Bài 4: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 1996

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là

(1996 – 1) : 1 + 1 = 1996 (số hạng)

Giá trị của A là

(1 + 1996) x 1996 : 2 = 1 993 006

Đáp số: 1 993 006

Bài 5: Tính giá trị của B biết:

B = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 299

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là

(299 – 1) : 2 + 1 = 150 (số hạng)

Giá trị của B là

(1 + 299) x 150 : 2 = 22500

Đáp số: 22500

Bài 6: Tính tổng: S = 10 + 11 + 12 + … + 49 + 50

Hướng dẫn giải:

Ta thấy khoảng cách 2 số hạng liên tiếp là 1

Số số hạng = $\left(50-10\right):1+1=41$  (số hạng)

S = $\left(10+50\right)\times 41:2=1230$

Bài 7: Biết 19 < x < 72. Tính tổng các số tự nhiên x.

Hướng dẫn giải:

Có 19 < x < 72 và $x\in \mathbb{N}$  nên $x\in$  {20; 21; 22; …; 70; 71}.

Tổng các số tự nhiên x là 20 + 21 + 22 + … + 70 + 71

Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 1.

Số các số hạng là: $\left(71-20\right):1+1=52$(số hạng)

Tổng = $\left(20+71\right)\times 52:2=2366$

Vậy tổng các số tự nhiên x là 2 366

Bài 8: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7, ...

Hỏi số hạng thứ 50 của dãy là số nào?

Hướng dẫn

Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

50 số hạng thì có số khoảng cách là:

50 – 1 = 49 (khoảng cách)

49 số có số đơn vị là:

49 x 2 = 98 (đơn vị)

Số cuối cùng là:

1 + 98 = 99

Đáp số: Số hạng thứ 50 của dãy là 99

Bài 9: Viết 50 số lẻ, số cuối cùng là 2017. Số đầu tiên là số nào?

Hướng dẫn

2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị

50 số lẻ có số khoảng cách là:

50 – 1 = 49 (khoảng cách)

49 khoảng cách có số đơn vị là:

49 x 2 = 98 (đơn vị)

Số đầu tiên là:

2017 – 98 = 1919

Đáp số: số đầu tiên là 1919.

Bài 10: Số hạng thứ 200 của dãy 1, 4, 7, 10, 13 ....

Hướng dẫn:

Cách 1:

Nhận xét:

- Số thứ nhất: 1 = 1 + 3 x 0

- Số thứ hai: 4 = 1 + 3 x 1

- Số thứ ba: 7 = 1 + 3 x 2

- Số thứ tư: 10 = 1 + 3 x 3

- Số thứ năm: 13 = 1 + 3 x 4
...
Quy luật: Mỗi số đều bằng tổng của 1 và tích của 3 nhân với số liên trước số thứ tự của nó

- Vậy số thứ 200 là: 1 + 3 x 199 = 598

Cách 2:

Quy luật: Mỗi số liên sau bằng số đằng sau bằng số đằng trước nó cộng thêm 3.

Từ số thứ nhất đến số thứ 200 sẽ có 199 khoảng cách 3 đơn vị.

Vậy số thứ 100 là: 1 + 199 x 3 = 598

Bài 11. Tính tổng dãy sau: 1 + 3 + 5 + … + 99. Kết quả là

A. 2500;

B. 3000;

C. 3500;

D. 4000.

Bài 12. Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; …; 97; 100. Tổng tất cả các số của dãy là

A. 1717;

B. 1700;

C. 1616;

D. 1818.

Bài 13. Biết $12\le x\le 25$ . Tổng các số tự nhiên x thỏa mãn là

A. 222;

B. 234;

C. 247;

D. 259.

Bài 14. Tính G = 1 + 6 + 11 + … + 256

A. 32 896;

B. 6682;

C. 13 364;

D. 6656.

Bài 15. Cho dãy số 2; 5; 8; 11; … Tổng 28 số đầu tiên của dãy số là

A. 1193;

B. 1190;

C. 1187;

D. 1196.

Bài 16. Cho x là số tự nhiên chẵn thỏa mãn 4 < x < 95. Tổng các số tự nhiên x là

A. 2250;

B. 2205;

C. 2254;

D. 2245.

Bài 17. Tổng của 97 số tự nhiên chẵn đầu tiên

A. 9321;

B. 9506;

C. 9312;

D. 9560.

Bài 18. Tính tổng của 30 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Biết số tự nhiên lẻ đầu tiên là 3.

A. 61;

B. 960;

C. 915;

D. 965.

Bài 19. Một dãy số có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp. Biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Số nhà đầu tiên của dãy phố đó là

A. 15;

B. 49;

C. 45;

D. 47.

Bài 20. Cho dãy tính 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2 – 1

Kết quả của dãy tính trên là

A. 0;

B. 100;

C. 49;

D. 50.