Chia $42 \div 28 = 1.5$.

Do đó, $\frac{42}{28}$​ dưới dạng phân số thập phân là 1.5.

411. Viết các phân số sau đây theo thứ tự từ bé đến lớn $\frac{1}{2} \frac{5}{6} \frac{4}{5} \frac{7}{8} \frac{6}{7} \frac{8}{9}$

Phương pháp giải: 

So sánh bằng cách so sánh tử và mẫu

Các phân số có giá trị gần $1$: $1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{5}, 1 - \frac{1}{6}, 1 - \frac{1}{7}, 1 - \frac{1}{8}, 1 - \frac{1}{9}$​.

Giá trị $\frac{1}{n}$​ càng nhỏ, phân số càng lớn.

Sắp xếp:

Sau khi so sánh, xếp các phân số theo thứ tự tăng dần.

Lời giải:

412. Làm phép chia (x³−3x²+x−3):(x−3)

Phương pháp giải: 

Tách đa thức x³−3x²+x−3 thành nhân tử và thực hiện phép chia.

Lời giải:

413. Cho tập hợp M={1;2;3;4;5}. Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp M là

Phương pháp giải: 

Xác định dạng bài toán:

Đây là bài toán chọn 2 phần tử từ tập hợp 5 phần tử mà không xét thứ tự.

Số cách chọn được tính bằng tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Công thức tổ hợp:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$​, với $n$ là số phần tử của tập hợp và $k$ là số phần tử cần chọn.

Ở đây: $n = 5$, $k = 2$.

Tính toán:

Thay vào công thức để tìm số tập con.

Lời giải:

414. Hai người cùng khởi hành từ A và B cách nhau 62,4 km. Người thứ nhất đi từ A đến B. Người thứ hai đi từ B về A. Sau 2h24 phút thì hai người gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết vận tốc của người thứ nhất nhỏ hơn vận tốc của người thứ hai là 3 km/h 

Phương pháp giải: 

Đổi thời gian: Chuyển 2 giờ 24 phút thành đơn vị giờ để dễ tính toán.

Tính tổng vận tốc và tính vận tốc của từng người.

Lời giải:

415. Cho tam giác ABC vuông ở A, D thuộc cạnh BC. Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh góc IHK bằng 90 độ

Phương pháp giải: 

Nhận xét hình học:

Tứ giác $AIDK$ là hình chữ nhật vì các góc $\angle AID$ và $\angle AKD$ đều bằng $90^\circ$.

Tâm $O$ của hình chữ nhật $AIDK$ là trung điểm của cả $AD$ và $IK$.

Xét tam giác $\triangle AHD$:

$AH$ là đường cao, $O$ là trung điểm của $AD$.

Chứng minh $OH = OI = OK$, tức $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HIK$.

Kết luận góc vuông:

Dựa vào tính chất đường kính trong đường tròn ngoại tiếp, $\triangle HIK$ vuông tại $H$.

Lời giải:

a) 2 đoạn AD và IK cắt nhau ở O. Nối O với H.

Xét tứ giác AIDK: $\widehat{IAK}=\widehat{AID}=\widehat{AKD}={90}^o$ => Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

O là tâm của hình chữ nhật AIDK => O là trung điểm AD & IK; OA=OD=OI=OK

Xét $\mathrm{\Delta }$AHD: $\widehat{AHD}=90°$; O là trung điểm AD => OH=OA=OD

=> OH=OI=OK. Trong $\mathrm{\Delta }$HIK có: O là trung điểm IK; OH=OI=OK

=> $\mathrm{\Delta }$HIK vuông tại H => $\widehat{IHK} = 90°$ (đpcm).

416. Cho ▲ABC vuông cân tại A, biết BC=10cm. Tính AB

Phương pháp giải: 

Áp dụng định lý Pytago: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có độ dài cạnh AB = a, AC = b, BC = c. Áp dụng định lý Pytago, công thức về mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác được biểu diễn như sau:

Lời giải:

417. x₀ trong toán học là gì?

Phương pháp giải: 

Xác định vai trò của $x_0$:

$x_0$ thường được dùng để biểu diễn một giá trị cụ thể của $x$ trong các bài toán toán học.

Nó có thể là nghiệm của một phương trình, một giá trị ban đầu, hoặc một mốc để khảo sát.

Ý nghĩa phổ biến của $x_0$:

Trong phương trình: $x_0$ là một nghiệm cụ thể $f(x_0) = 0$.

Trong giải tích: $x_0$ có thể là điểm khảo sát trong đạo hàm, tích phân hoặc giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

Trong bài toán thực tế: $x_0$ là một giá trị khởi đầu (ví dụ, ở thời điểm $t = 0$).

Lời giải:

$x_0$​ trong toán học là một giá trị cụ thể của $x$, được dùng để:

Xác định nghiệm của phương trình.

Làm mốc khảo sát trong bài toán giới hạn, đạo hàm hoặc tích phân.

Biểu diễn một giá trị ban đầu trong bài toán thực tế.

Ví dụ:

Phương trình $f(x) = 0$, $x_0$ là một nghiệm.

Giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, $x_0$ là điểm khảo sát.

Trong bài toán chuyển động: $x_0$ là vị trí ban đầu của vật.

418. Cho S = 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹ + 4¹⁰. Tìm số tự nhiên x biết: 3S+4=4x

Phương pháp giải: 

Tính tổng $S$:

$S = 4^1 + 4^2 + \dots + 4^{10}$, là tổng của một cấp số nhân với:

Số hạng đầu $a = 4^1$.

Công bội $q = 4$.

Số hạng cuối $n = 10$.

Nhân $S$ với 4:

Tính $4S = 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{11}$.

Lấy hiệu $4S - S$:

$4S - S = 4^{11} - 4^1 = 3S$.

Suy ra $3S = 4^{11} - 4$.

Sử dụng phương trình:

Từ đề bài $3xS + 4 = 4^x$, thay $3S = 4^{11} - 4$ vào, giải để tìm $x$.

Lời giải:

419. Chứng minh rằng: 7⁶ + 7⁵ - 7⁴ chia hết cho 55

Phương pháp giải: 

Đưa $7^6 + 7^5 - 7^4$ về dạng tích bằng cách đặt $7^4$ làm nhân tử chung.

Tính tổng trong ngoặc để thu được $7^2 + 7 - 1$.

Nhận xét:

$7^2 + 7 - 1 = 49 + 7 - 1 = 55$, nên biểu thức trở thành $7^4 \cdot 55$.

$7^4 \cdot 55$ chia hết cho 55 vì có thừa số 55.

Lời giải:

420. Phân tích đa thức thành nhân tử: $2xy-ax+x^2-2ay$

Phương pháp giải: 

Nhóm các hạng tử có chung nhân tử để dễ dàng đặt nhân tử chung.

Tìm nhân tử chung của từng nhóm, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.

Nếu các nhóm có nhân tử giống nhau, đặt tiếp nhân tử chung để hoàn thành việc phân tích.

Lời giải:

Phương pháp giải: 

Nhóm hạng tử: Nhóm các hạng tử có yếu tố chung.

Rút yếu tố chung ra ngoài

Lời giải:

412.

Phương pháp giải: 

Lời giải:

412.