Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 87)

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.

a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.

b, Chứng minh $\widehat{BEG}=90°$ .

c, Cho biết BH = 4 cm, $\widehat{BAC}=30°$ . Tính S_ABCD; S_EFCG.

Lời giải:

a) Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của AH, BH nên EF là đường trung bình trong tam giác ABH

⇒ EF // AB và EF =$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DG$

Vì AB // DG nên EF // DG

Xét tứ giác EFCG có: EF // DG và EF = DG

Nên EFCG là hình bình hành

b) Lại có: AB ⊥ BC mà EF // AB nên EF ⊥ BC

Mà BF ⊥ AC

Xét trong tam giác BEC có: EF ⊥ BC; BF ⊥ EC nên F là trực tâm của tam giác BEC

Suy ra: CF ⊥ BE (1)

Mà theo phần a có EFCG là hình bình hành nên: EG // CF (2)

Từ (1) và (2): EG ⊥ BE hay $\widehat{BEG}=90°$

c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB ta có:

$\sin \widehat{A}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB=\frac{4}{\sin 30°}=8cm$

$\tan \widehat{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

⇒$BC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

AC =$\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Lại có: AB² = AH.AC ⇒ AH = AB² : AC = 4$\sqrt{3}$

HC = AC – AH =$\frac{16\sqrt{3}}{3}-4\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Mà AE = EH =$\frac{1}{2}AH=2\sqrt{3}$

Suy ra: EC = HC + EH =$\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Kẻ EM vuông góc với CD tại M

Có $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=30°$ (2 góc so le trong)

Ta có: sin$\widehat{ACD}=\sin 30°=\frac{EM}{EC}$

⇒ EM =$\sin 30°.\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

S_ABCD = AB.BC =$8.\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{64\sqrt{3}}{3}\left(c{m}^2\right)$

S_EFCG = EM.EF = EM . $\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}.8=\frac{20\sqrt{3}}{3}\left(c{m}^2\right)$