Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Dạng toán tính nhanh lớp 5 và bài tập vận dụng chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết về phương pháp tính nhanh, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Tam giác đều

1. Định nghĩa tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tam giác ABC đều có AB = AC = BC.

2. Tính chất tam giác đều

• Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60⁰.

Tam giác ABC đều 

• Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Nếu  thì tam giác ABC đều

• Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60⁰ thì tam giác đó là tam giác đều.

Tam giác ABC cân tại A. Nếu ta có  hoặc  hoặc  thì tam giác ABC đều.

• Trong tam giác đều, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường cao và đường phân giác của tam giác đó.

Tam giác ABC đều có AD là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Khi đó, AD là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC.

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác đều

• Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều

• Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

• Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ là tam giác đều

• Tam giác có hai góc bằng 60⁰ là tam giác đều

4. Cách vẽ tam giác đều ABC khi biết độ dài một cạnh bằng a

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB=a$.

Bước 2: Dùng ê ke có góc ${60}^0$, vẽ góc $BAx$ bằng ${60}^0$.

Bước 3: Vẽ góc $ABy={60}^0$ hai tia $Ax,By$ cắt nhau tại $C$, ta được tam giác đều $ABC$.

5. Chu vi tam giác đều

Trong đó, P là chu vi tam giác; a là độ dài ba cạnh của tam giác đó.

6. Diện tích tam giác đều

Vì tam giác ABC đều nên đường cao kẻ từ đỉnh A trùng với đường trung tuyến kẻ đỉnh A của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là: 

7. Bài tập về tam giác đều

Bài 1. Cho hình vẽ bên.

Hỏi tam giác nào là tam giác cân, tam giác nào là tam giác đều?

Hướng dẫn giải:

+ Xét ∆ABC, có: AB = BC = 2 cm.

Do đó ∆ABC cân tại B.

+ Xét ∆DEF, có: $\widehat{\mathrm{DEF}}=\widehat{\mathrm{DFE}}=60°$.

Do đó ∆DEF là tam giác đều.

+ Xét ∆MNP, có: MN = MP và $\widehat{\mathrm{MNP}}=60°$

Do đó ∆MNP là tam giác đều.

+ ∆XYZ vuông tại X: $\hat{Y}+\hat{Z}=90°$.

Suy ra $\hat{Y}=90°-\hat{Z}=90°-45°=45°$

Do đó $\hat{Y}=\hat{Z}=45°$.

Suy ra ∆XYZ cân tại X.

(Vì ∆XYZ cân tại X và có $\hat{X}=90°$, do đó ta gọi ∆XYZ là tam giác vuông cân tại X).

Vậy ở hình bên, ta có:

- Các tam giác cân là: ∆ABC (cân tại B) và ∆XYZ (vuông cân tại X).

- Các tam giác đều là: ∆DEF và ∆MNP.

Bài 2. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều ACD, BCE. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng ∆CIK là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Ta có ∆ACD đều. Suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$ (1).

Ta có ∆BCE đều. Suy ra $\widehat{\mathrm{ECB}}=60°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=\widehat{\mathrm{ECB}}$.

Do đó $\widehat{\mathrm{ACD}}+\widehat{\mathrm{DCE}}=\widehat{\mathrm{ECB}}+\widehat{\mathrm{DCE}}$

Khi đó ta có $\widehat{\mathrm{ACE}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$

Xét ∆ACE và ∆DCB, có:

AC = DC (∆ACD đều).

$\widehat{\mathrm{ACE}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$ (chứng minh trên).

CE = CB (∆BCE đều).

Do đó ∆ACE = ∆DCB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAE}}=\widehat{\mathrm{CDB}}$ và AE = DB (cặp góc và cặp cạnh tương ứng).

Vì I là trung điểm AE nên ta có AE = 2AI.

Vì K là trung điểm DB nên ta có DB = 2DK.

Mà AE = DB (chứng minh trên).

Do đó 2AI = 2DK.

Suy ra AI = DK.

Xét ∆ACI và ∆DCK, có:

AC = DC (∆ACD đều).

$\widehat{\mathrm{CAE}}=\widehat{\mathrm{CDB}}$ (chứng minh trên).

AI = DK (chứng minh trên).

Do đó ∆ACI = ∆DCK (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra CI = CK.

Do đó ∆CIK cân tại C (*).

Ta có $\widehat{\mathrm{ACI}}=\widehat{\mathrm{DCK}}$ (vì ∆ACI = ∆DCK).

Do đó $\widehat{\mathrm{ACD}}+\widehat{\mathrm{DCI}}=\widehat{\mathrm{DCI}}+\widehat{\mathrm{ICK}}$

Ta suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=\widehat{\mathrm{ICK}}$.

Mà $\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$(∆ACD đều).

Do đó $\widehat{\mathrm{ICK}}=\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$ (**).

Từ (*), (**), ta suy ra ∆CIK là tam giác đều.

Bài 3. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau.

A. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau;

B. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó hai góc bằng nhau;

C. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có một góc bằng 60°;

D. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Bài 4. Cho hình bên.

Chọn đáp án đúng.

A. ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác đều;

B. ∆OMN là tam giác đều;

C. ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác cân;

D. Cả hai đáp án B, C đều đúng.

Bài 5. Cho $\widehat{\mathrm{xOy}}=120°$. Lấy điểm A thuộc tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$. Kẻ AB ⊥ Ox tại B, AC ⊥ Oy tại C. Hỏi ∆ABC là tam giác gì?

A. ∆ABC là tam giác cân tại A;

B. ∆ABC là tam giác cân tại B;

C. ∆ABC là tam giác là cân tại C;

D. ∆ABC là tam giác đều.

Bài 6. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc canh AB sa cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Hỏi ∆IBC là tam giác gì?

A. ∆IBC là tam giác cân tại I;

B. ∆IBC là tam giác cân tại B;

C. ∆IBC là tam giác cân tại C;

D. ∆IBC là tam giác đều.

Bài 7. Cho hình vẽ.

Tam giác đều trong hình vẽ bên là:

A. ∆MNP;

B. ∆PNH;

C. ∆MPH;

D. ∆MNH.

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân)

BD = CD ($\Delta BCD$ đều)

Cạnh AD chung

Do đó: $\Delta ABD=\Delta ACD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc tương ứng)

Mặt khác, $\Delta BCD$ đều nên $\widehat{BDC}={60}^o={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2={30}^o$

Vậy $\widehat{BDA}={30}^o$.

Bài 9: Vẽ tam giác đều ABC có AB = AC = BC = 6cm

Lời giải:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 6 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 10: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh: MEF là tam giác đều.

Lời giải:

$∆$AMD =$∆$DCMB (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{BAM}$, AD = CB, AE = CF

Có: $∆$MAE =$∆$MCF (c.g.c)

$\Rightarrow$ ME = MF, $\widehat{AME}=\widehat{CMF}$

$\Rightarrow \widehat{EMF}={60}^o$

Mà $\Delta MEF$ cân (do ME = MF)

$\Rightarrow \Delta MEF$ đều.

Bài 11. Chọn phát biểu sai:

A. Tam giác đều có ba cạnh

B. Ba cạnh của tam giác đều bằng nhau

C. Bốn góc của tam giác đều bằng nhau

D. Tam giác đều có ba đỉnh