Ý tưởng: đưa về dạng $2x^2+(7y-1)x+6y^2-y+a=b$

Sao cho vế trái tách được thành nhân tử

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }={(7y-1)}^2-8(6y^2-y+a)$ là 1 bình phương

$\Rightarrow y^2-6y-8a+1$ là 1 bình phương

$\Rightarrow 1-8a=9\Rightarrow a=-1$

Khi đó: $\mathrm{\Delta }={(y-3)}^2\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{-7y+1-y+3}{4}=-2y+1\\ x=\frac{-7y+1+y-3}{4}=\frac{-3y-1}{2}\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x+2y-1=0\\ 2x+3y+1=0\end{array}$ hay vế trái khi đó sẽ được tách thành:

$(x+2y-1)(2x+3y+1)$

Vậy ta làm như sau:

$\iff 2x^2+6y^2+7xy-x-y-1=24$

$\iff (x+2y-1)(2x+3y+1)=24$

Đây là pt ước số cơ bản, chắc bạn tự lập bảng và tính được

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ...

Câu 2: Ước của 180 là những số nào? 

Phương pháp giải: 

1. Liệt kê tất cả các ước của 180 bằng cách chia 180 cho tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của 180.

2. Kiểm tra xem số đó có phải là ước của 180 không.

Lời giải:

180 được chia hết cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 và 180, nghĩa là chúng là các ước của 180.

Mở rộng:

Ước và bội  

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Tập hợp các bội của a được kí hiệu bởi B(a).

Tập hợp các ước của a được kí hiệu bởi Ư(a).

Ví dụ: $21$ chia hết cho 7 nên 21 là bội của 7 và 7 là ước của 21

Cách tìm ước và bội

+ Muốn tìm bội của một số tự nhiên khác 0, ta nhân số đó với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3,..

+ Muốn tìm ước của một số tự nhiên a (a > 1), ta chia số a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a có thể chia hết cho số nào; khi đó các số ấy là ước của a.

Câu 3:  Tìm giá trị của biểu thức P = $28a^{2}b - 9a{b}^2$ với a, b thoả mãn: ${(a - 3)}^2 + {(3b + 1)}^{100}$ $\le$ 0

Phương pháp giải: 

Bước 1: Phân tích điều kiện bất đẳng thức, sử dụng tính chất của bình phương và lũy thừa chẵn.

Bước 2: Giải phương trình để tìm các giá trị của $a$ và $b$.

Bước 3: Thay các giá trị này vào biểu thức và thực hiện các phép tính để tìm giá trị cuối cùng.

Lời giải:

$$\begin{gathered} {\left(a - 3\right)}^2 + {\left(3b + 1\right)}^{100} \le 0 \\ mà {\left(a - 3\right)}^2 + {\left(3b + 1\right)}^{100} \ge 0 \end{gathered}$$

Vậy biểu thức xảy ra khi

$\left\{\begin{array}{l}a - 3 = 0\\ 3b + 1 = 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a = 3\\ b = \frac{-1}{3}\end{array}\right.\right.$
$$\begin{gathered} P = 28a^{2}b - 9a{b}^2 \\ = 28.3^2 - \frac{1}{3} - 9.3.\frac{1}{9} \\ = -87 \end{gathered}$$

Câu 4: Hai xe chuyển động thẳng đều từ A đến B cách nhau 180km. Xe thứ nhất đi liên tục không nghỉ với vận tốc 30km/h. Xe thứ hai khởi hành sớm hơn xe thứ hai 1 giờ nhưng dọc đường có nghỉ 1 giờ 20 phút. Hỏi xe thứ hai phải có vận tốc là bao nhiêu để tới B cùng lúc với xe thứ nhất

Phương pháp giải: 

Bài toán này liên quan đến hai chuyển động thẳng đều của hai xe từ A đến B. Để tìm vận tốc của xe thứ hai, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính thời gian di chuyển của xe thứ nhất: Do xe thứ nhất đi liên tục không nghỉ, ta có thể tính thời gian di chuyển bằng cách lấy quãng đường chia cho vận tốc.

Tính thời gian thực tế di chuyển của xe thứ hai: Xe thứ hai khởi hành sớm hơn 1 giờ, nhưng lại nghỉ 1 giờ 20 phút. Do đó, cần tính thời gian mà xe thứ hai thực sự di chuyển.

Thiết lập phương trình để thời gian đến B của cả hai xe bằng nhau: Dựa vào thời gian di chuyển thực tế của hai xe, lập phương trình và tìm vận tốc của xe thứ hai.

Lời giải:

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 9cm; AC = 11cm. Kẻ đường cao AH, biết BH = 2,6cm. Tính CH.

Phương pháp giải: 

Để tính độ dài của đoạn $CH$, ta sử dụng kiến thức về tam giác vuông và định lý Pythagoras. Cụ thể, trong tam giác vuông $ABH$ và $ACH$, ta có thể tính độ dài đoạn $CH$ dựa vào việc biết chiều dài các cạnh khác của tam giác.

Cụ thể:

1. Xác định độ dài đoạn $AH$ (chiều cao của tam giác từ đỉnh $A$ đến cạnh $BC$) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $ABH$.

2. Sử dụng lại định lý Pythagoras trong tam giác vuông $ACH$ để tính độ dài đoạn $CH$.

Lời giải:

Trong tam giác vuông $ABH$, ta áp dụng định lý Pythagoras:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$

Thay số vào:

$9^2=A{H}^2+{2.6}^2$

$\iff 81=A{H}^2+6.76$

$\iff A{H}^2=81-6.76=74.24$

$\iff AH=\sqrt{74.24}\approx 8.62\text{cm}$

Vậy $AH \approx 8.62 \, \text{cm}$.

Bước 2: Tính độ dài đoạn $CH$

Trong tam giác vuông $ACH$, tiếp tục áp dụng định lý Pythagoras:

$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$

Thay số vào:

${11}^2={8.62}^2+C{H}^2$

$\iff 121=74.24+C{H}^2$

$\iff C{H}^2=121-74.24=46.76$

$\iff CH=\sqrt{46.76}\approx 6.84\text{cm}$

Kết luận:

Độ dài đoạn $CH \approx 6.84 \, \text{cm}$.

Câu 6: Con ngỗng và con gà cân nặng bằng con thỏ và con vịt. Vịt nặng hơn gà 2kg. Hỏi ngỗng và thỏ con nào nặng hơn và nặng mấy kg?

Phương pháp giải:

Thiết lập phương trình: Biểu diễn các thông tin đã cho dưới dạng phương trình liên hệ giữa trọng lượng của các con vật.

Lược bỏ các giá trị giống nhau: Đơn giản hóa phương trình để tìm mối liên hệ giữa trọng lượng của con ngỗng và con thỏ.

So sánh: Xác định xem con ngỗng hay con thỏ nặng hơn và chênh lệch bao nhiêu kg.

Lời giải:

Ngỗng + Gà = Thỏ + Vịt 

mà Vịt = Gà+ 2kg

=> Ngỗng + Gà = Thỏ + Gà + 2kg

Ta lược bỏ Gà còn => Ngỗng = Thỏ +2 kg

=> Ngỗng nặng hơn Thỏ và nặng hơn 2 kg

Câu 7: Cho hình vẽ, biết: Dx $\perp$ DE, $\widehat{DEF}=125°, \widehat{EFy}=145°$. Chứng tỏ Dx // Fy.

Phương pháp giải:

Để chứng minh $Dx // Fy$Dx//Fy, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và đường thẳng song song, cụ thể là:

Tính chất hai góc trong cùng phía: Nếu hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba và tạo ra hai góc trong cùng phía bù nhau, thì hai đường thẳng đó song song.

Sử dụng tính chất các đường vuông góc: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì hai đường thẳng này song song.

Lời giải:

Cách 1:

Từ E dựng đường thẳng $Ez\perp DE\Rightarrow \widehat{DEz}=90^o$

Dx//Ez (cùng vuông góc với DE)

$\Rightarrow \widehat{FEz}=\widehat{DEF}-\widehat{DEz}=125^o-90^o=35^o$

$\Rightarrow \widehat{FEz}+\widehat{EFy}=35^o+145^o=180^o$

Hai góc này ở vị trí là 2 góc trong cùng phía bù nhau => Ez//Fy

=> Dx//Fy (cùng // với Ez)

Cách 2:

Kéo dài DE và yF cắt nhau tại điểm C (như hình vẽ)

Khi đó ta có góc FEC = 180^o - 125^o = 55^o 

Góc CFE = 180^o - 145^o = 35^o

Trong tam giác ECF có:

Góc ECF = 180o - góc FEC - góc CFE

= 180^o - 55^o - 35^o = 90^o

=> EC vuông góc CF => DC vuông góc Cy

Dx vuông góc DE => Dx vuông góc DC

=> Dx // Cy => Dx // Fy (dpcm)

Câu 8: Tính bằng hai cách : 

a) (19,8 + 3,9) x 2,5 

b) (30,6 - 14,9) x 3,6

Phương pháp giải:

Bài toán yêu cầu tính hai biểu thức bằng hai cách khác nhau. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Cách 1: Thực hiện tính toán trực tiếp theo quy tắc thứ tự các phép tính (cộng/trừ trước, nhân sau).

Cách 2: Áp dụng các quy tắc phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ để thực hiện tính toán một cách đơn giản hơn.

Lời giải:

a) (19,8 + 3,9) x 2,5 

Cách 1: 

$(19,8+3,9)\times 2=23,7\times 2=47,4$

Cách 2:

$(19,8+3,9)\times 2$

$=19,8\times 2+3,9\times 2$

$=39,6+7,8=47,4$

b) ( 30,6 - 14,9 ) x 3,6

Cách 1:

$(30,6-14,9)\times 3,6=15,7\times 2=56,52$

Cách 2:

$(30,6-14,9)\times 3,6$

$=30,6\times 3,6-14,9\times 3,6$

$=110,16-53,64$

$=56,52$

Câu 9: So sánh ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{199}$ và ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{300}$

Phương pháp giải:

Biến đổi lũy thừa của số mũ lớn.

So sánh các lũy thừa của các số khác nhau.

Đặc điểm của lũy thừa với cơ số nhỏ hơn 1:

Với cơ số nhỏ hơn 1 (ví dụ $\frac{1}{5}$ và $\frac{1}{3}$​), lũy thừa càng lớn thì giá trị của biểu thức càng nhỏ. Do đó, biểu thức nào có cơ số nhỏ hơn hoặc số mũ lớn hơn sẽ có giá trị nhỏ hơn.

Lời giải:

$$\begin{gathered} 3^{300} = {\left(3^3\right)}^{100} = {27}^{100} \\ {5}^{199} < 5^{200} \\ \mathrm{mà} 5^{200} = {25}^{100} \\ \mathrm{Lại} \mathrm{có}: {25}^{100} < {27}^{100} \\ \Rightarrow 3^{300} > 5^{200} > 5^{199} \\ \Rightarrow {\left(\frac{1}{5}\right)}^{199} > {\left(\frac{1}{3}\right)}^{300} \end{gathered}$$

Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất 3x² - 5x + 3

Phương pháp giải:

Biến đổi về dạng bất đẳng thức đáng nhớ.

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 \ge 2\mathrm{ab}; \\ \mathrm{ab} \le {\left(\frac{\mathrm{a} + \mathrm{b}}{2}\right)}^2; \\ {\mathrm{a}}^{2 } + {\mathrm{b}}^2 \ge \frac{1}{2} {(\mathrm{a} + \mathrm{b})}^2 \\ \mathrm{Dấu} "=" \mathrm{xảy} \mathrm{ra} \iff \mathrm{a} = \mathrm{b} \end{gathered}$$

Lời giải:

$$\begin{gathered} 3x^2 - 5x + 3 \\ = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + 1) \\ = 3(x^2 - 2.\frac{5}{6}x + \frac{25}{36} + \frac{11}{36}) \\ = 3{(x - \frac{5}{6})}^2 + \frac{11}{12} \ge \frac{11}{12} \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi: 

$$\begin{gathered} x-{\displaystyle \frac{5}{6}}=0 \\ \Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{6}} \end{gathered}$$​

Vậy $min={\displaystyle \frac{11}{12}}$​ khi $x={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Câu 11: Cho các số hữu tỉ với mẫu dương, trong đó ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ < ${\displaystyle \frac{c}{d}}$. CMR:

a) ad < bc.

a. 

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0$

$\Rightarrow \frac{ad-bc}{bd}<0$

$\Rightarrow ad-bc<0$ (do $bd>0$)

$\Rightarrow ad<bc$ (đpcm)

b.

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}=\frac{ad-bc}{b(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $b(b+d)>0$

$\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$

--------

$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$

$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$​
Ta có đpcm.

Câu 12: Giải phương trình: $\sqrt{36x-36}-\sqrt{9x-9}-\sqrt{4x-4}=16-$$\sqrt{x-1}$

Phương pháp giải:

Rút gọn $\sqrt{x - 1}$.

Nhóm các nhân tử chung.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\ge 1$

$\sqrt{36x-36}-\sqrt{9x-9}-\sqrt{4x-4}=16-$$\sqrt{x-1}$ ​

$6\sqrt{x-1}-3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}=16$

$2\sqrt{x-1}=16$

$\sqrt{x-1}=8$

$x-1=64$

$x=65$ thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình x = 65

Câu 13: Tìm các hệ số $a$, $b$, $c$ trong phương trình: $(x^3+cx+2)(ax+b)=x^3+x^2-2$

Phương pháp giải:

Nhân phân phối hai biểu thức $(x^3 + cx + 2)$ và $(ax + b)$.

So sánh hệ số của các bậc $x^3$, $x^2$, $x^1$, và hằng số $x^0$ từ kết quả phép nhân với biểu thức ở vế phải.

Giải hệ phương trình để tìm $a$, $b$, $c$.

Lời giải:

Ta nhân hai biểu thức $(x^3 + cx + 2)(ax + b)$:

 $(x^3+cx+2)(ax+b)=x^3(ax+b)+cx(ax+b)+2(ax+b)$

$= (a{x}^4+b{x}^3)+(ca{x}^2+bcx)+(2ax+2b)=a{x}^4+b{x}^3+ca{x}^2+bcx+2ax+2b$

So sánh với biểu thức ở vế phải $x^3 + x^2 - 2$, ta thấy:

Hệ số của $x^4$ phải bằng 0, nên $a = 0$.

Hệ số của $x^3$ là $b$, nên ta có $b = 1$.

Hệ số của $x^2$ là $ca$, và vế phải có hệ số của $x^2$ là 1, nên $c = 1$ (vì $a = 0$ đã được tìm ở trên).

Hệ số của $x^1$ là $bc + 2a$, ta biết $b = 1$, $a = 0$, nên $bc = 1$.

Hằng số $2b$ phải bằng $-2$, suy ra $2b = -2$, từ đó $b = 1$.

Câu 14: Cho a - b = 7. Tính giá trị biểu thức $a^2(a + 1) - b^2(b - 1) + ab - 3ab(a - b +1)$

Phương pháp giải:

Khai triển các biểu thức có dạng $a^2(a+1)$, $b^2(b-1)$, và $3ab(a-b+1)$.

Sắp xếp lại các hạng tử giống nhau.

Sử dụng điều kiện $a - b = 7$ để đơn giản hóa và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải:

Ta có : A = a²(a - 1) - b²(b - 1) + ab - 3ab(a - b + 1)

<=> a³ - a² + b² - b³ + ab - 3a²b + 3ab² - 3ab

<=> (a³ - 3a²b + 3ab² - b³) + (a² - 2ab + b²)

<=> (a - b)³ + (a - b)²

<=> 7³ + 7² = 392 (Vì a - b=7)

Vậy A = 392

Câu 15: Một chuyển động trong nửa quãng đường đầu, chuyển động có vận tốc không đổi v1, trong nửa quãng đường còn lại có vận tốc v2. Tính vận tốc trung bình của nó trên toàn bộ quãng đường. Chứng tỏ vận tốc trung bình này không lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v1 và v2.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính vận tốc:     

Trong đó:

s: là độ dài quãng đường vật đi được

t: là khoảng thời gian vật đi hết quãng đường đó

v: là vận tốc của vật

Lời giải:

Ta có:

t₁ = $\frac{S_1}{v_1}=\frac{S}{2v_1}$​

$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}$​

Vận tốc trung bình của người đó là:

$v_{tb}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{v_2+v_1}{2v_1{v}_2}}=\frac{2v_1{v}_2}{v_2+v_1}$​​

Lấy vtb-trung bình cộng 2 v ta có:

$\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{4v_1{v}_2-v_1^2-2v_1{v}_2-v_2^2}{2(v_1+v_2)}=\frac{-(v_1^2-2v_1{v}_2+v_2^2)}{2(v_1+v_2)}$​

$=\frac{-{(v_1-v_2)}^2}{2(v_1+v_2)}$

-(v1-v2)2<0 và 2*(v2+v1)>0 nên ta suy ra

Vận tốc trung bình này ko bao giờ lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v1 và v2.

Câu 16: Tính X = $(6\frac{3}{5} : 6 - 0.125 x 8 + 2\frac{2}{15} x 0.03) x \frac{11}{4}$

Phương pháp giải:

Chuyển các số thập phân về dạng phân số.

Thực hiện tính toán: nhân chia trước, cộng trừ sau.

Lời giải:

${\displaystyle x=(6\frac{3}{5}:6-0,125\times 8+2\frac{2}{15}\times 0,03)\times \frac{11}{4}}$

${\displaystyle x=(\frac{33}{5}:6-1+\frac{32}{15}\times \frac{3}{100})\times \frac{11}{4}}$

${\displaystyle x=(\frac{11}{10}-1+\frac{8}{125})\times \frac{11}{4}}$

${\displaystyle x=\frac{41}{250}\times \frac{11}{4}}$

${\displaystyle x=\frac{451}{1000}}$

${\displaystyle x=0.451}$

Câu 17: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{x - {\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x^2 + 2x + 1}{x}} - {\displaystyle \frac{2x + 2}{x}}}$

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của mẫu số sao cho mẫu khác 0.

Điều kiện để biểu thức xác định là mẫu số phải khác 0, tức là:

$\frac{x-\frac{1}{x}}{x^2+2x+1}-\frac{2x+2}{x}$phải có mẫu khác 0. 

Giải các điều kiện của mẫu số để xác định giá trị của $x$.

Lời giải:

Vậy với điều kiện x ≠ 0 và x  ≠   ± 1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến x.

Câu 18: Tính hợp lí:

a, (44.52.60) : (11.13.15)

b, (123.456456) - (456.123123)

c, (98.7676-9898.76) : (2001.2002.2003.....2010)

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử

Rút gọn phân số về dạng tối giản

Lời giải:

a) (44.52.60) : (11.13.15)

= (4.11.4.13.4.15) : (11.13.15)

= (64.11.13.15) : (11.13.15) = 64

b) (123.456456) - (456.123123)

= 123.456.1001 - 456.123.1001 = 0

c) (98.7676-9898.76) : (2001.2002.2003.....2010)

= (98.76.101 - 98.101.76) : (2001.2002....2010)

= 0 : (2001.2002....2010) = 0

Câu 19: Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 8dm, chiều rộng 75cm và chiều cao là 40cm. Tính diện tích xung quanh của bể cá.

Phương pháp giải:

Giả sử hình hộp chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b và chiều cao là h.

Muốn tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ta lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao (cùng đơn vị đo).

Sxq = (a + b) × 2 × h

Lời giải:

Đổi 8 dm = 80 cm 

Diện tích xung quanh bể cá là:

$2\times 40\times (80+75)=12400$ (cm²)

Câu 20: Chứng minh rằng: Phân số $\frac{2n + 1}{2n(n + 1)}$ tối giản với mọi n $\in$ N

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng phân số $\frac{2n + 1}{2n(n + 1)}$ là phân số tối giản với mọi n thuộc N, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số là 1.

Lời giải:

Câu 21: Tam giác ABC có cos(A + B) = $\frac{-1}{8}$, AC = 8, BC = 10. Hỏi AB = ?

Phương pháp giải: 

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b²= c²+ a²– 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Lời giải:

Ta có: $cos(A+B)=cos(\pi -C)=-cosC$

$\Rightarrow -cosC=-\frac{1}{8} \Rightarrow \cos C = \frac{1}{8}$

Áp dụng định lý $cosin$ ta được:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AB.BC.cosC$

$=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\frac{1}{8}=144$

$\Rightarrow AB = 12$

Câu 22: Giải phương trình: $2^2.x:2^2 = 10.2^4 + 6.2^4$

Phương pháp giải: 

Sử dụng các bước đơn giản hóa phương trình bằng cách khai triển và rút gọn các hằng số và lũy thừa của 2.

Lời giải:

2².x:2² = 160+96 = 256 = 16²             

2².x = 16².2² = 1024

x = 1024:2²  

x = 256 = 16²

Câu 23: Tìm những giá trị nguyên dương của x thỏa mãn: $\frac{1}{3}<\frac{9}{x}<\frac{1}{2}$

Phương pháp giải: 

Nhân cả tử và mẫu của 2 vế cho 9 sao cho 3 phân số có cùng tử.

Khi tử bằng nhau xét phần mẫu và tìm x.

Lời giải:

Ta có $\frac{1}{3}<\frac{9}{x}<\frac{1}{2}$​

$\Rightarrow \frac{9}{27}<\frac{9}{x}<\frac{9}{18}$​

$\Rightarrow 27>x>18$

Vì $x\in Z\Rightarrow x\in \{19,20,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},26\}$

Vậy ....

Câu 24: Chứng minh định lí : Nếu n² chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5?

Phương pháp giải: 

Sử dụng phương pháp phản chứng, tức là giả sử mệnh đề ngược lại đúng rồi tìm ra mâu thuẫn, từ đó chứng minh được mệnh đề ban đầu là đúng.

Lời giải:

Giả sử với n là số tự nhiên và n² chia hết cho 5 thì n không chia hết cho 5

=> n có dạng: 5k + a với a = 1; 2; 3; 4

khi đó: $n^2=25k^2+\mathrm{2.5.}a\mathrm{.}x+a^2$ với k nguyên

ta thấy: 

mà với a = 1; 2; 3; 4 thì 

$\Rightarrow n^2$ ko chia hết cho 5 (vô lý)

=> giả sử điều sai

=> Với n là số tự nhiên và n² chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5

Câu 25: Rút gọn biểu thức: A = (a + b + c)³ + (a - b - c)³ - 6a(b + c)²

Phương pháp giải: 

Khai triển các biểu thức mũ ba và nhóm các hạng tử.

Sử dụng hằng đẳng thức 

Lập phương của một tổng:

+ Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

Lập phương của một hiệu:

+ Với A, B là hai biểu thức bất kì, ta có:

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

 Bình phương của một tổng:

+ Trong trường hợp A, B là những biểu thức tùy ý, ta cũng có:

(A + B)² = A² + 2AB + B².

Rút gọn các hạng tử tương đương.

Lời giải:

A = (a + b + c)³ + (a - b - c)³ - 6a(b + c)²

 = a³ + 3a²(b + c) + 3a(b + c)² + (b + c)³ + a³ − 3a²(b + c) + 3a(b + c)² − (b + c)³−6a(b + c)²

$=2a^3+6a{(b+c)}^2-6a{(b+c)}^2$

$=2a^3$

Câu 26: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc v₁ = 12km/h. Nếu người đó tăng vận tốc lên 3km/h thì đến sớm hơn 1h

Câu 27: So sánh