Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 87)

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh EF = AH.

b) Chứng minh AI vuông góc EF.

c) Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm HC. Chứng minh EMNF là hình thang vuông.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90°$ nên EAFH là hình chữ nhật

Suy ra EF = AH (hai đường chéo của một hình chữ nhật)

b) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI

Suy ra AI = $\frac{1}{2}BC$ = BI = IC

⇒ΔIAB cân tại I nên $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$ (1)

EAFH là hình chữ nhật suy ra EF = AH

Gọi O là giao điểm EF và AH

Suy ra EO = OF = OA = OH hay tam giác EOA cân tại O

Nên $\widehat{OEA}=\widehat{OAE}$(2)

Mà $\widehat{IBA}+\widehat{OAE}=90°$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{IAE}+\widehat{OEA}=90°$ hay AI ⊥ EF

c) Xét tam giác EBH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ EM = MB = $\frac{1}{2}BH$

⇒ ΔEMB cân tại M

⇒ $\widehat{MBE}=\widehat{MEB}$

Mà $\widehat{MBE}+\widehat{ACB}=90°$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$\widehat{ACB}=\widehat{AEO}$(=$\widehat{AHO}$ )

⇒ $\widehat{BEM}+\widehat{AEO}=90°$

⇒ $\widehat{MEF}=180°-90°=90°$

Suy ra: ME vuông góc với EF tại E

Chứng minh tương tự: NF vuông góc với EF tại F

Xét tứ giác MEFN có ME ⊥ EF; NF ⊥ EF

Suy ra: ME // NF

⇒ MENF là hình thang

Đồng thời $\widehat{MEF}=\widehat{EFN}=90°$

⇒ MEFN là hình thang vuông tại E và F.