Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 13)

Câu 1: Cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$  và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.

a) Tìm tọa độ hai điểm A, B. Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A, B.

b) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB. (điểm O là gốc tọa độ).

Lời giải:

a) Tung độ hai điểm A, B Î (P) là:

$\left\{\begin{array}{l}{y}_A=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2=\frac{1}{2}\\ y_B=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2\end{array}\right.$

Vậy $A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)$ .

Đường thẳng (d) đi qua hai điểm $A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)$  có phương trình là:

(d): $\frac{x+1}{2+1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}$

$\iff \frac{x+1}{3}=\frac{2y-1}{3}$

$\iff y=\frac{1}{2}x+1$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=1\end{array}\right.$  là các giá trị cần tìm.

b) Ta có:

$OH=d_{O/AB}=\frac{\left|\frac{1}{2}.0-0+1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Câu 2: Cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$  và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.

a) Tìm tọa độ hai điểm A, B.

b) Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A, B.

Lời giải:

a) Tung độ hai điểm A, B Î (P) là:

$\left\{\begin{array}{l}{y}_A=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2=\frac{1}{2}\\ y_B=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2\end{array}\right.$.

Vậy $A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)$ .

b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm $A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(2;2\right)$  có phương trình là:

(d): $\frac{x+1}{2+1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{x+1}{3}=\frac{2y-1}{3} \\ \iff y=\frac{1}{2}x+1 \end{gathered}$$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=1\end{array}\right.$  là các giá trị cần tìm.

Câu 3: Cho tan a + cot a = m. Tìm m để tan² a + cot² a = 7.

Lời giải:

Ta có: tan² a + cot² a = 7

<=> (tan a + cot a)² − 2tan a.cot a = 7

<=> m² − 2.1 = 7

<=> m² = 9

<=> m = ± 3.

Vậy m = ± 3 là các giá trị cần tìm của m.

Câu 4: Cho tan a + cot a = m. Tính tan³ a + cot³ a theo m.

Lời giải:

Ta có:

• tan² a + cot² a

= (tan a + cot a)² − 2tan a.cot a

= m² − 2.1

= m² − 2

• tan³ a + cot³ a

= (tan a + cot a)(tan² a − tan a.cot a + cot² a)

= m.(m² − 2 − 1)

= m.(m² − 3)

= m³ − 3m

Câu 5: Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}$ .

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.

b) Rút gọn A.

c) Tìm x để $A=\frac{-3}{4}$ .

d) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên.

e) Tìm giá trị của A khi x² − 9 = 0.

Lời giải:

a) Ta có

$$\begin{gathered} A=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x} \\ =\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{2-x} \end{gathered}$$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ 2-x\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 2\end{array}\right.$ .

b)

c) Để $A=\frac{-3}{4}$  thì:

d) Ta có: $A=\frac{x-4}{x-2}=\frac{x-2-2}{x-2}=1-\frac{2}{x-2}$

Vì 1 Î ℤ nên để A Î ℤ thì $\frac{2}{x-2}\in \mathbb{Z}$

Þ x − 2 Î Ư (2) = {±1; ±2}

Þ x Î {0; 1; 3; 4}.

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x Î {0; 1; 3; 4}.

e) x² − 9 = 0

=> (x + 3)(x − 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x+3=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\left(KTM\right)\\ x=3\left(TM\right)\end{array}\right.$

Thay vào biểu thức A, ta có:

$A=\frac{x-4}{x-2}=\frac{3-4}{3-2}=-1$.

Câu 6: Cho biểu thức $P=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}$ . Tìm x để $P=\frac{-3}{4}$ .

Lời giải:

Ta có $P=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}$

$=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{2-x}$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ 2-x\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Để $P=\frac{-3}{4}$  thì:

$$\begin{gathered} P=\frac{x-4}{x-2}=\frac{-3}{4} \\ \iff 4\left(x-4\right)=-3\left(x-2\right) \\ \iff 4x-16=-3x+6 \\ \iff 7x=22 \end{gathered}$$

$\iff x=\frac{22}{7}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x=\frac{22}{7}$  thì $P=\frac{-3}{4}$ .

Câu 7: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu bỏ chữ số 0 ở tận cùng bên phải số đó ta được số mới mà hiệu của số mới và số đã cho bằng 135.

Lời giải:

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là $\overline{ab0}$ .

Ta có

Vậy số cần tìm là 150.

Câu 8: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa chữ số hàng trăm và hàng chục của số đó ta được số mới gấp 6 lần số phải tìm.

Lời giải:

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là $\overline{abc}$ .

Ta có

Với a là số tự nhiên thỏa mãn 1 $\le$ a $\le$ 9 thì:

• Với a = 1  $\overline{bc}$  = 80 (thỏa mãn)

=> $\overline{abc}$  = 180.

• Với a = 2 => $\overline{bc}$  = 160 (loại vì $\overline{bc}$  là số có 2 chữ số).

• Với a > 2 => $\overline{bc}$  > 160 (loại vì $\overline{bc}$  là số có 2 chữ số).

Vậy số cần tìm là 180.

Câu 9: Giải phương trình $9^{x^2+x-1}-{10.3}^{x^2+x-2}+1=0$ .

Lời giải:

$9^{x^2+x-1}-{10.3}^{x^2+x-2}+1=0$

$\iff {9.9}^{x^2+x-2}-{10.3}^{x^2+x-2}+1=0$ (*)

Đặt $t=3^{x^2+x-2}\left(t>0\right)$  thì phương trình (*) trở thành:

$(*)\iff 9t^2-10t+1=0$

<=> (9t − 1)(t − 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}9t-1=0\\ t-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{9}\\ t=1\end{array}\right.$

• Với  $t=\frac{1}{9}\Rightarrow 3^{x^2+x-2}=\frac{1}{9}$

• Với $t=1\Rightarrow 3^{x^2+x-2}=1$

Vậy nghiệm của phương trình là x Î {−2; −1; 0; 1}.

Câu 10: Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

Giả sử a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

=> 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

=> 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

=> (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) ≥ 0

=> (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0 (luôn đúng).

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Câu 11: Cho a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh a = b = c.

Lời giải:

Ta có: a² + b² + c² = ab + bc + ca

=> 2(a² + b² + c²) = 2(ab + bc + ca)

=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

=> (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0

=> (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

$\left\{\begin{array}{l}{\left(a-b\right)}^2=0\\ {\left(b-c\right)}^2=0\\ {\left(c-a\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.\iff a=b=c$ (đpcm).

Câu 12: Cho hình thoi ABCD, có $\widehat{A}=60°$ . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 5 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc một đường tròn

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BD $\Rightarrow ID=IB=\frac{BD}{2}$  (1)

Xét tam giác ABD có $\widehat{A}=60°$  và AB = AD nên ∆ABD đều Þ AB = BD

+) E và I là trung điểm của BA và BD nên EI là đường trung bình của ∆BAD

$\Rightarrow EI=\frac{AD}{2}$ (2)

+) Tương tự $HI=\frac{AB}{2}$  (3)

Chứng minh tương tự ta có tam giác BDC đều và $GI=\frac{BC}{2};FI=\frac{CD}{2}$  (4)

Mặt khác $AB=BC=CD=DA=BD$  (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra IB = ID = IE = IH = IG = IF

Vậy 5 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính BD.

Câu 13: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60°. Gọi E, P, G, H lần lượt của trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, P, G, H, B, D cùng thuộc 1 đường tròn

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của BD  $\Rightarrow OD=OB=\frac{BD}{2}$(1)

Xét tam giác ABD có $\widehat{A}=60°$  và AB = AD nên ∆ABD đều Þ AB = BD

+) E và O là trung điểm của BA và BD nên EO là đường trung bình của ∆BAD

$\Rightarrow EO=\frac{AD}{2}$ (2)

+) Tương tự $HO=\frac{AB}{2}$  (3)

Chứng minh tương tự ta có tam giác BDC đều và $GO=\frac{BC}{2};PO=\frac{CD}{2}$  (4)

Mặt khác $AB=BC=CD=DA=BD$  (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra OB = OD = OE = OH = OG = OP

Vậy 5 điểm E, P, G, H, B, D cùng thuộc đường tròn tâm O, bán kính BO.

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC. Vẽ BM, CN cùng vuông góc với d. Chứng minh: ∆BAM = ∆CAN.

Lời giải:

Xét tam giác ACN vuông tại N

$\Rightarrow \widehat{NCA}+\widehat{NAC}=90°$ (1)

Mà $\widehat{NAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90°$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{NCA}=\widehat{MAB}$  (hai góc cùng phụ với $\widehat{NAC}$)

Xét ∆NCA và ∆MAB vuông tại N và M có:

$\widehat{NCA}=\widehat{MAB}$ (cmt)

AC = BA (hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân)

Do đó ∆NCA = ∆MAB (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy ∆BAM = ∆CAN (đpcm).

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng d (B, C nằm cùng phía đối với d). Kẻ BM và CN vuông góc với d. Chứng minh rằng:

a) ∆BAM = ∆CAN.

b) MN = BM + CN.

Lời giải:

a) Xét tam giác ACN vuông tại N

$\Rightarrow \widehat{NCA}+\widehat{NAC}=90°$ (1)

Mà $\widehat{NAC}+\widehat{MAB}=180°-\widehat{BAC}=90°$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{NCA}=\widehat{MAB}$  (hai góc cùng phụ với $\widehat{NAC}$)

Xét ∆NCA và ∆MAB vuông tại N và M có:

$\widehat{NCA}=\widehat{MAB}$ (cmt)

AC = BA (gt)

=> ∆NCA = ∆MAB (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy ∆BAM = ∆CAN (đpcm).

b) ∆NCA = ∆MAB => BM = AN và CN = AM (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

=> MN = MA + AN = CN + BM

Vậy MN = BM + CN (đpcm)

Câu 16: Số nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x − 2 = 0 trên khoảng (0; 20π) là bao nhiêu?

Lời giải:

cos 2x + 3sin x − 2 = 0

<=> 1 − 2sin² x + 3sin x − 2 = 0

<=> − 2sin² x + 3sin x − 1 = 0

<=> 2sin² x − 3sin x + 1 = 0

<=> (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0

+) TH1: sin x = 1

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Với x $\in$ (0; 20π)

$$\begin{gathered} \Rightarrow 0<\frac{\pi }{2}+k2\pi <20\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \frac{-1}{4}<k<\frac{39}{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

=> 0 $\le$ k $\le$ 9 (k $\in$ ℤ)

Vậy TH1 cho 10 nghiệm x thỏa mãn

+) TH2: $\sin x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k_{1}2\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ x=-\frac{\pi }{6}+k_{2}2\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right.$

Với x $\in$ (0; 20π)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}0<\frac{\pi }{6}+k_{1}2\pi <20\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ 0<-\frac{\pi }{6}+k_{2}2\pi <20\pi \left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{-1}{12}<k_1<\frac{119}{12}\left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ \frac{1}{12}<k_2<\frac{121}{12}\left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}0\le k_1\le 9\left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ 1\le k_2\le 10\left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy TH2 cho 20 nghiệm x thỏa mãn.

Vậy có 30 nghiệm của x thỏa mãn phương trình.

Câu 17: Giải phương trình: cos 2x + 3sin x − 2 = 0.

Lời giải:

cos 2x + 3sin x − 2 = 0

<=> 1 − 2sin² x + 3sin x − 2 = 0

<=> − 2sin² x + 3sin x − 1 = 0

<=> 2sin² x − 3sin x + 1 = 0

<=> (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0

• TH1: sin x = 1

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

• TH2: $\sin x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{6}+k2\pi \right\}$  là tập nghiệm của phương trình với (k Î ℤ).

Câu 18: Tính sin x, cos x, tan x, cot x biết $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ .

Lời giải:

$$\begin{gathered} \sin x+\cos x=\sqrt{2} \\ \iff \sin x=\sqrt{2}-\cos x \end{gathered}$$

Lại có: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Khi đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1;\cot x=\frac{1}{\tan x}=1$ .

Câu 19: Cho $\sin x+\cos x=\frac{2}{3}$ . Hãy tính: A = sin x.cos x.

Lời giải:

Câu 20: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA vuông góc (ABCD), SC hợp với đáy một góc 45° và AB = 3a, BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Ta có SA $\perp$ (ABCD)

$\Rightarrow \widehat{\left(SC,\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{SCA}=45°$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=5a$.

Trong ∆SAC vuông tại A

$\Rightarrow SA=AC.\tan \widehat{SCA}=5a.\tan 45°=5a$.

Khi đó, thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}SA.AB.BC$

$=\frac{1}{3}.5a.3a.4a=20a^3$

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với đáy một góc 45° và $SC=2a\sqrt{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Ta có SA $\perp$ (ABCD) => SA $\perp$ AC

=> ∆SAC vuông cân tại A

$\Rightarrow SA=AC=\frac{SC}{\sqrt{2}}=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2a$.

Xét tam giác vuông ABC ta có:

$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$.

Khi đó, thể tích khối chóp S.ABCD là:

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}SA.AB.BC \\ =\frac{1}{3}.2a.a.a\sqrt{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Câu 22: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\widehat{AMB}=60°$ . Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB

Lời giải:

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác MAB cân tại M.

Mặt khác $\widehat{AMB}=60°$  nên tam giác MAB đều.

Theo giả thiết có chu vi tam giác ABM là:

3.AB = 18 <=> AB = 6 (cm)

Câu 23: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\widehat{AMB}=60°$ . Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính đường tròn.

Lời giải:

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác MAB cân tại M

Mặt khác $\widehat{AMB}=60°$  nên tam giác MAB đều

Theo giả thiết có chu vi tam giác ABM là:

3.AB = 24 <=> AB = 8 (cm)

=> MA = MB = AB = 8 cm.

Lại có $\widehat{AMO}=\frac{1}{2}\widehat{AMB}=30°$  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tam giác vuông MAO có:

$\tan \widehat{AMO}=\frac{OA}{MA}\Rightarrow OA=MA.\tan 30°=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(cm\right)$

Câu 24: A \ B được gọi là phần bù của B trong A khi nào?

A. A $\in$ B;

B. B $\subset$ A;

C. A $\ni$ B;

D. A $\subset$ B.

Lời giải:

Theo lý thuyết khi B ⊂ A thì A \ B được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là C_AB.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 25: $\left|A\right|-\left|B\right|\le \left|A-B\right|$ . Dấu “=” xảy ra khi nào?

Lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi A = B.

Câu 26: a) Tìm BC của 4 và 6.

b) Tìm ƯC của 10 và 20.

Lời giải:

a) Ta có: 4 = 2²; 6 = 2.3

BCNN(4, 6) = 2².3 = 12

=> BC(4, 6) = B(12) = {0; 12; 24; 36; …}.

b) Ta có: 10 = 2.5; 20 = 2².5

=> ƯCLN(10, 20) = 2.5 = 10

=> ƯC(10, 20) = Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

Câu 27: Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN: 10; 20 và 70.

Lời giải:

Ta có: 10 = 2.5; 20 = 2².5; 70 = 2.5.7

ƯCLN(10, 20, 70) = 2.5 = 10

=> ƯC(10, 20, 70) = Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 4), B(−1; 4), C(−5; 1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì:  $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

$$\begin{gathered} \iff \left(x_D+5;y_D-1\right)=\left(2+1;4-4\right) \\ \iff \left(x_D+5;y_D-1\right)=\left(3;0\right) \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_D+5=3\\ y_D-1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_D=-2\\ y_D=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy D(−2; 1).

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(−4; 2), B(2; 4), C(8; −2). Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì:  $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

$$\begin{gathered} \iff \left(x_D-8;y_D+2\right)=\left(-4-2;2-4\right) \\ \iff \left(x_D-8;y_D+2\right)=\left(-6;-2\right) \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_D-8=-6\\ y_D+2=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_D=2\\ y_D=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy D(2; −4).

Câu 30: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$.

Lời giải:

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

$\iff 2\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$ (Với I là trung điểm của AC)

<=> 2MI = BA.

Vậy M thuộc đường tròn tâm I đường kính BA với I là trung điểm của AC.

Câu 31: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong trường hợp sau:

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\iff B\equiv A$ (trái với giả thiết).

Vậy không có điểm M nảo thỏa mãn.

Câu 32: Cho phương trình x² − (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm dương phân biệt x₁, x₂. Tìm m thỏa mãn $\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|$ có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ x_1+x_2=2m+5>0\\ x_1{x}_2=2m+1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4m^2+12m+21>0\\ m>-\frac{5}{2}\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow m>-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Đặt $A=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|>0$

Vậy GTNN của $\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|$  bằng $\sqrt{3}$  khi m = 0.

Câu 33: Cho phương trình: x² − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biết với mọi m.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 2 < x₂.

Lời giải:

a) Ta thấy: ${\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2-\left(2m-5\right)=m^2-4m+6$

$={\left(m-2\right)}^2+2\ge 2>\mathrm{0,}\forall m\in ℝ$

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m thực

b) Áp dụng định lý Vi-ét với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=2m-5\end{array}\right.$

Khi đó, để x₁ < 2 < x₂ Û (x₁ − 2)(x₂ − 2) < 0

<=> x₁x₂ − 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

<=> 2m − 5 − 4(m − 1) + 4 < 0

<=> − 2m + 3 < 0 

$\iff m>\frac{3}{2}$

Vậy $m>\frac{3}{2}$  là giá trị của m thỏa mãn.

Câu 34: So le ngoài là như thế nào? Lấy ví dụ.

Lời giải:

Hai góc so le trong là hai góc về hai phía đối vớí cát tuyến và nằm bên ngoài của hai đường thẳng song đó.

Ví dụ: $\widehat{EGA}=\widehat{CHF}$ .

Câu 35: Cặp góc so le trong cùng phía; cặp góc so le ngoài cùng phía; cặp góc so le trong; cặp góc đồng vị là gì?

Lời giải:

- Cặp góc so le trong cùng phía là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm ở 1 đường thẳng.

- Góc so le ngoài cùng phía là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm trên 1 đường thẳng.

- Cặp góc so le trong là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm ở 1 đường thẳng.

- Cặp góc đồng vị là những góc nằm ở vị trí giống nhau ở hai đường thẳng song song.

Câu 36: Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng?

A. Vô số đường tròn;

B. Một đường tròn;

C. Hai đường tròn;

D. Không có đường tròn nào.

Lời giải:

Không có đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 37: Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng?

A. Vô số đường tròn;

B. Một đường tròn;

C. Hai đường tròn;

D. Không có đường tròn nào.

Lời giải:

Có một và chỉ một đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 38: Cho đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 2m − 3. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định đó.

Lời giải:

(d): y = (m + 1)x + 2m − 3

= mx + x + 2m − 3

= m(x + 2) + x – 3.

Điểm cố định mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{l}x+2=0\\ y=x-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-5\end{array}\right.$

Vậy điểm cố định cần tìm có tọa độ là (−2; −5).

Câu 39: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m − 1)x + 2m − 3 luôn đi qua

Lời giải:

(d): y = (m − 1)x + 2m − 3

= mx − x + 2m − 3

= m(x + 2) − x – 3.

Điểm cố định mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{l}x+2=0\\ y=-x-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right.$

Vậy điểm cố định cần tìm có tọa độ là (−2; −1).

Câu 40: Tìm điều kiện của x để biểu thức $\frac{3x-1}{x^2-4}$  là phân thức.

Lời giải:

Ta có $\frac{3x-1}{x^2-4}=\frac{3x-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ .

Ta có: (x − 2)(x + 2) ≠ 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ x+2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne -2\end{array}\right.$.

Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ ± 2.

Câu 41: Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 6, 7, 9. Lấy 3 chữ số lập thành số a. Có bao nhiêu số a < 400?

Lời giải:

Chọn chữ số hàng trăm có 2 cách: {2; 3}.

Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 2.5.4 = 40 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42: Cho sáu chữ số: 2, 3, 5, 6, 7, 9.

a) Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau, được lập thành từ các chữ số trên?

b) Trong các số dược thành lập có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ? Bao nhiêu số chia hết cho 5?

Lời giải:

a) Để lập được số có ba chữ số với các chữ số trong mỗi số đều khác nhau thì:

• Chọn chữ số hàng trăm có: 6 cách.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy có: 6.5.4 = 120 số thỏa mãn.

b) • Số có ba chữ số nhỏ hơn 400 với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng trăm có 2 cách: {2; 3}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 2.5.4 = 40 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Số lẻ có ba chữ số với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có 4 cách: {3; 5; 7; 9}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 4.5.4 = 80 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Số có ba chữ số chia hết cho 5 với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có 1 cách: {5}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 1.5.4 = 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 43: Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.

Lời giải:

Gọi số có 6 chữ số khác nhau cần tìm là $\overline{abcdef}$ .

Ta có: 8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4.

Vậy có 2 cách chọn nhóm 3 số để làm các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn.

Ứng với 1 bộ số có 3! = 6 cách lập ra số $\overline{cde}$

Chọn ra các số còn lại a, b, f là chọn 3 trong 6 số còn lại có tính đến thứ tự, tức là có $A_6^3=120$  cách chọn.

Vậy ứng với 1 bộ số ở trên, ta có thể lập được 6.120 = 720 số.

Vậy có tất cả 720.2 = 1440 số thảo mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44: Xác định parabol y = ax² + bx + c, (a ≠ 0), biết rằng đỉnh của parabol đó có tung độ bằng −25, đồng thời parabol đó cắt trục hoành tại hai điểm A(−4; 0) và B(6; 0).

Lời giải:

Đỉnh của parabol là $\frac{-\Delta }{4a}$  nên theo bài ra ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{-\Delta }{4a}=-25\\ 16a-4b+c=0\\ 36a+6b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2-4ac=100.a\\ 16a-4b+c=0\\ 36a+6b+c=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2-4ac=100.a\\ 2a+b=0\\ 24a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a^2+96a^2=100.a\\ b=-2a\\ c=-24a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}100a^2=100.a\\ b=-2a\\ c=-24a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}a=0\left(KTM\right)\\ a=1\left(TM\right)\end{array}\right.\\ b=-2a\\ c=-24a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-24\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy parabol cần tìm là: y = x² − 2x − 24.

Câu 45: Xác định parabol (p): y = ax² + bx + c, (a ≠ 0), biết (p) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$  khi $x=\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}c=1\\ -\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\\ -\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=-a\\ b^2-4ac=-3a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=-a\\ a^2-a=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=-a\\ \left[\begin{array}{l}a=0\left(KTM\right)\\ a=1\left(TM\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\\ c=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy parabol cần tìm là (p): y = x² − x + 1.

Câu 46: Cho hai đường thẳng

(d₁): y = ax + b (a ≠ 0);

(d₂): y = a'x + b' (a' ≠ 0);

(d₁) và (d₂) song song, cắt nhau, trùng nhau khi nào?

Lời giải:

• Để (d₁) và (d₂) song song suy ra a = a' và b ≠ b'.

• Để (d₁) và (d₂) cắt nhau suy ra a ≠ a'.

• Để (d₁) và (d₂) trùng nhau suy ra a = a' và b = b'.

Câu 47: Tìm dư trong phép chia 325 cho 9.

Lời giải:

Ta có: 325 = 9 × 36 + 1.

Vậy phép chia của 325 cho 9 có thương là 36 và dư là 1.

Câu 48: Trong khoảng từ 160 đến 325 có bao nhiêu số chia hết cho 9?

Lời giải:

Số chia hết cho 9 có dạng 9k (với k Î ℤ).

Do số đó thuộc khoảng từ 160 đến 325 nên ta có:

160 < 9k < 325

$\iff \frac{160}{9}<k<\frac{325}{9}$

<=> 18 $\le$ k $\le$ 39 (với k $\in$ ℤ).

Vậy trong khoảng từ 160 đến 325 có 22 số chia hết cho 9.

Câu 49: Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1 − 2x)¹².

Lời giải:

Ta có ${\left(1-2x\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2x\right)}^k=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^k$ .

Số hạng thứ 8 theo lũy thừa tăng dần tương ứng với k = 7 là:

$C_{12}^7{\left(-2\right)}^7{x}^7=-101376x^7$.

Vậy số hạng cần tìm là $-101376x^7$ .

Câu 50: Hệ số của số hạng thứ 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn (2 + 3x)¹⁴.

Lời giải:

Ta có ${\left(2+3x\right)}^{14}=\sum _{k=0}^{14}{C}_{14}^k{2}^{14-k}{\left(3x\right)}^k=\sum _{k=0}^{14}{C}_{14}^k{2}^{14-k}{3}^k{x}^k$ .

Số hạng thứ 8 theo lũy thừa tăng dần tương ứng với k = 7 là :

$C_{14}^7{2}^{14-7}{3}^7{x}^7=C_{14}^7{2}^7{3}^7{x}^7$.

Vậy hệ số cần tìm là $C_{14}^7{2}^7{3}^7$ .

Câu 51: Cho hàm số y = (m − 1)x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Tìm m biết (d) đi qua điểm M(2; 1).

b) Viết phương trình của đường thẳng (d') đi qua điểm B(1; 3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (d') đã tìm được.

Lời giải:

a) Để đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 1) nên ta có:

(m − 1).2 + 2 = 1

<=> 2m − 2 + 2 = 1

<=> 2m = 1

$\iff m=\frac{1}{2}$

b) Đường thẳng d' có dạng (d'): ax + b (a ≠ 0).

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=5\end{array}\right.$ .

Vậy đường thẳng (d') cần tìm là (d'): y = −2x + 5.

Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, SC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Lấy F và E lần lượt là giao điểm của NM với AB và NP với BC.

Lấy G và H lần lượt là giao điểm của FE với AD và CD.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) là giao tuyến của mặt phẳng (NME) với mặt phẳng (ABCD), tức là GH.

Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC. Tìm giao điểm của (MNP) và SD.

Lời giải:

Lấy F và E lần lượt là giao điểm của NM với AB và NP với BC.

Lấy G và H lần lượt là giao điểm của FE với AD và CD.

Lấy I là giao điểm của PH và SD.

Vậy giao điểm của SD và (MNP) là giao điểm của SI và (NEIF), tức là I.

Câu 54: Một người làm 50 sản phảm thì hết 8 giờ. Hỏi người đó làm 12 giờ thì được bau nhiêu sản phẩm?

Lời giải:

Người đó làm 12 giờ thì làm được số sản phẩm là:

50 × 12 : 8 = 75 (sản phẩm)

Đáp số: 75 sản phẩm.