Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 87)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC). Kẻ BH vuông góc với d, CK vuông góc với d (H, C thuộc d).

a) Chứng minh rằng BH = AK.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: ΔBHM = ΔAKM.

c) Chứng minh ΔMHK vuông cân.

Lời giải:

a)$\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=90°$

$\widehat{BAH}+\widehat{HBA}=90°$

Suy ra:$\widehat{CAK}=\widehat{HBA}$

Xét tam giác vuông HBA và KAC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}=90°$

AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A)

$\widehat{HBA}=\widehat{CAK}$

⇒ ∆HBA = ∆KAC (g.c.g)

⇒ BH = AK

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường phân giác, đường cao

⇒$\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ ;$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\widehat{ABC}=\widehat{MAC}=90°-\widehat{ACB}$

Vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{MAC}$

Mà theo phần a có: $\widehat{HBA}=\widehat{CAK}$

⇒ $\widehat{ABC}+\widehat{HBA}=\widehat{ACB}+\widehat{CAK}=\widehat{MAC}+\widehat{CAK}$

Hay $\widehat{HBM}=\widehat{MAK}$

Xét tam giác BHM và AKM có:

BM = AM =$\frac{1}{2}BC$

$\widehat{HBM}=\widehat{MAK}$

BH = AK

⇒ ∆BHM = ∆AKM (c.g.c)

c) Theo phần b có: ∆BHM = ∆AKM nên MH = MK (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét tam giác MKC và tam giác MHA có:

MH = MK

AH = KC (vì ∆HBA = ∆KAC theo phần a)

MC = MA =$\frac{1}{2}BC$

⇒ ∆MKC = ∆MHA (c.c.c)

⇒$\widehat{KMC}=\widehat{HMA}$

Mà $\widehat{KMC}+\widehat{AMK}=90°$ (vì AM là đường cao của ABC)

Nên: $\widehat{HMA}+\widehat{AMK}=90°$ hay $\widehat{HMK}=90°$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: tam giác MHK vuông cân tại M.