Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Tổng hợp công thức tính diện tích hình tam giác 2024 đầy đủ, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Diện tích tam giác, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Tổng hợp công thức tính diện tích hình tam giác 2024 đầy đủ, chi tiết nhất

A. Các công thức tính diện tích tam giác

Với S diện tích, h chiều cao, p=(a+b+c)/2 nửa chu vi, r bán kính nội tiếp, R bán kính ngoại tiếp, trung tuyến AM, phân giác AD.

Công thức tính diện tích Tam giác vuông

 Công thức tính diện tích Tam giác đều cạnh a

Ví dụ 1: Cho tam giác Δ ABC có độ dài đường cao h = 4 cm, đáy BC = 5 cm. Tính diện tích Δ ABC ?

Lời giải:

Diện tích của tam giác Δ ABC là S_ABC = 1/2BC.h = 1/24.5 = 10 (cm²).

Ví dụ 2: Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 2m và chiều cao là 15dm.

Giải

Đổi 2m = 20 dm

Diện tích hình tam giác đó là:

20 x 15 : 2 = 150 (dm²)

Đáp số: 150 dm²

Ví dụ 3: Tính diện tích hình tam giác vuông DEG.

Giải

Diện tích hình tam giác DEG là:

$\frac{5,8\times 2,3}{2}=6,67$ (cm²)

Đáp số: 6,67 cm²

Hệ quả

Nếu Δ ABC vuông (áp dụng với hình bên trên) thì diện tích của tam giác bằng một nửa của tích hai cạnh góc vuông.

Tổng quát : S = 1/2a.c (áp dụng với kí hiệu ở hình trên).

Ví dụ: Cho Δ ABC vuông tại A có cạnh AB = 3 cm; AC = 4 cm. Tính diện tích của tam giác Δ ABC ?

Lời giải:

Diện tích của tam giác ABC là S_ABC = 1/2AB.AC = 1/2.3.4 = 6 (cm²)

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích tam giác và chứng minh hệ thức về diện tích tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

+ Đối với tam giác thường.

 S = $\frac{1}{2}a.h_a$(đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh; $h_a$ là độ dài đường cao tương ứng.

+ Đối với tam giác vuông

S = $\frac{1}{2}bc$(đơn vị diện tích)

Với b, c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh $S_{AMB}=S_{AMC}$.

Lời giải:

Ta có: M là trung điểm của BC nên BM = CM

Kẻ AH$\perp$BC tại H

Xét tam giác ABM có: AH$\perp$BC$\Rightarrow$AH$\perp$BM nên AH là đường cao của tam giác ABM.

Diện tích tam giác ABM là

$S_{AMB}=\frac{1}{2}AH.BM$ (đơn vị diện tích) (1)

Xét tam giác AMC có: AH$\perp$BC$\Rightarrow$AH$\perp$CM nên AH là đường cao của tam giác ACM.

$S_{AMC}=\frac{1}{2}AH.CM$ (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với BM = CM $\Rightarrow$  $S_{AMB}$ =$S_{AMC}$

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên là a độ dài cạnh đáy là b theo a, b.

Lời giải:

Giả sử tam giác cân cần tính diện tích là tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC = b

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC

$\Rightarrow$BH = CH = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$b

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\iff a^2=A{H}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$

$\iff A{H}^2=a^2-\frac{b^2}{4}$

$\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}$$=\sqrt{\frac{4a^2-b^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$

Diện tích tam giác ABC là

$S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}.b=\frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}$

Dạng 2: Sử dụng công thức diện tính tích tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, chứng minh hệ thức hình học.

Phương pháp giải:

+ Từ công thức $S=\frac{1}{2}ah$ ta suy ra công thức $h=\frac{2S}{a}$ và $a=\frac{2S}{h}$

a, h là độ dài đáy và chiều cao tương ứng.

+ Phát hiện quan hệ diện tích trong hình rồi sử dụng các công thức trên.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Có BC = 60cm. Đường cao AH = 40cm. Tính các đường cao BE và CF của tam giác.

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác nên H là trung điểm BC

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{60}{2}=30cm$

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\iff A{B}^2={40}^2+{30}^2$

$\iff A{B}^2=1600+900$

$\iff A{B}^2=2500$

$\Rightarrow AB=50cm$

Mà tam giác ABC là tam giác cân

$\Rightarrow AB=AC=50cm$

Diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}40.60=1200c{m}^2$

Lại có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BE.AC=\frac{1}{2}BE.50=1200c{m}^2$

$\Rightarrow BE=1200.2:50$

$\Rightarrow BE=48cm$

Tính toán tương tự $\Rightarrow CF=48cm$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh $\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1$.

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{1}{2}BE.AC=\frac{1}{2}CF.AB$

Diện tích tam giác BHC là:$S_{BHC}=\frac{1}{2}HD.BC$

Diện tích tam giác AHC là:$S_{AHC}=\frac{1}{2}HE.AC$

Diện tích tam giác AHB là:$S_{AHB}=\frac{1}{2}HF.AB$

Tỉ số diện tích của tam giác BHC và tam giác ABC là:

$\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HD.BC}{\frac{1}{2}AD.BC}=\frac{HD}{AD}$    (1)

Tỉ số diện tích của tam giác AHC và tam giác ABC là:

$\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HE.AC}{\frac{1}{2}BE.AC}=\frac{HE}{BE}$   (2)

Tỉ số diện tích của tam giác AHB và tam giác ABC là:

$\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HF.AB}{\frac{1}{2}CF.AB}=\frac{HF}{CF}$   (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

$\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}$

$\iff \frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}$

$\iff \frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$

Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất, nhỏ nhất của một hình

Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của một hình ta có thể liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Chú ý:

+ Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một số m và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình.

+ Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số M và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình.

Ví dụ 1: Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm.

Vẽ AH vuông góc với BC tại H

Theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên ta có:

$AH\le AB$

Khi đó diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\le \frac{1}{2}AB.BC$

$\Rightarrow S_{ABC}$ lớn nhất khi $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC$

Dấu “=” xảy ra khi AH$\equiv$AB hay H$\equiv$B, tam giác ABC vuông tại B

Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}3.4=6c{m}^2$

Ví dụ 2: Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = a.

Lời giải:

Đặt AC = b; AB = c

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$a^2=b^2+c^2$(định lý Py – ta – go)

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số b, c ta có:

$bc\le \frac{b^2+c^2}{2}$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\le \frac{1}{2}.\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{4}$

$S_{ABC}\le \frac{b^2+c^2}{4}$

$\iff S_{ABC}\le \frac{a^2}{4}$

Dấu “=” xảy ra$\iff$b = c

$\iff \Delta ABC$ vuông cân tại A

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là $\frac{a^2}{4}$ khi tam giác ABC là tam giác vuông cân.

C. Bài tập Diện tích tam giác

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = 3, AB = 5, cosA = .

a, Tính diện tích tam giác ABC.

b, Tính đường cao h_a của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có diện tích tam giác ABC là:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta lại có:

Bài 2: Cho tam giác ABC có  và cạnh AC = 4. Tính các cạnh còn lại, diện tích tam giác ABC và đường cao hạ từ đỉnh B.

Hướng dẫn giải:

Bài 3: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r = 5cm. Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh BC = 7cm, CA = 8cm, AB = 10cm.

Hướng dẫn giải:

+ Nửa chu vi tam giác ABC là: 

+ Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r = 5cm, nên r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích tam giác ABC là: 

Bài 4: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; -2), B(-2; 3), C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 15 và AB = 8. Diện tích, chu vi và đường cao hạ từ A của tam giác ABC lần lượt là.

Hướng dẫn giải:

+ Tam giác ABC vuông tại A

Do đó diện tích tam giác ABC là: 

+ Ta có: BC² = AB² + AC² (theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC)

Suy ra: 

Chu vi tam giác ABC là: C = AB + AC + BC = 8 + 15 + 17 = 40

+ Lại có diện tích tam giác ABC là

S =  (với h_a là độ dài đường cao hạ từ A)

Đáp án B

2. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 5, $\widehat{BAC}=60°$. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 2. Tam giác ABC có AB = 21, AC = 17, BC = 10. Tính diện tích của tam giác ABC.

Bài 3. Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 6 cm.

Bài 4. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C. Tính diện tích của tam giác mới được tạo thành.

Bài 5. Tam giác ABC có BC = a và AC = b. Tìm giá trị góc C để diện tích tam giác ABC là lớn nhất.

Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G . Chứng minh:

a) $S_{AGP}=S_{PGB}=S_{BGM}=S_{MGC}=S_{CGN}=S_{NGA}$.

b) Các tam giác GAB; GBC và GCA có diện tích bằng nhau.

Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 60cm, đường cao AH; AH = 40cm. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Tính diện tích tứ giác BDEC.

Bài 8: Tính diện tích tam giác đều có cạnh bằng a.

Bài 9: Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra vị trí điểm M trong tam giác sao cho $S_{MAB}+S_{MAC}=S_{MBC}$.

Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh:

a) $S_{BMN}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}$

b) $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$

Bài 11: Cho tam giác ABC có diện tích 30$c{m}^2$. G là trọng tâm tam giác. Tính diện tích tam giác BCG.

Bài 12: Cho tam gác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài đường cao BK.

Bài 13: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm.

a) Chứng minh BD vuông góc với CE

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Lấy M trên cạnh AC sao cho $AM=\frac{1}{3}AC$. Xác định vị trí điểm N trên BC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp ba lần diện tích MNC.

Bài 15: Các hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 10cm.  Hình nào có diện tích lớn nhất.