Phương trình mặt cầu: lý thuyết, các dạng bài tập và phương pháp giải

Gia Bảo Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 12 6.6 K 71

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương trình mặt cầu, tài liệu tổng hợp đầy đủ lí thuyết, công thức và bài tập về phương trình mặt cầu, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Phương trình mặt cầu: lý thuyết, các dạng bài tập và phương pháp giải

1. Kiến thức cần nhớ

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ và bán kính $R$ là:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ (2)

Phương trình (2) có tâm $I (- a; - b; - c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ có tâm $(a; b; c)$ và bán kính $R$ .

- Mặt cầu có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ có tâm $I (- a; - b; - c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm $a, b, c, d$ .

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính $A B$ : tâm là trung điểm của $A B$ và bán kính $R = \frac{A B}{2}$ .

- Mặt cầu đi qua $4$ điểm $A, B, C, D$ :

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm $a, b, c, d$ .

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình

${\begin{cases} I A = I B \\ I A = I C \\ I A = I D \end{cases}$

tìm a, b, c.

+) Bán kính $R = I A$ .

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính $R = I A$ .

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

3. Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. I (-1; 2; 1) và R = 3

B. I (1; -2; -1) và R = 3

C. I (-1; 2; 1) và R = 9

D. I (1; -2; -1) và R = 9

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ , ta có tâm $I (- 1; 2; 1)$ và $R = \sqrt{9} = 3$ .

Chọn A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 6 z - 2 = 0$ . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4

B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4

C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4

D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.

Hướng dẫn giải

Tài liệu VietJack

Chọn A.

Bài 3: Cho phương trình $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (3 - m) x - 2 (m + 1) y - 2 m z + 2 m^{2} + 7 = 0$ . Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.

A. $[\begin{array}{l} m < 2 \\ m > 3 \end{array}$

B. $1 \leq m \leq 3$

C. $[\begin{array}{l} m < 1 \\ m > 3 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}$

Hướng dẫn giải

Tài liệu VietJack

Chọn C.

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4

A. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 16$

B. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 4$

C. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 16$

D. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 4$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$

Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được :

$(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 16$

Chọn A.

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A.

A. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \sqrt{24}$

B. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 24$

C. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 24$

D. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 24$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$

Tâm B (2; -1; 2).

Bán kính :

$R = |\vec{A B}| = \sqrt{{(2 + 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = \sqrt{24}$

Vậy phương trình mặt cầu là:

$(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 24$

Chọn B.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là

$R = d (A; (P)) = \frac{| 2.2 - 1 + 2.1 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 2$

Vậy phương trình mặt cầu là :

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

Chọn A.

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ và điểm I (1; -2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5 \sqrt{2} .$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50.$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 50$

Hướng dẫn giải

Tài liệu VietJack

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy ra $\vec{I H} = (2 t - 2; t + 4; - t - 6)$ .

Vectơ chỉ phương của d là $\vec{u_{d}} = (2; 1; - 1)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\vec{I H} . \vec{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow$ (2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0

$\Leftrightarrow$ t = -1

Suy ra $\vec{I H} = (- 4; 3; - 5)$ .

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

R = IH

= $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 3^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5 \sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50.$

Chọn B.

Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với AB = 16.

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 76$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 76$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 66$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 56$

Hướng dẫn giải:

Tài liệu VietJack

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy ra $\vec{I H} = (t - 3; - 4 t - 2; t + 1)$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{d}} = (1; - 4; 1)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\vec{I H} . \vec{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow$ (t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0

$\Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}$ .

Suy ra $\vec{I H} = (- \frac{10}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ nên

$I H = \sqrt{{(- \frac{10}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}} = 2 \sqrt{3}$

Vì AB = 16 nên $H A = \frac{1}{2} A B = 8$

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

$I A^{2} = I H^{2} + H A^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} + 8^{2} = 76 \Rightarrow I A = 2 \sqrt{19}$

Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = $2 \sqrt{19}$

Khi đó phương trình mặt cầu là ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 76$

Chọn A.

Bài 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20 π$ .

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = \frac{110}{3}$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{110}{3}$

C. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{100}{3}$

D. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 110$

Hướng dẫn giải:

Ta có :

$d (I, (Q)) = \frac{| 2.1 - 0 + 1 + 7 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là $20 π = π r^{2} \Leftrightarrow r = 2 \sqrt{5} .$

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

$R = \sqrt{{[d (I, (Q))]}^{2} + r^{2}} = \sqrt{{(\frac{5 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{330}}{3} .$

Vậy (S):

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{110}{3}$

Chọn B.

Bài 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{cases}$ và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $(α) :$ x + 2y + 2z + 3 = 0 và $(β) :$ x + 2y + 2z + 7 = 0.

A. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

Hướng dẫn giải:

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

$d (I; (P)) = d (I; (Q)) \Leftrightarrow \frac{|t + 2. (- 1) + 2. (- t) + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{|t + 2. (- 1) + 2. (- t) + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = R$

Hay $|- t + 1| = |- t + 5|$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - t + 1 = - t + 5 \\ - t + 1 = t - 5 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ t = 3 $\Rightarrow$ I (3; -1; -3).

Thay vào phương trình khoảng cách ta được $R = \frac{2}{3}$ . Vậy phương trình mặt cầu: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

Chọn D

4. Bài tập vận dụng

Câu 1 : Mặt cầu:

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$ có tâm I là :

A. I (1 ; -2 ; 0)

B. I (-1 ; 2 ; 0)

C. I (1 ; 2 ; 0)

D. I (-1 ; -2 ; 0).

Câu 2 : Mặt cầu:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$ có tâm I là :

A. I (8 ; -2 ; 0)

B. I (-4 ; 1 ; 0)

C. I (-8 ; 2 ; 0)

D. I (4 ; -1 ; 0).

Câu 3 : Mặt cầu:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 1 = 0$ có tọa độ tâm I và bán kính R là :

A. I (2; 0; 0), $R = \sqrt{3} .$

B. I (2; 0; 0), $R = 3.$

C. I (0; 2; 0), $R = \sqrt{3} .$

D. I (-2; 0; 0), $R = \sqrt{3} .$

Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0.$

B. $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2 x - y + 1 = 0.$

C. $2 x^{2} + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} - z^{2} + 2 x - 1.$

D. ${(x + y)}^{2} = 2 x y - z^{2} - 1.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 8 y - 2 a z + 6 a = 0$ . Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?

A. $[\begin{array}{l} a = - 2 \\ a = 8 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = 2 \\ a = - 8 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = - 2 \\ a = 4 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} a = 2 \\ a = - 4 \end{array}$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 4$

B. $(x - 1) + (y - 3) + (x - 2) = 16$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 16$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 8$

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

A. $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

B. $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{6}$

C. $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

D. $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{24}$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4).

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{53} .$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 53.$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 53.$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 53.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).

A. $S = 6 π$

B. $S = \frac{2 π \sqrt{78}}{3}$

C. $S = \frac{26 π}{3}$

D. $S = 2 \sqrt{6} π$

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộc $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{1}$

A. ${(x - \frac{32}{3})}^{2} + {(y + \frac{58}{3})}^{2} + {(z + \frac{44}{3})}^{2} = 932$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 5)}^{2} = \frac{244}{9}$

C. ${(x + \frac{32}{3})}^{2} + {(y - \frac{58}{3})}^{2} + {(z - \frac{44}{3})}^{2} = 932$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 932$

ĐÁP ÁN

Tài liệu có 12 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Toán 12

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm