Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Tứ giác nội tiếp, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập

A. Lý thuyết Tứ giác nội tiếp

1. Khái niệm về tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

2. Định lý.

    + Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

    + Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), suy ra 

3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

    + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

    + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

    + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

    + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

    + Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

B. Bài tập Tứ giác nội tiếp

Bài 1. Trong các hình sau, hình nào biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình 1 biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn vì tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

Hình 2, 3, 4 không biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn vì mỗi tứ giác đều có một đỉnh không nằm trên đường tròn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 2. Cho hình vẽ dưới đây.

Khi đó số đo các góc $\widehat{DAB},\widehat{ADC}$ lần lượt bằng

A. 60° và 115°;

B. 90° và 120°;

C. 87° và 123°;

D. 123° và 87°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên:

⦁ $\widehat{DAB}+\widehat{DCB}=180°$

Do đó $\widehat{DAB}=180°-\widehat{DCB}=180°-93°=87°.$

⦁ $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$

Do đó $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-57°=123°.$

Vậy $\widehat{DAB}=87°;\widehat{ADC}=123°.$

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 3. Độ dài cạnh của hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left(O;10\sqrt{2}\text{dm}\right)$ là

A. $10\sqrt{2}$ dm;

B. $20\sqrt{2}$ dm;

C. 10 dm;

D. 20 dm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left(O;10\sqrt{2}\text{dm}\right)$ nên $OB=R=10\sqrt{2}$ (dm).

Suy ra $BD=2OB=2\cdot 10\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ (dm).

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, ta được:

AB² + AD² = BD².

Suy ra $2A{B}^2={\left(20\sqrt{2}\right)}^2$ hay 2AB² = 800, nên AB² = 400

Do đó AB = 20 (dm) (do AB > 0).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) $\widehat{MHN}+\widehat{ABC}=180°.$

b) $\widehat{AHC}=\widehat{ADC}.$

c) $\widehat{ADC}=\widehat{BAM}+90°.$

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{HMB}=\widehat{HNB}=90°$ (do AM, CN là hai đường cao cắt nhau tại H của tam giác ABC).

Do đó hai điểm M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính HB.

Khi đó tứ giác HMBN nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Vậy $\widehat{MHN}+\widehat{MBN}=180°$ hay $\widehat{MHN}+\widehat{ABC}=180°.$

b) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°.$

Mà $\widehat{MHN}+\widehat{ABC}=180°$ (câu a) nên $\widehat{ADC}=\widehat{MHN}.$

Lại có $\widehat{AHC}=\widehat{MHN}$ (cặp góc đối đỉnh) nên $\widehat{AHC}=\widehat{ADC}.$

c) Tam giác ABM, có: $\widehat{AMB}+\widehat{BAM}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{AMB}+\widehat{BAM}=90°+\widehat{BAM}.$<![endif]>

Vậy $\widehat{ADC}=\widehat{BAM}+90°.$

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm BC. Khi đó, $IB=IC=\frac{1}{2}BC.$

Ta có $\widehat{CDM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM).

Suy ra tam giác BCD vuông tại D.

Do đó $ID=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông). Suy ra IB = IC = ID.

Tương tự đối với ∆ABC vuông tại A, ta cũng có IA = IB = IC.

Do đó, IA = IB = IC = ID.

Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính BC.

b) Ta có $\widehat{MNC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM).

Suy ra MN ⊥ BC.

Xét ∆BMC có: MN ⊥ BC, CD ⊥ BM và AB ⊥ MC nên AB, MN, CD là ba đường cao của tam giác, do đó ba đường cao AB, MN, CD cắt nhau tại trực tâm K của tam giác BMC.

Vậy các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Bài 6. Người ta làm một logo có dạng hình tròn, trong đó có một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn với chiều dài và chiều rộng lần lượt là 6 cm và 4 cm (như hình vẽ).

Tính diện tích phần bị gạch chéo (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore, ta có độ dài đường chéo của hình chữ nhật là:

$\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (cm).

Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn nên đường kính của đường tròn chính là độ dài của đường chéo hình chữ nhật.

Bán kính đường tròn là: $R=\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$ (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: S_hcn = 6.4 = 24 (cm²).

Diện tích hình tròn là: S_{hình tròn} = πR² = 13π (cm²).

Diện tích phần bị gạch chéo là: S = S_tròn – S_hcn = 13π – 24 ≈ 16,84 (cm²).

Vậy diện tích phần bị gạch chéo bằng khoảng 16,84 cm².

Bài 7. Dựa vào hình vẽ, tính các góc của tứ giác ABCD

Lời giải:

Bài 8. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (H nằm ngoài cạnh BC). Tính bán kính của đường tròn.

Lời giải: