Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Số vô tỉ là gì? Phân biệt số vô tỉ với số hữu tỉ, ứng dụng của số vô tỉ, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Số vô tỉ, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Số vô tỉ là gì? Phân biệt số vô tỉ với số hữu tỉ, ứng dụng của số vô tỉ

A. Lý thuyết Số vô tỉ

 Định nghĩa

  + Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

   + Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.

Ví dụ:

   + π = 3,141592653 là số vô tỉ

   + 2,1543921 là số vô tỉ.

Phân biệt Số hữu tỉ với Số vô tỉ

Ứng dụng Số vô tỉ

Số vô tỉ là khái niệm trừu tượng và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học cũng như đời sống hàng ngày. Dưới đây là một số ứng dụng cụ thể:

a. Trong hình học và đo lường

Số π: Được sử dụng để tính chu vi và diện tích của các hình tròn. Công thức tính chu vi hình tròn là C=2πr và diện tích là A=πr². Số π là số vô tỉ với phần thập phân không kết thúc và không lặp lại, nhưng nó có ý nghĩa quan trọng trong việc tính toán kích thước của các đối tượng hình học tròn.

b. Trong vật lý và khoa học tự nhiên

Số vô tỉ thường xuất hiện trong các phương trình sóng, dao động và các hiện tượng vật lý khác. Ví dụ: các giá trị liên quan đến sóng âm, ánh sáng, và dòng điện thường bao gồm các số vô tỉ như π và e (số Euler).

c. Trong lý thuyết số và toán học cao cấp

Số vô tỉ e xuất hiện trong các công thức giải tích, đặc biệt là khi tính các đạo hàm và tích phân liên quan đến các hàm mũ và logarit. Số e = 2.718... là một số vô tỉ đóng vai trò quan trọng trong toán học cao cấp.

d. Trong công nghệ và thiết kế

Số Phi (φ = 1.618…) cũng là một số vô tỉ. Số vô tỉ này được sử dụng nhiều trong thiết kế, kiến trúc và nghệ thuật. Số Phi giúp tạo nên những tỷ lệ hài hòa trong các công trình kiến trúc nổi tiếng và trong mỹ thuật.

B. Bài tập Số vô tỉ

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các số $\frac{2}{11};0,\mathrm{232323...};0,\mathrm{20022...};\sqrt{\frac{1}{4}}$ , số vô tỉ là:

A. $\frac{2}{11}$;                  

B. 0,232323…;    

C.0,20022…;                 

D. $\sqrt{\frac{1}{4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $\frac{2}{11}=0,\left(18\right)$.

Vậy $\frac{2}{11}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $\frac{2}{11}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

• Số 0,232323… là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 0,232323… là số hữu tỉ không phải số vô tỉ.

• 0,20022… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên 0,20022… là số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$. Vì 0,5 là số thập phân hữu hạn nên $\sqrt{\frac{1}{4}}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

Vậy chọn phương án C.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sqrt{0,36}=0,6$;

B. $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=6$;

C. $\sqrt{150}=\sqrt{100}+\sqrt{50}$;

D. $\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

• $\sqrt{0,36}=0,6$ nên phương án A đúng.

• $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{36}=6$ nên phương án B đúng.

• Sử dụng máy tính cầm tay ta có $\sqrt{150}$= 12,247…; $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$=17,071…

Vì 12,247… ¹ 17,071… nên $\sqrt{150}$¹ $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$.

Do đó, phương án C sai.

•$\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  nên phương án D đúng.

Vậy chọn phương án C.

Câu 3. Số − 9 có mấy căn bậc hai?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số âm không có căn bậc hai nên số −9 không có căn bậc hai.

Vậy chọn phương án A.

Câu 4. Viết phân số $\frac{16}{15}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được:

A. 1,(06);

B. 1,(07);

C. 1,0(6);

D. 1,067.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Câu 5. Chọn phát biểu đúng.

A. Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x² = a;

B. Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x³ = a;

C. Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x = a²;

D. Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x = a³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A.

Câu 6. Điền hai số thích hợp lần lượt và chỗ chấm trong câu sau: “Vì 5² = … và 5 > 0 nên $\sqrt{...}$ = 5”.

A. 5 và 5;

B. 5 và 25;

C. 25 và 5;

D. 25 và 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân $\frac{11}{40};\frac{14}{25};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}$ Hãy chỉ ra số nào là số thập hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{11}{40}=\frac{275}{1000}=0,275$. Số 0,275 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56$. Số 0,56 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$. Số 0,(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6.

Ta có: $-\frac{4}{3}=-1,\left(3\right)$. Số –1,(3) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 3.

Vậy các số thập phân hữu hạn là $\frac{11}{40}$; $\frac{14}{25}$ và các số thập phân vô hạn tuần hoàn là $\frac{2}{3}$; $\frac{-4}{3}$

Bài 2: Tính:

a) $\sqrt{16}$;

b) $\sqrt{{(-12)}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{16}=4$ (vì 4 > 0 và 4² =16).

b) Ta có: $\sqrt{{(-12)}^2}=\sqrt{144}=12$ (vì 12 > 0 và 12² = 144).

Bài 3: Hãy dùng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$; $\sqrt{625}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta bấm liên tiếp các nút như sau:

Vậy $\sqrt{5}$ ≈ 2,2360679 và $\sqrt{625}$ = 25.

Bài 4. Sau khi sơn tường cho một bức tường hình vuông bác Minh phải trả cho thợ sơn số tiền là 1 600 000 đồng. Biết công thợ sơn cho 1 m² là 25 000 đồng. Tính độ dài cạnh bức tường đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích bức tường cần sơn là:

1 600 000 : 25 000 = 64 (m²)

Diện tích của hình vuông có cạnh a (m) là a² (m²).

Bức tường hình vuông có diện tích là 64 m² nên ta có a² = 64.

Vì cạnh hình vuông nên a không thể âm, do đó a là căn bậc hai số học của 64.

Ta có 8² = 64 và 8 > 0 nên $\sqrt{64}=8$.

Suy ra a = 8 (m).

Vậy độ dài cạnh bức tường hình vuông đó là 8 m.