Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Đường trung trực của một đoạn thẳng là gì? Tính chất của đường trung trực 2024 đầy đủ, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Đường trung trực, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là gì? Tính chất của đường trung trực

A. Lý thuyết Đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đó.

Ví dụ:Trong hình dưới đây, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB vì d vuông góc với AB lại trung điểm M của AB.

Tính chất của đường trung trực

Định lí 1: Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Với điểm C $\in$ d thì ta suy ra được CA = CB.

Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ta có: CA = CB suy ra điểm C thuộc đường thẳng d.

Chú ý: Các bước dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa:

(1) Khi vẽ hai cung tròn trên, ta phải lấy bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$AB thì hai cung tròn đó mới có hai điểm chung.

Ví dụ:

+ Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$AB (như hình vẽ dưới đây)

+ Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính ở trên (như hình vẽ dưới đây)

+ Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N (như hình vẽ dưới đây). Dùng thức vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực đoạn thẳng AB.

Chứng minh:

Hai cung tròn có cùng bán kính và cắt nhau tại M và N nên ta suy ra được MA = MB = NA = NB.

Khi đó, M và N là hai điểm cách đều hai đầu mút A và B của đoạn thẳng AB nên suy M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (Theo định lí 2).

Vậy suy ra MN là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

(2) Giao điểm của đường thẳng MN với đoạn thẳng AB là trung điểm của đoạn thẳng AB nên cách vẽ trên cũng là cách dựng trung điểm của đoạn thẳng bằng thước và compa.

Chứng minh: Từ chú ý trên ta chứng minh được MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi đó MN vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Nên suy ra MN giao với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB.

B. Bài tập Đường trung trực

Bài 1: Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm

B. CB = 20 cm

C. CB = 30 cm

D. CB = 40 cm

Lời giải:

Vì C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

Mà CA = 10 cm

Do đó CB = 10 cm.

Chọn đáp án A

Bài 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Lời giải:

Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC (gt) ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:

BM = CM (cmt)

AM chung

Do đó ΔABM = ΔACM (2 cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A

Chọn đáp án B

Bài 3: Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

A. 30°            B. 45°            C. 60°            D. 40°

Lời giải:

Bài 4: Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠ACB. Tính các góc của ΔABC

Lời giải:

Vì đường trung trực của AC cắt AB ở D nên suy ra DA = DC (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ ΔDAC là tam giác cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC

B. BM = AB

C. BM là phân giác của ∠ABC

D. BM là đường trung trực của ΔABC

Lời giải:

Vì M thuộc đường trung trực của BC ⇒ BM = MC (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

ΔBMC cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Bài 6: Chọn đáp án sai.

Cho C và D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó ta có:

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Khi đó ta có:

A. Tam giác BCD là tam giác nhọn

B. Tam giác BCD là tam giác vuông tại B

C. Tam giác BCD là tam giác vuông tại D

D. Tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Trong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho MA = MB và NA = NB.

A. Đường thẳng MN đi qua O

B. Đường thẳng MN vuông góc với AB

C. Đường thẳng MN vuông góc với AB tại O

D. Đường thẳng MN song song với AB

Lời giải:

Ta có: MA = MB nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

Tương tự NA = NB nên N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

Suy ra MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Mà O là trung điểm của AB

Vậy MN vuông góc với AB tại O.

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 16 cm; AC = 25 cm. Vẽ đường trung trực của BC cắt AC tại D. Chu vi tam giác ABD là:

A. 40 cm

B. 41 cm

C. 42 cm

D. 43 cm

Lời giải:

D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC nên DB = DC (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

Chu vi tam giác ABD là:

AB + DB + AD = AB + DC + AD = AB + (CD + AD) = AB + AC = 16 + 25 = 41 cm

Vậy chu vi tam giác ABC là 41 cm.

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 12 cm. Gọi I là trung điểm của AB. Điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho MA = 10 cm. Chọn câu sai trong các câu sau đây:

A. MB = 10 cm

B. MI = 8 cm

C. 

D. MA = MB = MI

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N và trên cạnh DC lấy các điểm E, F. Cho biết AM = MN = NB và ME, NF đều song song với AD. Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AN và MB.

Hướng dẫn giải

Xét hình chữ nhật ABCD có AB vuông góc với AD.

Mà ME và NF đều song song với AD nên suy ra ME và NF đều vuông góc với AB.

+) Xét ME vuông góc với đoạn thẳng AB nên cũng vuông góc với đoạn thẳng AN tại trung điểm M của AN nên ME là đường trung trực của đoạn thẳng AM.

+) Xét NF vuông góc với đoạn thẳng AB nên cũng vuông góc với đoạn thẳng MB tại trung điểm N của MB nên NF là đường trung trực của đoạn thẳng MB.

Bài 12: Trong hình vẽ dưới đây, cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = 7 và MB = m + 3. Tính m.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí 1, với điểm M nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì M cách đều hai đầu mút A, B nên suy ra

Điểm M nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì M cách đều hai đầu mút A, B nên suy ra

MA = MB

Hay 7 = m + 3

Do đó m = 7 - 3 = 4

Vây giá trị của m là 4.

Bài 13: Cho C, D là hai điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. CD giao AB tại E. Chứng minh hai tam giác CAD và CBD bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Hai điểm C, D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên lần lượt cách đều hai đầu mút A và B.

Suy ra CA = CB và DA = DB

Xét hai tam giác CAD và CBD có

CA = CB (cmt)

DA = DB (cmt)

CD: cạnh chung

Suy ra ∆CAD = ∆CBD (c.c.c).