Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

Van Anh Ngày: 21-11-2024 Tổng hợp kiến thức

116

Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập

A. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ . Khi đó:

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_{0}$ là:

$k = f^{'} (x_{0})$

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ là:

$y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

B. Bài tập Phương trình tiếp tuyến

Các dạng toán thường gặp

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)).

- Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)

⇒ f’( x₀).

-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại M( x₀;y₀) là:

y- y₀= f’(x₀) ( x- x₀)

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= x₀.

+ Tính y₀= f(x₀).

+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f^' (x₀ )

⇒ phương trình tiếp tuyến: y- y₀= f’(x₀) ( x- x₀)

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y₀.

+ Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm

+ Giải phương trình f(x)= y₀ ta tìm được các nghiệm x₀.

+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x₀)

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y= x³- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 )

A. y= 2x+ 3 B. y= -2x + 1 C.y= 4x+1 D. y= - 4x+1

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x²- 2

⇒ y'(0)= -2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là:

y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1

Chọn B.

Câu 2. Cho hàm số y= x² + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

A. y= 2x+1 B. y= - 6x+ 1 C. y= 4x- 7 D. y= 3x-

Hướng dẫn giải

+ Ta có: y(1) = 1²+ 2.1 – 6= -3

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2

⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là:

y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7

Chọn C.

Câu 3. Cho hàm số y= x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?

A. y= 4x+ 2 B. y = - 2x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= 6x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Xét phương trình: x³+ 4x+ 2= 2

⇔ x³+ 4x = 0 ⇔x= 0

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x² + 4

⇒ y’( 0) = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:

y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2

Chọn A.

Câu 4. Cho hàm số y= - x³ + 2x²+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?

A. y= - 2x+ 1 B. y= 3x- 2 C. y= 4x+ 1 D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) .

+ Đạo hàm y’= - 3x²+ 4x + 2

⇒ y’( 0) = 2

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1

chọn D.

Câu 5. Cho hàm số y= x²- 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ?

A. y= -x+ 1 và y= x - 2 B. y= x+ 1 và y= - x+ 3

C. y= - 2x + 1 và y= x- 2 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình :

x²- 3x+2 = 0

Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3

+ Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= - 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:

y- 0= -1( x-1) hay y= - x+ 1

+ tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2

Chọn A.

Câu 6. Cho hai đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

A. y= 3x- 5 B.y= 6x+ 1 C. y= 6x – 5 D. y= 2x+ 1

Hướng dẫn giải

+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1).

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4

⇒ y’( 1) = 6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là:

y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5

Chọn C.

Câu 7. Cho hàm số y =x⁴+ 2x²+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?

A. y= - 6x B. y= 8x C. y= - 10x D. y= 12x

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x³+ 4x

+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1.

+ ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là 1 là:

y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4

⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x

Chọn B.

Câu 8.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)²( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là

A. y= - 2x- 1 B. y= x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= x- 2

Hướng dẫn giải

+Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Từ x₀=2 ⇒ y₀= 0

+ Ta có : y= (x-1)²( x-2)= ( x²-2x+ 1) ( x- 2)

Hay y= x³- 4x²+ 5x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x²- 8x + 5

⇒ y’(2)= 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2

chọn D.

Câu 9. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là

A. y= 5x+ 8 B. y= - 2x+3 C. y= 3x+ 7 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 10 .Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀= 0 đi qua A(4; 3)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 11:Cho hàm số y=1/3 x³+x²-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y"=0 là

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Hướng dẫn giải

Ta có y'=x² +2x và y''=2x+2

Theo giả thiết x₀ là nghiệm của phương trình

⇔2x+2=0⇔x₀=-1

Và y’(-1)=-1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3

Hay y=-x-7/3

Chọn A.

Câu 12: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y= 2x²+ 4x- 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. y= 2x- 1 B. y= 3x+ 6 C. y= 4x- 2 D. y= 6x+ 3

Lời giải:

Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M( 0 ; -2)

Đạo hàm của hàm số đã cho : y’= 4x + 4

Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = 4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ; -2) là

y+ 2= 4( x- 0) hay y= 4x – 2

chọn C.

Câu 13: Đồ thị (C) của hàm số y= (x²-2)/(x+2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:

A. = 1/4 x+1 B. y= 1/2 x-1 C. y= -1/2 x-3 D. y= 2x- 1

Lời giải:

Ta có đồ thị ( C) cắt trục tung tại điểm A nên tọa độ A(0 ; -1)

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 14: Cho hàm số y= (2-2x)/(x+1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y=2x+ 2 B. y= 4x- 3 C.y= -x+ 1 D. y= - 2x- 1

Lời giải:

Giao điểm của (H) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 15: Gọi (C) là đồ thị hàm số y= x⁴– 2x²+ 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

+ Giao điểm của đồ thị hàm số ( C) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Vậy đồ thị hàm số ( C) cắt trục hoành tại hai điểm là A(1;0) và B( -1; 0). Tương ứng với hai điểm này ta viết được hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

+ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục tung là nghiệm hệ phương trình

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Vậy đồ thị hàm số (C) cắt trục tung tại một điểm là C(0; 1).

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Câu 16: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y= 2x³- 3x+ 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y= - x+ 1

A. y= 3x- 2 và y= - 2x+ 1 B. y= - 3x+1 và y= 3x- 2

C. y=3x- 3 và y= - 2x+ 1 D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( C) và đường thẳng d là:

2x³-3x + 1= - x+ 1

⇔2x³- 2x= 0 ⇔ 2x( x- 1) ( x+ 1) =0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

+ Vậy đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm là A(0; 1); B( - 1; 2) và C( 1; 0)

+ Đạo hàm của hàm số: y’= 6x²- 3

+ Tại điểm A( 0; 1) ta có y’(0) = - 3

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là;

y- 1 = -3( x- 0) hay y= - 3x+ 1

+ Tại điểm B( -1; 2) ta có: y’(-1) = 3

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B là:

y- 2= 3( x+ 1) hay y= 3x + 5

+ tại điểm C( 1; 0) ta có y’(1)=3.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm C là :

y-0= 3( x- 1) hay y= 3x – 3

chọn D.

Câu 17: Cho hàm số: y=x³-(m-1)x²+(3m+1)x+m-2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm ( 2; -1).

A. m= 1 B. m= - 2 C. m= 3 D. m= 0

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc j .

Ta có đạo hàm: y'=3x²-2(m-1)x+3m+1

Với x=1 ⇒y(1)=3m+1 ⇒y'(1)=m+6

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x=1 là:

Tiếp tuyến này đi qua A( 2; -1) nên có: -1=m+6+3m+1 ⇒m=-2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Câu 18: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y= (x-1)/(x-3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M

A. y= (- 1)/2x + 9/2 B. y= (- 9)/2 x+ 17/2

C. Cả A và B đúng D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Do khoảng cách từ M đến trục hoành là 2 nên y_M= 2 hoặc – 2

+ Nếu y_M= 2; do điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C) nên:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 19: Cho hàm số y=x-2/x=+1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4

A: y=9x+2 B: y=9x-16 C: y=9x+8 D: y=9x-2

Lời giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Câu 20: Cho hàm số y=x³+x²+x+1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng

A: y=2x+1 B: y=x+1 C: y=x+2 D: y=x-1

Lời giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M⇒ k=f’(0)=1

⇒phương trình tiếp tuyến tại M là:

Hay y=x+1

Chọn B.

Câu 21: Cho hàm số : y=√(1-x-x² ) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x₀ =1/2 .

A: y+2x-1,5=0 B: 2x-y+1,5=0 C: -2x+y+1,5=0 D: 2x+y+1,5=0

Lời giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = x² + 3x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2?

Bài 2. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 1?

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2)

Bài 4. Cho hai đường thẳng d₁: 2x+ y – 3 = 0 và d₂: x+ y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x - 1)²(x - 2) tại điểm có hoành độ x = 5.