Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Hình thang là gì? Tính chất hình thang, dấu hiệu nhận biết hình thang, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Hình thang, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Hình thang là gì? Tính chất hình thang, dấu hiệu nhận biết hình thang

A. Lý thuyết Hình thang

1. Hình thang

- Tứ giác lồi có hai cạnh đối song song là hình thang.

- Hai cạnh song song đó gọi là hai cạnh đáy.

- Hai cạnh còn lại là hai cạnh bên.

Ta có: tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang 

Hai cạnh đáy là AB và CD

Hai cạnh bên là BC và AD

- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng  

2. Hình thang cân

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Tính chất của hình thang cân:

Hình thang ABCD cân có AB // CD

+ Hai góc kề một đáy bằng nhau 

+ Hai cạnh bên bằng nhau (BC = AD)

+ Hai đường chéo bằng nhau (AC = BD)

Dấu hiệu nhận biết:

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.

3. Hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Cho hình thang ABCD có  nên hình thang ABCD là hình thang vuông

B. Bài tập Hình thang

Dạng 1. Tính số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã học về hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, . Tính số đo các góc của hình thang.

Lời giải:

Vì AB // CD nên ta có

 (hai góc trong cùng phía)

Vì AB // CD nên ta có:

Thay vào (*) ta được:

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Biết . Tính các góc của hình thang.

Lời giải

Vì AB // CD ta có:

 (hai góc trong cùng phía)

Mà ABCD là hình thang cân nên ta có:

Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Lời giải:

Vì BD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC.

Vì CE là đườg trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AB

Mà AB = AC (do tam gác ABC cân tại A)

Do đó: AD = AE

Xét tam giác AED có

AD = AE ( chứng minh trên)

Do đó: cân tại A 

Ta có:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

 (do tam giác AED cân tại A nên  )

Lại có: cân tại A nên:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (1) và (2) => 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ED //BC

=> Tứ giác BCDE là hình thang

Mặt khác: cân tại  A nên 

Vậy hình thang BCDE là hình thang cân (do có hai góc kề một đáy bằng nhau).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

Vì tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D

Do đó:  

Mà  là hai góc so le trong

Do đó: AD // BC 

Xét tứ giác ABCD ta có:

Suy ra ABCD là hình thang vuông.

Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông  đã học để giải quyết bài toán

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có , AB = AD , DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.

a) Chứng minh: ΔABD = ΔEDB 

b) Chứng minh: ΔBEC vuông cân tại E.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD =>  (hai góc so le trong)

Vì BE vuông góc với DC => 

Xét ΔABD và tam giác ΔEDB ta có:

BD chung

Do đó: ΔABD = ΔEDB (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Từ hai tam giác bằng nhau ở câu a ta có:

AB = ED; AD = EB (các cặp cạnh tương ứng)

Mà  

Suy ra E là trung điểm của CD

=> ED = AB = EC

Mà AB = AD (giả thuyết)

Nên ED = AB = EC = AD = EB 

Xét tam giác BEC có

EB = EC

Vậy ΔBEC là tam giác vuông cân tại E

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có  AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) Tam giác AGB cân tại G;

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;

c) FC = FD.

Lời giải:

a) Vì AB // CD nên ta có:

 (hai góc đồng vị)

 (hai góc đồng vị)

Mà  (do ABCD là hình thang cân)

Do đó:  

Xét tam giác AGB có:

Nên tam giác AGB là tam giác cân tại G.

b) Xét hai tam giác ABD và BAC có:

AB chung

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔABD = ΔBAC (c – c – c)

c) Ta có:

Mà  (ABCD là hình thang cân)

Do đó:  

Xét tam giác FCD có:

Suy ra tam giác FCD cân tại F

 FC = FD (điều phải chứng minh)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD,  . Tính các góc của hình thang.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AH và BK là hai đường cao của hình thang.

a) Chứng minh:

b) Biết AB = 6cm, CD = 14cm, AD = 5cm. Tính DH, AH và diện tích hình thang ABCD.

Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD. Chứng minh:

a) AK là tia phân giác góc A.

b) KC = BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4cm. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của góc 

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB.

Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = 3cm, CD = 6cm. Tính số đo góc B, góc C.

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), Hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài AB của hình thang.

Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M song song với CA cắt AB tại I. 

a) Tứ giác ACMI là hình gì?

b) AB + AC < AH + BC.

Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và số đo góc tại đỉnh A của hình bình hành là 60°. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD . Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI. Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang.

Bài 12. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AE, BD, CF đồng quy tại G. M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Tứ giác MNDF là hình gì?

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC (E ∈ AB, F ∈ AC); O là giao điểm của AH và EF. Chứng minh tứ giác EFCD là hình thang.

Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy một điểm E nằm giữa hai điểm O và B. Gọi F là điểm đối xứng với điểm A qua E và I là trung điểm của CF. Chứng minh tứ giác OEFC là hình thang.

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC. Lấy điểm E và F trên AB, AC sao cho DE ⊥ AB và DF ⊥ AC. Chứng minh tứ giác BDFE là hình thang.