Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Hàm số nghịch biến, hàm số đồng biến và các dạng bài tập, tài liệu bao gồm lý thuyết và đầy đủ các dạng bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Hàm số nghịch biến, hàm số đồng biến và các dạng bài tập

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

4. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ + 3x² – 9x – 7  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1).

B. Hàm số đồng biến trên (-9;-5).

C. Hàm số đồng biến trên R.  

D. Hàm số đồng biến trên $\left(5;+\infty \right)$

Lời giải

Tập xác định: D=R.

Ta có:

$y^{\text{'}}=3x^2+6x-9$;

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: $\left(-\infty ;-3\right),\left(1;+\infty \right)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-3;1\right)$

Chọn C.

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=-x^4+2x^2-4$ là

A. $(-1;0)$ và $(1;+\infty ).$

B. $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty ).$

C. $(-1;0)$ và $(0;1).$

D. $(-\infty ;-1)$ và $(0;1).$

Lời giải

Tập xác định: D=R

Ta có:

$y^{\text{'}}=-4{\text{x}}^3+4\text{x}$;

 $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: $\left(-\infty ;-1\right),\left(0;1\right)$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng: $\left(-1;0\right),\left(1;+\infty \right).$

Chọn A.

Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$.Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}>0,\forall x\ne -2$. Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên

Kết luận: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Chọn C.

Ví dụ  4. Cho hàm số $y=x+3+2\sqrt{2-x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ và nghịch biến trên khoảng $(-2;2).$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1;2).$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ và đồng biến trên khoảng $(-2;2).$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên khoảng $(1;2).$

Lời giải

Tập xác định: $D=\left(-\infty ;2\right]$

Đạo hàm:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=1-\frac{1}{\sqrt{2-x}}=\frac{\sqrt{2-x}-1}{\sqrt{2-x}} \\ {y}^{\text{'}}=0\iff \sqrt{2-x}=1 \\ \iff x=1\Rightarrow y=6. \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Kết luận:  hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên khoảng (1;2).

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y=\frac{x}{2}+{\sin }^{2}x,$ với $x\in \left[0;\pi \right]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\left[0;\pi \right]$.

B. Hàm số nghịch biến trên $\left[0;\pi \right]$

C. Hàm số nghịch biến trên $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

D. Hàm số nghịch biến trên $\left[\frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12}\right]$.

Lời giải

Tập xác định: $D=\left[0;\pi \right]$

Đạo hàm: 

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=\frac{1}{2}+2\sin x\cos x=\frac{1}{2}+\sin 2x\\ y^{\text{'}}=0\iff \sin 2x=-\frac{1}{2}\end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

Do  $\left\{\begin{array}{l}x\in \left[0;\pi \right]\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{11\pi }{12}\\ x=\frac{7\pi }{12}\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Chọn D.

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm .

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho .

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của  vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\infty ;0\right).$

B. $\left(1;+\infty \right).$

C. $\left(0;+\infty \right).$

D. $\left(-\infty ;1\right).$

Lời giải

Đặt $g\left(x\right)=-2018.f\left(x\right)$,

ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=-2018.f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Xét $g^{\text{'}}\left(x\right)=-2018.f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$

$\iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\iff x\ge 1$

Vậy hàm số $y=-2018.f\left(x\right)$ đồng biến trn khoảng $\left(1;+\infty \right).$

Chọn B.

Dạng 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Cho hàm y = f(x) hoặc hàm y = f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)$

- Xét dấu $g\text{'}\left(x\right)$ dựa vào dấu của $f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)$ và $u\text{'}\left(x\right)$ theo quy tắc nhân dấu.  Lưu ý khi xét dấu $f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)$ dựa vào dấu của $f\text{'}\left(x\right)$ như sau: Nếu $f\text{'}\left(x\right)$ không đổi dấu trên D thì $f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)$ không đổi dấu khi $u\left(x\right)\in D$.

Bài toán 2: Cho hàm y = f(x) hoặc y = f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x))+h(x).

Phương pháp:

- Tính $g\text{'}\left(x\right)=u\text{'}\left(x\right).f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)+h\text{'}\left(x\right)$

- Lập bảng xét dấu $g\text{'}\left(x\right)$ bằng  cách cộng dấu của hai biểu thức $u\text{'}\left(x\right).f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)$ và $h\text{'}\left(x\right)$.

Bài toán 3: Cho hàm y = f(u(x)) hoặc hàm y = f '(u(x))  xét sự biến thiên của hàm y = f(x).

Phương pháp: Giả sử  ta có: $f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)>0$$\iff x\in D$. Ta cần giải BPT $f\text{'}\left(x\right)>0$. 

- Đặt  $t=u\left(x\right)$$\Rightarrow x=v\left(t\right)$

- Giải bất phương trình:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)>0 \\ \iff f\text{'}\left(u\right(x\left)\right)>0 \\ \iff x\in D \\ \iff x=v\left(t\right)\in D \\ \iff t\in D\text{'} \end{gathered}$$

- Vậy $f\text{'}\left(x\right)>0$$\iff x\in D\text{'}$.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)$, bảng xét dấu của $f \text{'}\left(x\right)$ như sau:

Hàm số $f(5-2x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3).

B. (0;2).                    

C. (3;5).

D. (5;+∞).

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây. Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-x\right)$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $\left(\frac{1}{2};1\right)$ .

B. $\left(1;2\right)$ .                

C. $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ .

D. $\left(-\infty ;-1\right)$ .

Lời giải

(Ta cần xác định một loại dấu của $f\text{'}\left(x^2-x\right)$)

Bảng xét dấu $g^{\text{'}}\left(x\right)$:

Từ bảng xét dấu ta có hàm số g(x) đồng biến trên khoảng $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.

Chọn C.

Lưu ý: Dấu của $g^{\text{'}}\left(x\right)$ ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức $\left(2x-1\right)$ và $f^{\text{'}}\left(x^2-x\right)$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số $y=3f\left(x+2\right)-x^3+3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(1;+\infty \right)$.

B. $\left(-\infty ;-1\right)$.          

C. $\left(-1;0\right)$.

D. $\left(0;2\right)$.

Lời giải

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng $\left(-1;0\right)$ hàm số đồng biến.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên R. Hàm số $y=f\text{'}(3x-1)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(2;6\right)$ .

B. $\left(-\infty ;-7\right)$ . 

C. $\left(-\infty ;-6\right)$ .

D. $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)$ .

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 5.  Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f^{\text{'}}\left(-2x+\frac{7}{2}\right)=3x^2-12x+9$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây.

A. $\left(\frac{1}{4};\frac{9}{4}\right)$ .

B. $\left(\frac{9}{4};+\infty \right)$ .  

C. $\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ .

D. $\left(-\infty ;-\frac{5}{2}\right)$ .

Lời giải

Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$

Chọn C.

Phần II. Các bài toán có chứa tham số.

Dạng 4. Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định (khoảng xác định) của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đơn điệu trên

Bước 1: Tập xác định: D=R

Bước 2: Đạo hàm $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$

Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi $a\ne 0$).

- Hàm số đồng biến trên $ℝ\iff y^{\text{'}}\ge 0,$

$\hspace{0.17em}\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_{y^{\text{'}}}>0\\ {\Delta }_{y^{\text{'}}}\le 0\end{array}\right.$$\stackrel{}{\to }m.$

- Hàm số nghịch biến trên $ℝ\iff y^{\text{'}}\le 0,$

$\hspace{0.17em}\forall x\in ℝ$$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_{y^{\text{'}}}<0\\ {\Delta }_{y^{\text{'}}}\le 0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m.$

Lưu ý: Nếu hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  có a chứa tham số thì ta cần xét a=0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên R hay không.

- Không xét bài toán tìm m để hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm là x = 0.

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0,ad-bc\ne 0$) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}$

Bước 2:  Đạo hàm: $y^{\text{'}}=\frac{ad-bc}{{(cx+d)}^2}$

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

$\iff y^{\text{'}}>0,\forall x\in D$

$\iff ad-bc>0\stackrel{}{\to }m$

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

$\iff y^{\text{'}}<0,$$\forall x\in D$

$\iff ad-bc<0\stackrel{}{\to }m$

Lưu ý: Nếu hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có c chứa tham số thì ta nên xét c=0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không.

Mở rộng:

* Tìm tham số để hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{dx+e}$($ad\ne 0$) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{e}{d}\right\}$

Bước 2: Đạo hàm: $y^{\text{'}}=\frac{A{x}^2+Bx+C}{{(dx+e)}^2}$ với

$A=\left|\begin{array}{l}ab\\ 0d\end{array}\right|\ne 0$, $B=2\left|\begin{array}{l}ac\\ 0e\end{array}\right|,$$\hspace{0.17em}C=\left|\begin{array}{l}bc\\ de\end{array}\right|$

Bước 3: Điều kiện đơn điệu

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in D$

$\iff A{x}^2+Bx+C\ge 0,$$\forall x\in ℝ$

$\iff \left\{\begin{array}{l}A>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m$

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\iff y^{\text{'}}<0,\forall x\in D$

$\iff A{x}^2+Bx+C\le 0,$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\forall x\in ℝ$

$\iff \left\{\begin{array}{l}A<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m$

Lưu ý: Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{d{x}^2+ex+f}$  thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên.

- Đối với bài toán 2, đạo hàm chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho $y^{\text{'}}\ge 0,y^{\text{'}}\le 0.$ Lý do là nếu ta cho y'=0 thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y'=0 tại một số hữu hạn điểm x mà thôi).

* Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên R

Cách 1.

- Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$, cho $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên  (Ngược lại: $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên R)

- Cô lập m để có được dạng $g\left(m\right)\ge h\left(x\right)$

(hoặc $g\left(m\right)>h\left(x\right);$$\hspace{0.17em}g\left(m\right)\le h\left(x\right);$$\hspace{0.17em}g\left(m\right)<h\left(x\right)$).

- Tìm Max-Min cho hàm số $h\left(x\right)$ trên R (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm $h\left(x\right)$).

- Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.

Cách 2. Đặt $t=\sin x$ (hoặc $t=\cos x$) với điều kiện $t\in \left[-1;1\right].$

Bất phương trình:

$$\begin{gathered} a\sin x+b\ge 0,\forall x\in ℝ \\ \iff \underset{t=\sin x}{\underbrace{at+b\ge 0}},\forall t\in \left[-1;1\right] \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a.1+b\ge 0\\ a.\left(-1\right)+b\ge 0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hoàn toàn tương tự:

$$\begin{gathered} a\cos x+b<0,\forall x\in ℝ \\ \iff \underset{t=\cos x}{\underbrace{at+b<0}},\forall t\in \left[-1;1\right] \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a.1+b<0\\ a.\left(-1\right)+b<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m+9\right)x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)?$

A. 4

B. 6

C. 7

D. 5

Lời giải

Chọn C.

Sai lầm hay gặp là Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $\iff y\text{'}<0,\forall x\in ℝ$. Khi đó ra giải ra $-9<m<-3$ và chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số $y=\frac{x^2+\left(m+1\right)x-1}{2-x}$ (m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi các giá trị của m là:

A. $m\ge 1$.

B. $m=-1$.

C. $m\le -\frac{5}{2}$.

D. $-1<m<1$.

Lời giải

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$

Đạo hàm:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{-x^2+4x+2m+1}{{\left(2-x\right)}^2} \\ =\frac{g\left(x\right)}{{\left(2-x\right)}^2} \end{gathered}$$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi $y^{\text{'}}\le 0,\forall x\in D$

(Dấu chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên )

$\iff$$g\left(x\right)=-x^2+4x+2m+1\le 0$$\text{,\hspace{0.17em}}\forall x\in D$

Do a = -1 < 0, nên g(x) ≤ 0

$$\begin{gathered} \iff {{\Delta }^{\text{'}}}_g\le 0 \\ \iff 4-\left(-1\right).\left(2m+1\right)\le 0 \\ \iff 2m+5\le 0 \\ \iff m\le -\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Chọn C.

Dạng 5. Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng xác định K cho trước.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với  là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên K$\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in K$

- Hàm số nghịch biến trên K$\iff y^{\text{'}}\le 0,\forall x\in K$

Bước 3:

*Tìm tham số để hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  đơn điệu trên một khoảng có độ dài p.

Phương pháp:

Bước 1: Đạo hàm $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$

Bước 2:

- Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p$\iff$y' có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=p$$\iff \boxed{\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \frac{\sqrt{{\Delta }_{y^{\text{'}}}}}{\left|a_{y^{\text{'}}}\right|}=p\end{array}\right.}$.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p$\iff$y' có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=p$$\iff \boxed{\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \frac{\sqrt{{\Delta }_{y^{\text{'}}}}}{\left|a_{y^{\text{'}}}\right|}=p\end{array}\right.}$.

Lưu ý:

- Dạng này không cần điều kiện $a\ne 0,\Delta >0$  vì điều kiện $\frac{\sqrt{\Delta }}{\left|a\right|}=\underset{+}{\underbrace{p}}$  đã bao hàm hai ý trên.

-  Điều kiện $\left|x_1-x_2\right|=p$  có thể được xử lý theo hai cách chính:

+ Một là sử dụng định lí Vi-ét: $\left|x_1-x_2\right|=p$

$$\begin{gathered} \iff {x_1}^2-2x_1{x}_2+{x_2}^2=p^2 \\ \begin{array}{l}\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2-p^2=0\\ \iff {\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-4\frac{c}{a}-p^2=0\end{array} \end{gathered}$$

+ Hai là tự xây dựng công thức:  

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},$$\hspace{0.17em}{x}_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\left|\frac{b+\sqrt{\Delta }+b+\sqrt{\Delta }}{2a}\right| \\ =\frac{\sqrt{\Delta }}{\left|a\right|}=\frac{2\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{\left|a\right|} \end{gathered}$$

Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài $>p,\ge p,<p,\le p$ ” ta cũng sẽ làm tương tự.

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số nhất biến $y=\frac{ax+b}{cx+d}$$\left(c\ne 0,ad-bc\ne 0\right)$  đơn điệu trên một khoảng K cho trước (với  là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}$

Bước 2: Đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{ad-bc}{{(cx+d)}^2}$

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên K

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}>0\\ x\ne -\frac{d}{c},\forall x\in K\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}ad-bc>0\\ -\frac{d}{c}\notin K\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m\end{array}$

- Hàm số nghịch biến trên K

$$\begin{gathered} K\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}<0\\ x\ne -\frac{d}{c},\forall x\in K\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}ad-bc<0\\ -\frac{d}{c}\notin K\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m \end{gathered}$$

* Tìm tham số m để hàm số $y=\frac{a.u\left(x\right)+b}{c.u\left(x\right)+d}$$\left(c\ne 0,ad-bc\ne 0\right)$  đơn điệu trên khoảng K cho trước.

Bài toán 3. Bài toán tham số đối với những dạng hàm số khác.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên $K\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in K$

- Hàm số nghịch biến trên $K\iff y^{\text{'}}\le 0,\forall x\in K$

Bước 3:

- Biến đổi theo dạng $m\ge g\left(x\right),\forall x\in K$ (hoặc $m\le g\left(x\right),\forall x\in K$).

- Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi $x\in K$.

Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số

- Giả sử hàm g(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:

$$\begin{gathered} m\ge g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\ge \underset{ℝ}{Max}g\left(x\right) \\ m>g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m>\underset{ℝ}{Max}g\left(x\right) \\ m\le g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\le \underset{ℝ}{Min}g\left(x\right) \\ m<g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m<\underset{ℝ}{Min}g\left(x\right) \end{gathered}$$

- Nếu hàm g(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn: $M_1<g\left(x\right)<M_2$, khi đó:

$$\begin{gathered} m\ge g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\ge M_2 \\ m>g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\ge M_2 \\ m\le g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\le M_1 \\ m<g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\le M_1 \end{gathered}$$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.  (Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đề 103) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{x+2}{x+m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-5)$

A. $(2;5]$ .

B. $\text{[}2;5)$

C. $(2;+\infty )$

D. $(2;5)$

Lời giải

Ví dụ 2. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

A. $m<2$

B. $m\le 0$  hoặc $1\le m<2$

C. $1\le m<2$

D. $m\le 0$ .

Lời giải

Điều kiện: $\tan x-m\ne 0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff m\ne \tan x,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

$$\begin{gathered} \iff m\ne \tan x,\forall \tan x\in \left(0;1\right) \\ \iff m\notin \left(0;1\right)\iff \left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 1\end{array}\right.(*) \end{gathered}$$

Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Ta có $y^{\text{'}}>0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

$\Rightarrow -m+2>0\Rightarrow m<2$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\left[\begin{array}{l}m\le 0\\ 1\le m<2\end{array}\right.$

Chọn B.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y=x^3-3x^2+\left(2-m\right)x$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ là:

A. $\left(-\infty ;-1\right]$

B. $\left(-\infty ;2\right)$

C. $\left(-\infty ;-1\right)$

D. .$\left(-\infty ;2\right]$

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta thấy $m\le 2$. Vậy $m\in \left(-\infty ;2\right]$

Chọn D.

Phần III. Bài toán ứng dụng sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Đánh giá các bất đẳng thức $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[a;b\right]$ hoặc $f\left(x\right)\ge g\left(x\right),\forall x\in \left[a;b\right]$

Phương pháp

Chuyển vế để đưa bất đẳng thức về dạng $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[a;b\right]$.

Bước 1: Tính đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương).

Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:

- Nếu hàm f(x) đồng biến trên $\left[a;b\right]$ thì $\forall x\in \left[a;b\right]$, $0\le f\left(a\right)\le f\left(x\right)\le f\left(b\right).$

- Ngược lại nếu hàm f(x) nghịch biến trên $\left[a;b\right]$ thì , $f\left(a\right)\ge f\left(x\right)\ge f\left(b\right)\ge 0.$

Bài toán 2: Giải phương trình dạng $f\left(u\right)=f\left(v\right)$  với $u,v\in D$ .

Phương pháp:

Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng $f\left(u\right)=f\left(v\right)$ với $u,v\in D$, $\forall x\in \left[a;b\right]$

Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên D ($f^{\text{'}}\left(t\right)$ luôn âm hoặc luôn dương trên D).

Bước 3: Giải phương trình: $f\left(u\right)=f\left(v\right)\iff u=v$

Bài toán 3: Giải phương trình dạng $f\left(x\right)=g\left(x\right)$  có nghiệm duy nhất $x=x_0$

Phương pháp:

Bước 1: Tìm một nghiệm $x=x_0$ của phương trình (bằng tính nhẩm hoặc nhân lượng liên hợp v.v…).

Bước 2: Tính đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là hàm $f\left(x\right)$ đơn điệu trên miền xác định).

Bước 3: Chứng minh hàm số g(x) là hàm hằng hoặc đơn điệu (ngược lại hàm f(x)). Từ đó khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=x_0$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$, $\forall x\in ℝ$. Tìm tất cả các giá trị thực của x để $f\left(\frac{1}{x}\right)>f\left(2\right)$.

A. $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

B. $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

C. $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$

D. $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right)$

Lời giải

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)<0,\forall x\in ℝ$ nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên R.

Do đó:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{1}{x}\right)>f\left(2\right) \\ \iff \frac{1}{x}<2\iff \frac{1-2x}{x}<0 \\ \iff x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right) \end{gathered}$$

Chọn D.

Ví dụ 2. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để phương trình $3f\left(x^2-4x\right)=m$ có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

A. 15

B. 12.

C. 14.

D. 13.

Lời giải

Đặt $u=x^2-4x$ (1)

Ta có BBT sau:

Ví dụ 3. Khi giải phương trình: $4x^3+x-(x+1)\sqrt{2x+1}=0$, ta tìm được nghiệm có dạng $\frac{a+\sqrt{b}}{b-a},$ với a, b là các số nguyên. Hãy tính $a^2+b^2$.

Lời giải

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x³ + 6x² - 9x + 4

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x² + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x² + 12x - 9 = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Tính y' =  > 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞).

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x⁴ + 4x + 6

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = R.

Tính: y' = 4x³ + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x³ + 4 = 0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định khi: x² - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Ta có: y' = 

Cho y' = 0 ⇔  = 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Ta có: y' =  ,∀x ∈ D.

Cho y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ -x² - 4x + 5 = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1)

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có: y' = 

Cho y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ -36x² + 24x - 3 = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (-∞; 1/6) và (1/6; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1/6; 1/2)

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x² - 2x - 3|

Hướng dẫn giải

Ta có: y = |x² - 2x - 3| = 

TXĐ: D = R.

Tìm y' = 

Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x = 3.

Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3): y' = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (-∞; -1): y' < 0. Trên khoảng (3; +∞): .y' > 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞).

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; 3)

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π].

Ta có: y' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sinx = 2cosx(1 - 2sinx),x ∈ [0; π].

Trên đoạn[0; π]: y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2); (5π/6; π)