Hai đường thẳng vuông góc: Lý thuyết và bài tập vận dụng

Thanh Dung Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 23 3.3 K 8

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Hai đường thẳng vuông góc: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Tài liệu gồm đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và đa dạng bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Hai đường thẳng vuông góc: Lý thuyết và bài tập vận dụng

1. Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

- Góc giữa hai véctơ trong không gian:

Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) $\vec{u}, \vec{v}$ là góc $\hat{B A C}$ với $\vec{A B} = \vec{u}$ ; $\vec{A C} = \vec{v}$

Hai đường thẳng vuông góc: Lý thuyết và bài tập vận dụng (ảnh 1)

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Cho hai vectơ khác vectơ không $\vec{u}, \vec{v}$ :

Biểu thức $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . c o s (\vec{u}, \vec{v})$ được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$

Nếu $\vec{u}$ = $\vec{0}$ hoặc $\vec{v}$ = $\vec{0}$ thì ta quy ước $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{0}$ .

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với $d$ .

- Nếu $\vec{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì k $\vec{a}$ ( $k \neq 0$ ) cũng là vectơ chỉ phương của d.

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a^{'}$ và $b^{'}$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$

Hai đường thẳng vuông góc: Lý thuyết và bài tập vận dụng (ảnh 2)

Nhận xét:

- Ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng $a$ và $b$ , rồi vẽ một đường thẳng qua $O$ và song song với đường thẳng còn lại.

- Nếu $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$ và ( $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = α$ thì:

+ góc $(a; b) = α$ nếu $0^{0} \leq α \leq 90^{0}$

+ góc $(a; b) = 180^{0} - α$ nếu $90^{0} < α \leq 180^{0}$ .

- Nếu $a / / b$ hoặc $a \equiv b$ thì $\hat{(a, b)} = 0^{0}$

4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{0}$

b) Nhận xét:

- Nếu $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ lần lượt là các VTCP của $a$ và $b$ thì: $a ⊥ b \Leftrightarrow \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0$ .

- Nếu ${\begin{cases} a / / b \\ c ⊥ a \end{cases}$ thì $c ⊥ b$

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

c) Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

cosA= $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

$\cos φ = | \cos (\vec{u} \vec{v}) | = \frac{|\vec{u} \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Để tính $\vec{u}, \vec{v} |\vec{u}|, |\vec{v}|$ ta chọn ba véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ $\vec{u}, \vec{v}$ qua các véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ rồi thực hiện các tính toán.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0$ , trong đó $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là các VTCP của $d_{1}, d_{2}$ .

Cách 2: Sử dụng tính chất ${\begin{cases} b / / c \\ a ⊥ c \end{cases} \Rightarrow a ⊥ b$

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa $d_{1}, d_{2}$ và tính trực tiếp góc đó.

2. Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng và ví dụ minh họa

A. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ O dựng các đường thẳng d₁, d₂ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂. Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u₁, u₂ của hai đường thẳng d₁, d₂

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi cos(d₁, d₂) = Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u₁→, u₂→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→

A. 45° B. 90° C. 120° D.60°

Hướng dẫn giải:

Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11 (do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°.

Chọn D

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.

Ta có:

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120° B. 90° C. 60° D.45°

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.

⇒ BC = BD (= AB)

+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :

BC = AC.

AD = BD

CD chung

⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ

⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB.

⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°

3. Cách tính tích vô hướng của hai vecto và ví dụ minh họa

A. Phương pháp giải

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A. 60° B. 45° C . 120° D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11 thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:

⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD→ ⊥ BC→ và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB→ ⊥ CD→

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3

B. Đúng

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 1

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài giải đúng

4. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian và ví dụ minh họa

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:

+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Hướng dẫn giải

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11 ⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Hướng dẫn giải

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

Giải bài 1 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 1 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2: Cho tứ diện ABCD

Giải bài 2 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 2 trang 97 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Lời giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b không song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.

b) Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau do đó, nói chung a và c không vuông góc với nhau.

Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:

+ AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B.

+ AB và A’D’ cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC chéo nhau.

Bài 4: Cho hai tam giác đều ABC và ABC' trong không gian có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC' và C'A.

Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ CC'

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Giải bài 4 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5:

Giải bài 5 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 5 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC^'D^' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O^'. Chứng minh rằng AB ⊥OO^' và CDD^'C^' là hình chữ nhật.

Lời giải:

Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

+) Vì hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có cùng độ dài cạnh là AB

nên hai đường chéo bằng nhau: AC = AC’.

Suy ra: AO = AO’ hay | $\vec{A O'}$ | = | $\vec{A O}$ | .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{O O'}$ = 0 ⇒ AB ⊥ OO'

Giải bài 6 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7: Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

Giải bài 7 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 7 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8:

Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC và góc $\vec{B A C}$ =60^o nên tam giác ABC là tam giác đều.

Tương tự, tam giác ABD là tam giác đều.

Giải bài 8 trang 98 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Tài liệu có 23 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Hình học Toán 11 hai đường thẳng vuông góc

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm