Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết, bài tập Viết phương trình đường thẳng có chọn lọc Toán lớp 10, tài liệu gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Phương trình đường thẳng: Lý thuyết và các dạng bài tập
1. Các vectơ của đường thẳng:
+) Vectơ chỉ phương: Vectơ 
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng 
nếu 
# 0 và giá của song song hoặc trùng với 
.
+) Vectơ pháp tuyến: Vectơ 
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
nếu 
# 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của 
.
+) Nhận xét:
- Nếu 
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
thì k
(k#0) cũng là một vectơ chỉ phương của 
.
- Nếu 
là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
thì k
(k#0) cũng là một vectơ pháp tuyến của 
.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
+) Định nghĩa: Phương trình 
: ax + by + c = 0 (a2 + b2 # 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng 
nhận 
(a; b) làm vectơ pháp tuyến.
+) Các dạng đặc biệt:
: ax + c = 0 , a#0 
song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.
: ay + c = 0 , a#0 
song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.
: ax + by = 0 , a2 + b2 # 0 
đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
3. Phương trình tham số của đường thẳng:
+) Định nghĩa: Hệ 
, a2 + b2 # 0 là phương trình tham số của đường thẳng 
đi qua điểm A(x0;y0) và nhận vectơ 
(a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.
+) Chú ý:
Với mỗi t
R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y) 
Một đường thẳng có vô số phương trình tham số.
- Phương trình chính tắc: 
(a.b#0) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận (a;b) làm vectơ chỉ phương.
- Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng
cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là 
= 1.
4. Hệ số góc:
Phương trình đường thẳng 
đi qua điểm M(x0;y0) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y0 = k(x-x0)
+ Nếu 
có vectơ chỉ phương 
= (u1;u2) với u1#0 thì hệ số góc của
là k = 
+ Nếu 
có hệ số góc k thì 
có vectơ chỉ phương là 
= (1;k)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
+) Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
Ta có các trường hợp sau:
TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x0;y0) 
d1
d2 tại M(x0;y0)
TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm 
d1 trùng với d2
TH3: Hệ (1) vô nghiệm 
d1//d2
+) Chú ý: Với a2, b2, c2 #0 ta có:
d1 
d2 
d1//d2 
d1 
d2 
6. Góc giữa hai đường thẳng:
+ Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến 
và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến 
với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0, góc giữa hai đường thẳng đó được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 
. Đặt 
= (d1,d2) ta có:
cos 
= |cos
| = 
+ Chú ý:
d1
d2 
a1a2 + b1b2 = 0
Nếu d1 và d2 có phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì d1
d2 
k1k2 = -1
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng 
có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 
được kí hiệu là d (M,
) và tính bằng công thức:
d (M, ) = 
8. Các dạng bài tập về hương trình đường thẳng và ví dụ minh hoa.
Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng.
Phương pháp giải:
a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng 
+ Tìm vectơ pháp tuyến (a; b) của đường thẳng 
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc 
+ Viết phương trình theo công thức: a(x-x0) + b(y-y0) = 0
+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0
Nếu đường thẳng 
song song với đường thẳng 
: ax + by + c = 0 thì 
có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.
Nếu đường thẳng 
vuông góc với đường thẳng 
: ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.
b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
+ Tìm vectơ chỉ phương 
= (u1;u2) của đường thẳng 
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc 
+ Viết phương trình tham số: 
Nếu 
có hệ số góc k thì 
có vectơ chỉ phương 
= (1;k)
Nếu 
có vectơ pháp tuyến (a;b) thì 
có vectơ chỉ phương 
= (-b;a) hoặc 
= (b;-a) và ngược lại.
c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng 
. (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = (a;b) với a.b#0)
+ Tìm vectơ chỉ phương 
= (a;b) (a.b#0) của đường thẳng 
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc 
+ Viết phương trình chính tắc: 
d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng 
(chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)
+ Tìm hai giao điểm của 
với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)
+ Viết phương trình đoạn chắn 
= 1 (a.b#0).
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d.
Lời giải:
Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có 
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
= (6-0;0-5) = (6;-5)
Vectơ pháp tuyến của d là (5;6)
Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d:
5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 0
5x + 6y – 30 = 0
Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn: 
= 1.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải:
Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có 
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có 
= (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)
Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d: 
Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
Với a2, b2, c2 #0 ta có:
d1 d2
d1//d2
d1 d2
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.
b) d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0.
c) d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0.
Lời giải:
a) Xét hai đường thẳng d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có:
d1 và d2 cắt nhau.
b) Xét hai đường thẳng d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0 có:
= 6 # 
= 2 
d3//d4
c) Xét hai đường thẳng d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0 có:
= 2 
d5
d6
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng: d1: x - 2y + 5 = 0 và d2 : 3x - y = 0. Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2.
Lời giải:
Xét tỉ số: 
d1 d2 . Gọi tọa độ giao điểm của d1 và d2 là M(x; y) với x và y là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy d1 d2 tại M (1; 3).
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng.
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng:
- Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến
và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến 
với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0, góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 
Đặt 
= (d1,d2) ta có:
cos = |cos| =
- Chú ý:
d1d2 a1a2 + b1b2 = 0
d1d2 
x1x2 + y1y2 = 0 với 
= (x1;y1) là vectơ chỉ phương của d1, 
= (x2;y2)là vectơ chỉ phương của d2.
Nếu d1 và d2 có phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì d1d2 k1k2 = -1
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d: 
và d’: 
. Xác định số đo góc giữa d và d’.
Lời giải:
Xét d: 
ta có vectơ chỉ phương của d là = 
(-2; -1)
Vectơ pháp tuyến của d là 
= (1; -2).
Xét d’: 
ta có vectơ chỉ phương của d’ là = 
(1; 3)
Vectơ pháp tuyến của d’ là = 
(-3; 1).
Ta có:
cos(d;d') = |cos(
)| = 
Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 
(d;d') = 
.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: 4x – 2y + 6 = 0 và d’: x + 2y + 1 = 0. Xác định số đo góc giữa d và d’.
Lời giải:
Xét d: 4x – 2y + 6 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d là 
= (4; -2)
Xét d’: x + 2y + 1 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d’ là 
= (1; 2)
Ta có: 
= 4.1 + (-2).2 = 0
d 
d'
(d;d') = 
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng 
có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0;y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 
được kí hiệu là d (M,
), tính bằng công thức:
d (M, ) = 
Ví dụ 1: Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) . Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 
: 5x + 12y -10 = 0.
Lời giải:
Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 
: 5x + 12y – 10 = 0 nên ta có bán kính của đường tròn bằng khoảng từ tâm C đến đường thẳng 
. Ta có:
R = d(C,
) = 
Ví dụ 2: Cho điểm A (3; 6). Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 
Lời giải:
Xét đường thẳng d: 
ta có vectơ chỉ phương của d là 
= (-3; 2)
vectơ pháp tuyến của d là 
= (2; 3)
Chọn điểm M (4; 7) thuộc d ta có phương trình tổng quát của d là:
2.(x – 4) + 3.(y – 7) = 0
2x – 8 + 3y – 21 = 0
2x + 3y – 29 = 0
Khoảng cách từ A (3; 6) đến đường thẳng d là:
d(A;d) = 
9. Bài tập vận dụng
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d đi qua 2 điểm A (3; 5) và B (4; 6).
Đáp án: d: - x + y = 2
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ biết d’ đi qua 2 điểm A (2; 7) và B (0; 5).
Đáp án: d’: 
Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm M (1; 6) và N (2; 3)
Đáp án: d: 
Bài 4: Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + 2 = 0 và d đi qua điểm (2; 3)
Đáp án: d: 4x - 3y + 1 = 0
Bài 5: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d: 3x – 5y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 3x – 5y = 0.
Đáp án: d // d’
Bài 6: Cho đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0 và đường thẳng d’: x – m + 7 = 0. Tìm m để d // d’.
Đáp án: m = 3
Bài 7: Cho hai đường thẳng d: 6x – y = 0 và d’: 2x + 8y – 1 = 0. Tìm tọa độ giao điểm I của d và d’.
Đáp số: I
Bài 8: Cho hai đường thẳng d: 8x – 3y + 2 = 0 và d’: x = 4. Tìm số đo góc giữa d và d’.
Đáp án: (d;d') = 
Bài 9: Cho điểm A (4; 7) và đường thẳng d’: x – 6 = 0. Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Đáp án: d (A, d’) = 2
Bài 10: Cho đường thẳng d: 
. Tìm m để khoảng cách giữa A (2; m) và đường thẳng d là 5.
Đáp số: 
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
