Hợp số là gì? Tính chất, các dạng bài tập về hợp số

Admin Vietjack Ngày: 30-10-2024 Tổng hợp kiến thức

Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Hợp số là gì? Tính chất, các dạng bài tập về hợp số, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Hợp số, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Hợp số là gì? Tính chất, các dạng bài tập về hợp số

A. Lý thuyết

1. Hợp số là gì?

Định nghĩa hợp số: Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước

- Ước nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số không vượt quá $\sqrt{a}$ .

Ví dụ:

+ Số 15 có bốn ước là 1; 3; 5; 15 nên 15 là hợp số.

Lưu ý: Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.

+ Số 64 có hợp số có ước nguyên tố nhỏ nhất 7 ( $\sqrt{64} = 8$ )

2. Các tính chất

a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số

e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất

g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm: Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số

h. Nếu a.b chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p

i. Số ước số của hợp số

Giả sử $n = p_{1}^{n_{1}} . p_{2}^{n_{2}} . . . p_{k}^{n_{k}}$ $(n_{1}, n_{2}, . . ., n_{k} \in N^{*}) \Rightarrow$

$p_{1}, p_{2}, . . ., p_{k}$ : Số nguyên tố $n_{1}, n_{2}, . . ., n_{k} (k \in N^{*})$

$\Rightarrow$ số ước số của n là: $(n_{1} + 1) (n_{2} + 1) . . . . (n_{k} + 1)$

Ví dụ: $100 = 2^{2} {.5}^{2} \Rightarrow 100$ có : $(2 + 1) (2 + 1) = 9$ ước.

3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

a. Thế nào là phân tích một số ra thừa số nguyên tố?

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Chú ý:

− Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.

− Mỗi số nguyên tố chỉ có một dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là chính số đó.

− Có thể viết gọn dạng phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách dùng lũy thừa.

Ví dụ:

- Số 5 là số nguyên tố và dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó là 5.

- Số 18 là hợp số và 18 được phân tích ra thừa số nguyên tố là:

18 = 2 . 3 . 3 (hoặc viết gọn là 18 = 2 . 3²).

b. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Cách 1: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc.

Chia số n cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng 1.

Ví dụ: Số 76 được phân tích ra thừa số nguyên tố theo cột dọc như sau:

76	2
38	2
19	19
1

Vậy 76 = 2² . 19.

Chú ý: Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Cách 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây.

Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.

Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.

Ví dụ: Số 36 được phân tích ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây như sau:

Số nguyên tố, Hợp số, Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (Lý thuyết Toán lớp 6) | Chân trời sáng tạo

Vậy 36 = 3² . 2².

B. Các dạng toán về số nguyên tố, hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

I. Viết số nguyên tố hoặc hợp số từ những số cho trước

Phương pháp:

+ Căn cứ vào định nghĩa số nguyên tố và hợp số.

+ Căn cứ vào các dấu hiệu chia hết.

+ Có thể dùng bảng số nguyên tố ở cuối sgk để xác định một số (nhỏ hơn 1000) là số nguyên tố hay không.

Ví dụ:

Tìm các số * để được số nguyên tố $\bar{* 1}$ :

Dấu * có thể nhận các giá trị ${1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$

+) Với $a = 1$ ta có $11$ là số nguyên tố

=> Thỏa mãn.

+) Với $a = 2$ ta có $21$ có các ước $1; 3; 7; 21$ nên $21$ là hợp số

=> Loại.

+) Với $a = 3$ ta có $31$ là số nguyên tố

=> Thỏa mãn.

+) Với $a = 4$ ta có $41$ chỉ có hai ước là $1; 41$ nên $41$ là số nguyên tố

=> Thỏa mãn.

+) Với $a = 5$ ta có $51$ có các ước $1; 3; 17; 51$ nên $51$ là hợp số. Loại

+) Với $a = 6$ ta có $61$ là số nguyên tố => Thỏa mãn.

+) Với $a = 7$ ta có $71$ là số nguyên tố => Thỏa mãn.

+) Với $a = 8$ ta có $81$ có các ước $1; 3; 9; 27; 81$ nên $81$ là hợp số. Loại.

+) Với $a = 9$ ta có $91$ là có các ước $1; 7; 13; 91$ nên $91$ là hợp số. Loại

Vậy các số nguyên tố là: $11, 31, 41, 61, 71$ .

II. Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số.

Phương pháp:

+ Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác $1$ và chính nó.

+ Để chững minh một số là hợp số, ta chỉ ra rằng tồn tại một ước của nó khác $1$ và khác chính nó. Nói cách khác, ta chứng minh số đó có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

a) $5$ là số nguyên tố vì nó chỉ có hai ước là $1$ và $5$ .

b) $12$ là hợp số vì nó có nhiều hơn hai ước. Cụ thể 12 có các ước là: $1; 2; 3; 4; 6; 12$

III. Phân tích các số cho trước ra thừa số nguyên tố

Phương pháp:

Ta thường phân tích một số tự nhiên $n (n > 1)$ ra thừa số nguyên tố bằng 2 cách:

+ Sơ đồ cây

+ Phân tích theo hàng dọc.

Ví dụ: Phân tích số 300 ra thừa số nguyên tố

Ta có:

300	2
150	2
75	3
25	5
5	5
1

Do đó 300 = 2² . 3 . 5².

Số 300 có thể chia hết cho các số nguyên tố là 2; 3 và 5.

IV. Ứng dụng phân tích một số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của số đó

Phương pháp:

+ Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố.

+ Chú ý rằng nếu $c = a . b$ thì $a$ và $b$ là hai ước của $c .$

a = b . q

\Leftrightarrow a ⋮ b \Leftrightarrow a \in B (b)

và

b \in

(a)

(a, b, q \in N, b \neq 0)

V. Bài toán đưa về việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phương pháp:

Phân tích đề bài, đưa về việc tìm ước của một số cho trước bằng cách phân tích số đó ra thừa số nguyên tố.

C. Bài tập

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hợp số là

A. số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

B. số tự nhiên có nhiều hơn 2 ước

C. số tự nhiên có 4 ước

D. số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước

Hướng dẫn giải

Lời giải

Theo lý thuyết: Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.

Chọn đáp án D.

Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?

A. 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

B. Cho số a > 1, a có 2 ước thì a là hợp số.

C. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước 1 và chính nó.

Hướng dẫn giải

Lời giải

Số a phải là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước thì a mới là hợp số.

Nên đáp án B sai.

Chọn đáp án B.

Câu 3: Số nào dưới đây là hợp số?

A. 2

B. 7

C. 53

D. 28

Hướng dẫn giải

Lời giải

Trong các số đã cho, chỉ có 28 là hợp số vì nó lớn hơn 1, và ngoài hai ước là 1 và 28, nó còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2.

Chọn đáp án D.

Câu 4: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A = {0; 1} là tập hợp số nguyên tố

B. A = {3; 5} là tập hợp số nguyên tố

C. A = {1; 3; 5} là tập hợp các hợp số

D. A = {7; 8} là tập hợp các hợp số

Hướng dẫn giải

Lời giải

+ Đáp án A sai vì 0 và 1 không phải là số nguyên tố.

+ Đáp án B đúng vì 3 và 5 là số nguyên tố.

+ Đáp án C sai vì 1 không phải là hợp số và 3, 5 là số nguyên tố.

+ Đáp án D sai và 7 là số nguyên tố, 8 là hợp số.

Chọn đáp án B.

Câu 5: Cho các số 21; 71; 77; 101. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?

A. Số 21 là hợp số, các số còn lại là số nguyên tố

B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên

C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số

D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên

Hướng dẫn giải

Lời giải

+ Số 21 có các ước là 1; 3; 7; 21 nên 21 là hợp số.

+ Số 71 chỉ có hai ước là 1; 71 nên 71 là số nguyên tố.

+ Số 77 có các ước là 1; 7; 11; 77 nên 77 là hợp số.

+ Số 101 chỉ có hai ước là 1; 101 nên 101 là số nguyên tố.

Vậy trong các số đã cho, có 2 số là số nguyên tố và hai số là hợp số.

Chọn đáp án B.

Câu 6: Viết tập hợp A các số là hợp số trong các số sau: 1 431; 635; 119; 73.

A. A = {73}

B. A = {1 431; 635; 119}

C. A = {73; 119}

D. A = {73; 635}

Hướng dẫn giải

Lời giải

Ta có các số 1 431; 635; 119 là hợp số vì ngoài 1 và chính nó thì

+ 1 431 còn có ước là 3 (do 1 431 chia hết cho 3)

+ 635 còn có ước là 5 (do 635 chia hết cho 5)

+ 119 còn có ước là 7 (do 119 chia hết cho 7)

Còn lại số 73 là số nguyên tố vì nó lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Vậy ta viết tập hợp A các hợp số là: A = {1 431; 635; 119}.

Chọn đáp án B

Câu 7: Cho hai số A = 11 . 12 . 13 + 14 . 15 và B = 11 . 13. 15 + 17 . 19 . 23. Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

A. Cả A và B đều là số nguyên tố

B. Cả A và B đều là hợp số

C. A là số nguyên tố và B là hợp số

D. A là hợp số và B là số nguyên tố

Hướng dẫn giải

Lời giải

Ta có:

A = 11 . 12 . 13 + 14 . 15

Vì 12 chia hết cho 2 nên 11 . 12 . 13 chia hết cho 2

Vì 14 chia hết cho 2 nên 14 . 15 chia hết cho 2

Do đó tổng 11 . 12 . 13 + 14 . 15 chia hết cho 2 hay A chia hết cho 2

Hiển nhiên A > 1

Vậy A hợp số.

B = 11 . 13. 15 + 17 . 19 . 23

Vì 11 . 13 . 15 là tích của 3 số lẻ nên nó là một số lẻ

Tương tự tích 17 . 19 . 23 cũng là một số lẻ

Do đó 11 . 13. 15 + 17 . 19 . 23 là tổng của hai số lẻ nên 11 . 13. 15 + 17 . 19 . 23 phải là số chẵn và lớn hơn 2 nên 11 . 13. 15 + 17 . 19 . 23 là hợp số, hay B là hợp số.

Vậy cả A và B đều là hợp số.

Chọn đáp án B.

2. Bài tập tự luận

Câu 1: Nếu p là số nguyên tố thì

a. $p^{2} + p + 2$ là số nguyên tố hay hợp số

b. $p^{2} + 200$ là số nguyên tố hay hợp số

Lời giải

a. Ta có: $p^{2} + p + 2 = \underset{c h a n}{\underset{⏟}{p (p + 1)}} + 2 \to$ là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

- Với $p = 2 \to p^{2} + 200$ là số chẵn $\to p^{2} + 200$ là hợp số

- Với $p = 3 \to 2009 ⋮ 7 \to$ là số chẵn $\to p^{2} + 200$ là hợp số

- Với $p > 3 \to \begin{matrix} p^{2} ⋮ 3. d u .1 \\ 2000 ⋮ 3. d u .2 \end{matrix}} \to p^{2} + 2000 ⋮ 3 \to p^{2} + 200$ là hợp số

Vậy $p^{2} + 200$ luôn là hợp số

Câu 2: Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên A có đúng 3 ước số phân biệt thì A sẽ là bình phương của một số nguyên tố

Lời giải

Giả sử $A = p_{1}^{n_{1}} . p_{2}^{n_{2}} . . . p_{k}^{n_{k}}$

Trong đó: $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{k}$ là số nguyên tố; $n_{1}, n_{2}, . . ., n_{k} \in N^{*}$

$\to$ Số ước số của A là: $(n_{1} + 1) (n_{2} + 1) . . . (n_{k} + 1) = S (A)$

- Nếu

$\begin{array}{l} k \geq 2 \to S (A) \geq (n_{1} + 1) (n_{2} + 1) \geq 2.2 = 4 > 3 (l o a i) \\ \to S (A) = n_{1} + 1 = 3 \to n_{1} = 2 \end{array}$

Vậy $A = p_{1}^{2} (d p c m)$

Câu 3: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) $17.18.19.31 + 11.13.15.23$

b) $41.43.45.47 + 19.23.29.31$

c) $987654 + 54321$

Lời giải

a) Ta có: $17.18.19.31 + 11.13.15.23 = 3 (17.6.19.31 + 11.13.5.23) ⋮ 3 \to$ là hợp số

b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số

c) Ta có: 987654 + 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số

Câu 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) 3.4.5 + 6.7

b) 5.7.9.11.13 – 2.3.7

c) 5.7.11 + 13.17.19

d) 4253 + 1422

Lời giải

a) Ta có: $5.6.7 + 8.9 = 3 (5.2.7 + 8.3) ⋮ 3 \to$ tổng trên là hợp số

b) Ta có: $5.7.9.11.13 - 2.3.7 = 7 (5.9.11.13 - 2.3) ⋮ 7 \to$ tổng trên là hợp số

c) Ta có: $5.7.11$ là 1 số lẻ, và $13.17.19$ cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn $⋮ 2 \Rightarrow$ Là hợp số

d) Ta có: $4253 + 1422$ có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số

Câu 5: Phân tích các số 120; 900; 100000 ra thừa số nguyên tố

Lời giải:

Ta có:

+ 120 = 2³.3.5

+ 900 = 2².3².5²

+ 100000 = 10⁵ = 2⁵.5⁵

Câu 6: Phân tích số A = 420 ra thừa số nguyên tố. A có chia hết cho các số sau hay không như 21, 60, 91, 140, 150, 270?

Lời giải:

Ta có: A = 420 = 2².3.5.7

Mặt khác ta cũng có:

21 = 3.7

60 = 2².3.5

91 = 7.13

140 = 2².5.7

150 = 2.3.5²

270 = 2.3³.5

Vậy A chia hết cho 21, 60, 140

A không chia hết 91, 150, 270

Câu 7: Mỗi số sau là số nguyên tố hay hợp số? Giải thích.

a) 19;

b) 125;

c) 187;

d) 59.

Hướng dẫn giải

a) Vì 19 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó nên 19 là số nguyên tố.

b) Vì 125 có ước là 5 khác 1 và chính nó nên 125 có nhiều hơn 2 ước. Do đó 125 là hợp số.

c) Vì 187 có ước là 11 khác 1 và chính nó nên 187 có nhiều hơn 2 ước. Do đó 187 là hợp số.

d) Vì 59 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó nên 59 là số nguyên tố.

Câu 8: Phân tích mỗi số sau ra thừa số nguyên tố rồi cho biết mỗi số chia hết cho các số nguyên tố nào?

a) 40;

b) 144;

c) 300.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

40	2
20	2
10	2
5	5
1

Do đó 40 = 2³ . 5.

Số 40 có thể chia hết cho các số nguyên tố là 2 và 5.

b) Ta có:

144	2
72	2
36	2
18	2
9	3
3	3
1

Do đó 144 = 2⁴ . 3².

Số 144 có thể chia hết cho các số nguyên tố là 2 và 3.

c) Ta có:

300	2
150	2
75	3
25	5
5	5
1

Do đó 300 = 2² . 3 . 5².

Số 300 có thể chia hết cho các số nguyên tố là 2; 3 và 5.

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Cách xác định trung điểm và các dạng bài tập Admin Vietjack

Toán Tổng hợp kiến thức

Tính chất hình chữ nhật, Định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và các dạng bài tập Admin Vietjack

Toán Tổng hợp kiến thức

Tích có hướng của hai vecto trong không gian: Định nghĩa, công thức và bài tập vận dụng Admin Vietjack

Toán Tổng hợp kiến thức

Trọng tâm của tứ diện: Định nghĩa, các dạng bài tập về trọng tâm tứ diện Admin Vietjack

Tìm kiếm