Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Tia phân giác của một góc là gì? Tính chất tia phân giác của một góc, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Tia phân giác, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Tia phân giác của một góc là gì? Tính chất tia phân giác của một góc

A. Định nghĩa Tia phân giác của một góc

1. Tia phân giác của một góc 

Định nghĩa: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. 

2. Nhận xét

Nếu tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ thì  $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}={\displaystyle \frac{\widehat{xOy}}{2}}$

3. Chú ý

Đường thẳng chứa tia phân giác gọi là đường phân giác.

B. Tính chất Tia phân giác của một góc

1. Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. (Định lý thuận).

Cho góc xOy với Oz là tia phân giác

2. Định lý đảo

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

C. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Chứng minh rằng trong một tam giác ba phân giác của hai ngóc ngoài và một góc trong không kề với chúng gặp nhau tại một điểm

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài của góc B và góc C

Vậy hai phân giác góc ngoài của góc B và C và phân giác góc trong của góc A gặp nhau tại một điểm.

Ví dụ 2:Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có $\hat{A}$ = 90°, có B ∈ Ox, C ∈ Oy , A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy

Lời giải:

D. Bài tập Tia phân giác

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H và từ C kẻ CK vuông góc với AB tại K, hai đường thẳng BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là đường phân giác của tam giác ABC.

Lời giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A, tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC

Lời giải:

Điều đó chứng tỏ D nằm trên đường phân giác của góc BAC hay AD là đường phân giác của góc BAC.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB.

a) Chứng minh: CD // EB.

b) Tia phân giác của góc E cắt CD tại F. Vẽ CK vuông góc EF tại K. Chứng minh: CK là tia phân giác của $\widehat{ECF}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì ∆CBE nên CB = CE (gt)

Suy ra ∆CBE cân tại C.

Do đó $\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (gt) nên $\widehat{ACD}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Hay $\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{DCB}\left(1\right)$.

Lại có $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CEB}$ (Vì $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại đỉnh C của ∆CBE).

=> $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CBE}=2\widehat{CBE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\widehat{DCB}=2\widehat{CBE}$ hay $\widehat{DCB}=\widehat{CBE}$.

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên CD // EB.

b) Vì CD // EB (cmt) nên $\widehat{CFE}=\widehat{FEB}$ (vị trí so le trong)

Lại có: $\widehat{CEF}=\widehat{FEB}$ (vì EF là tia phân giác)

⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CEF}\left(=\widehat{FEB}\right)$

⇒ ∆CFE cân tại C.

Mặt khác: CK ⊥ FE tại K.

⇒ CK là đường cao.

⇒ CK đồng thời là đường phân giác của $\widehat{ECF}$ (tính chất tam giác cân).

Bài 4. Cho ABC vuông tại A. Tia phân giác BD của góc B (D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

Chứng minh: BD là tia phân giác của $\widehat{ADE}$.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABD và ∆EBD có:

AB = BE (gt)

$\widehat{ABD}=\widehat{BDE}$ (BD là tia phân giác)

BD chung

Do đó ∆ABD = ∆EBD (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{EDB}$ (hai góc tương ứng).

Hay BD là tia phân giác của $\widehat{ADE}$ (đpcm).

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại B. Từ A kẻ AN vuông góc với BC tại N và từ C kẻ CM vuông góc với BA tại M, hai đường thẳng AN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh BI là đường phân giác của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC có:

AN và CM là các đường cao của ∆ABC. Mà AN cắt CM tại I.

Suy ra BI cũng là đường cao của ∆ABC.

Mà ∆ABC cân tại B nên ta có BI vừa là đường cao cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Bài 6. Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE = BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = CD.

1) Chứng minh EF // BC.

2) Chứng minh ED là phân giác của góc BEF.

Hướng dẫn giải:

1) AD là phân giác của góc A nên $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.

Theo giả thiết, BE = BD và CF = CD nên ta được:

$\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{EB}{AB}=\frac{FC}{AC}$.

Theo định lí Talet, ta suy ra EF // BC.

2. ∆DBE cân nên $\widehat{E_1}=\widehat{D_1}$.

Vì EF // BC nên $\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{E_2}$.

Do đó ED là tia phân giác của góc BEF.

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm của BC ở D. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC. Chứng minh: BH = CK.

Hướng dẫn giải:

Ta có: D thuộc phân giác của góc A.

DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC.

Suy ra DH = DK (tính chất tia phân giác của một góc)

Gọi G là trung điểm của BC.

Xét ∆BGD và ∆CGD có:

$\widehat{BGD}=\widehat{CGD}=90°$ (DG là đường trung trực của BC)

BG = CG (giả thiết)

DG là cạnh chung

Do đó ∆BGD = ∆CGD (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BHD và ∆CKD có:

$\widehat{BHD}=\widehat{CKD}=90°$

DH = DK (chứng minh trên)

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó, ∆BHD = ∆CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Bài tập tự luyện

Bài 1. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ $\widehat{xOy}=30°$ và $\widehat{xOz}=60°$.

a) Trong ba tia Ox, Ox, Oz thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

b) Tính số đo góc yOz ?

c) Tia Oy có là phân giác của góc xOz không? Vì sao?

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, kẻ KH vuông góc AC (H ∈ AC). Trên tia đối của tuan HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:

a) AB // HK;

b) $\widehat{KAH}=\widehat{IAH}$;

c) Tam giác AKI cân.

Bài 3. Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ix sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC;

b) ∆ABE = ∆CDE;

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài 4. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120°$. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tia phân giác của góc ADC cắt AC tại I. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh: IH = IK.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 6 cm. Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC.

b) Chứng minh: ∆BAD = ∆EAD.

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của G trên AB, AC. Chứng minh rằng: điểm D cách đều AB và AC.