Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu về Nguyên hàm từng phần. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Nguyên hàm từng phần: Công thức tính và các dạng bài tập
I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC
1. Công thức : \(\int u dv = vu - \int v du\)
2. Áp dụng với các dạng nguyên hàm
\(\int p (x) \cdot {e^{ax + b}}dx\);
\(\int p (x) \cdot \sin (ax + b)dx\)\(\int p (x) \cdot \cos (ax + b)dx;
\int p (x) \cdot {\ln ^n}(ax + b)dx; \ldots \)
3. Cách đặt
- Ưu tiên đặt " u " theo : logarit (ln )_đa thức (p(x)) _ lượng giác (sin x, cos x)_mũ \(\left( {{e^x}} \right)\).
Nhất "log", nhì "đa", tam "lượng", tứ "mũ"
- Phần còn lại là "dv"
II. PHƯƠNG PHÁP
1. Chia thành 2 cột
- Cột 1 (cột trái : cột u) luôn lấy đạo hàm tới 0
- Cột 2 (cột phải : cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng với cột 1
2. Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau.
3. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu \(( - ),( + ),( - ) \ldots \)
III. PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
Dạng 1: \(\int f (x) \cdot {e^{ax + b}}dx\)
VD1: Tính nguyên hàm : \(I = \int {\left( {2{x^2} - 3} \right)} \cdot {e^x}dx\)
\( \Rightarrow I = {e^x}\left( {2{x^2} - 3} \right) - 4x \cdot {e^x} + 4{e^x} + C = {e^x}\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right) + C\)
VD2. Tính nguyên hàm \(I = \int {\left( {{x^3} + 2x} \right)} {e^{{x^2}}}dx\)
Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý :
\(I = \int {\left( {{x^2} + 2} \right)} \cdot {e^{{x^2}}} \cdot xdx = \frac{1}{2}\int {\left( {{x^2} + 2} \right)} \cdot {e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right)\)
\(\mathop \to \limits^{u = {x^2}} I = \frac{1}{2}\int {(u + 2)} \cdot {e^u} \cdot du\)
\( \Rightarrow I = {e^u}(u + 2) - 1{e^u} + C\)
\( = {e^u} \cdot (u + 1) + C = {e^{{x^2}}}\left( {{x^2} + 1} \right) + C\)
VD3: Tính nguyên hàm \(I = \int {{x^3}} \cdot {e^{2x + 1}}dx\)
Ta biến đổi
\(\begin{array}{l}I = \frac{1}{{16}}\int {{{(2x)}^3}} {e^{2x + 1}}d(2x)\\\mathop \to \limits^{2x = u} I = \frac{1}{{16}}\int {{u^3}} \cdot {e^{u + 1}}du\\ = \frac{e}{{16}}\int {{u^3}} \cdot {e^u}du\end{array}\)
\( \Rightarrow I = \frac{e}{{16}}\left[ {{u^3} \cdot {e^u} - 3{u^2} \cdot {e^u} + 6u \cdot {e^u} - 6{e^u}} \right] + C\)
\( = \frac{{{e^{u + 1}}}}{{16}}\left( {{u^3} - 3{u^2} + 6u - 6} \right) + C\)
\( = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{{16}}\left( {8{x^3} - 12{x^2} + 12x - 6} \right) + C\)
Dạng 2: \(\int f (x) \cdot \sin (ax + b)dx;\int f (x) \cdot \cos (ax + b)dx\)
VD1: Tính nguyên hàm \(I = \int {(2x + 1)} \cdot \cos xdx\)
\( \Rightarrow I = (2x + 1)\sin x - 2( - \cos x) + C\)
\( = (2x + 1)\sin x + \cos x + C\)
VD2: Tính nguyên hàm \(I = \int {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \cdot \sin xdx\)
\(I = ( - \cos x)\left( {{x^2} - 2x} \right) - (2x - 2)( - \sin x)\)
\( = \cos x\left( { - {x^2} + 2x + 2} \right) + (2x + 2)\sin x + C\)
VD3: Tính nguyên hàm \(I = \int {\left( {{x^7} - 2x} \right)} \cdot \cos \left( {{x^2}} \right)dx\)
Ta biến đỗi \(I = \frac{1}{2}\int {\left( {{x^6} - 2} \right)} \cdot \cos \left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)\mathop \to \limits^{u = {x^2}} I = \frac{1}{2}\int {\left( {{u^3} - 2} \right)} \cdot \cos udu\)
\( \Rightarrow I = \sin u\left( {{u^3} - 2} \right) - 3{u^2}( - \cos u) + 6u( - \sin u) - 6\cos u + C\)\(\)
\( = \sin u\left( {{u^3} - 6u - 2} \right) + \cos u\left( {3{u^2} - 6} \right) + C\)
\( = \sin \left( {{x^2}} \right)\left[ {{x^6} - 6{x^2} - 2} \right]\)
\( + \cos \left( {{x^2}} \right)\left[ {3{x^4} - 6} \right] + C\)
Dạng 3: \(\int f (x) \cdot {\ln ^n}(ax + b)dx\)
Chú ý : Dạng \(\int f (x) \cdot {\ln ^n}(ax + b)dx\) thì uu tiên đạt \(u = {\ln ^n}(ax + b)\) vì vây khi đạo hàm "u" sẽ không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang \( \to \) đơn giản tử mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp.
VD1:Tính nguyên hàm \(I = \int x \ln xdx\)
-> Đơn giản bằng cách nhân kết quả ở 2 cột ta được \(\frac{x}{2}\), tách ra 2 cột
|
(đạo hàm) 1/2 |
(nguyên hàm) x |
(Cách hiểu : do \(\frac{1}{x}\) tù cột đạo hàm đã "nhảy" sang cột nguyên hàm để triệu tiêu với \(x\) nên \(\frac{1}{2}\) phải "nhảy" nguợc lại sang cột đạo hàm để bù ) \( \Rightarrow I = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + C = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x - \frac{1}{2}} \right) + C\)
VD2: Tính nguyên hàm \(I = \int x \cdot {\ln ^2}xdx\)
\(I = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot {\ln ^2}x - \frac{{{x^2}}}{2} \cdot \ln x + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
\( = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot \left[ {{{\ln }^2}x - \ln x + \frac{1}{2}} \right] + C\)
VD3: Tính nguyên hàm \(I = \int {\left( {{x^3} - 3} \right)} \ln x \cdot dx\)
\( \Rightarrow I = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 3x} \right)\ln x - \left( {\frac{{{x^4}}}{{16}} - 3x} \right) + C\)
VD4: Tính nguyên hàm \(I = \int {(2x + 1)} \cdot {\ln ^3}(3x)dx\)
\(I = {\ln ^3}(3x) \cdot \left( {{x^2} + x} \right) - {\ln ^2}(3x) \cdot \left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 3x} \right) + \ln (3x) \cdot \left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right) - \left( {\frac{{3{x^2}}}{4} + 6x} \right) + C\)
VD5: Tính nguyên hàm \(I = \int {{{\ln }^5}} (5x)dx\)
Ta biến đổi \(I = \frac{1}{5}\int {{{\ln }^5}} (5x)d(5x)\mathop \to \limits^{u = 5x} I = \frac{1}{5}\int {{{\ln }^5}} udu\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{5} \cdot \left[ {u \cdot {{\ln }^5}u - 5u \cdot {{\ln }^4}u + 20u \cdot {{\ln }^3}u} \right.\left. { - 60u \cdot {{\ln }^2}u + 120u \cdot \ln u - 120u} \right] + C\)
\( = x \cdot \left[ {{{\ln }^5}(5x) - 5{{\ln }^4}(5x) + 20{{\ln }^3}(5x)} \right.\left. { - 60{{\ln }^2}(5x) + 120\ln (5x) - 120} \right] + C\)
Dạng 4. Nguyên hàm lặp (tích phân lặp)
Nếu khi ta tính nguyên hàm (tích phân) theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (theo hàng ngang) thì dừng lại luôn ở hàng đó, không tính tiếp nữa.
1. Dấu hiệu khi dừng lại: nhận thấy trên cùng 1 hàng ngang tích của 2 phần tử ở 2 cột (không kể dấu và hệ số) giống nguyên hàm ban đầu cần tính.
2. Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) như các ví dụ trên
3. Nối 2 phần tử (ở dòng dừng lại), có thêm dấu \(\int {} \)trước kết quả và coi gạch nối là 1 đường chéo, sử dụng quy tắc đan dấu.
VD1: Tính nguyên hàm \(I = \int {\sin } x \cdot {e^x} \cdot dx\)
\( \Rightarrow I = \sin x \cdot {e^x} - \cos x \cdot {e^x} + \int {( - \sin x)} \cdot {e^x}dx + C\)
\( = {e^x}(\sin x - \cos x) - \int {\sin } x \cdot {e^x}dx + C\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{2} \cdot {e^x}(\sin x - \cos x) + C\)
VD2: Tính nguyên hàm \(I = \int {{e^{2x + 1}}} \cdot {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)dx\)
Ta biến đổi
\(\begin{array}{l}I = \int {{e^{2x + 1}}} \cdot \left[ {\frac{{1 - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}} \right]dx\\ = \frac{1}{2}\int {{e^{2x + 1}}} dx - \frac{1}{2}\int {{e^{2x + 1}}} \cdot \sin (2x)dx\\ = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{4} - {I_1} + C\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{I_1} = \frac{1}{4}\int {{e^{2x + 1}}} \cdot \sin (2x)d(2x)\quad \\u = 2x\quad {I_1} = \frac{1}{4}\int {{e^{u + 1}}} \cdot \sin udu\end{array}\)
\( \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{4} \cdot {e^{u + 1}}(\sin u - \cos u) - \frac{1}{4}\int {\sin } u \cdot {e^{u + 1}}du + C\)
\( = \frac{1}{5} \cdot {e^{u + 1}}(\sin u - \cos u) + C\)
\( = \frac{1}{5} \cdot {e^{2x + 1}}(\sin (2x) - \cos (2x)) + C\)
\( \Rightarrow I = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{4} - \frac{1}{5} \cdot {e^{2x + 1}}(\sin (2x) - \cos (2x)) + C\)
IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG (sưu tầm và biên soạn)
Câu 1. Nguyên hàm \(I = \frac{1}{5}\int x \cdot {\ln ^2}xd(5x) = F(x) + C\). Giá trị của F(e) bằng :
A. \(\frac{{{e^2}}}{2}\)
B. \( - \frac{{{e^2}}}{4}\)
C. \(\frac{{{e^2}}}{4}\)
D. \( - \frac{{{e^2}}}{2}\)
Câu 2. Nguyên hàm \(I = \int x \cdot \sin x{\cos ^2}xdx = F(x) + C\). Giá trị của \(F(\pi )\) bằng :
A. \( - \frac{\pi }{3}\)
B. \(\frac{\pi }{3}\)
C. \(\pi \)
D. \( - \pi \)
Câu 3. Nguyên hàm \(I = \int {{e^x}} \cdot \cos (2x)dx = F(x) + C\). Giá trị của F(0) bằng :
A. \( - \frac{1}{5}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \( - \frac{2}{5}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Câu 4. Nguyên hàm \(\int {(x - 2)} \sin 3xdx = - \frac{{(x - a)\cos 3x}}{b} + \frac{{\sin 3x}}{c} + 2017\) thì tổng S=a b+c bằng
A. S=14.
B. S=15.
C. S=3.
D.S=10
Câu 5. Nguyên hàm \(\int {{x^2}} \cdot {e^x}dx = \left( {{x^2} + mx + n} \right) \cdot {e^x} + C{\rm{ }}\)thì giá trị mn là:
A. 6
B. 4
C. 0
D. -4
Câu 6. Biết \(I = \int_0^1 x \cdot \ln \left( {\frac{{4 - x}}{{4 + x}}} \right)dx = - \frac{{15}}{2}\ln \frac{a}{b} - c\), với \(a,b,c \in \mathbb{N}\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản
Tìm khẳng định đúng :
A. a+b=2c.
B. b+b=3c.
C. a+b=c
D. a+b=4 c
Câu 7. Biết \(I = \int_1^2 {\left( {{x^2} + x} \right)} \cdot \ln xdx = \frac{a}{3}\ln 2 - \frac{b}{c}\), với \(a,b,c \in \mathbb{N}\) và phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản
Tính tổng S=a b+c bằng :
A. 806
B. 559
C. 1445
D. 1994
Câu 8. Biết \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2x}}} \cdot \sin (3x)dx = \frac{{a - b \cdot {e^\pi }}}{c}\), chọn khẳng định đúng :
A. a, b, c là số nguyên tố
B. a, c là số nguyên tố
C. b, c là số nguyên tố
D. a, b là số nguyên tố
Câu 9. Hàm số \(f(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của \(g(x) = x(1 - x){e^{ - x}}\).
Tính tổng a+b+c :
A. 4
B. \( - 2\)
C. 3
D. 1
Câu 10. Nguyên hàm \(I = - \int {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right)d(\cos x) = F(x) + C\).
Giá trị của F(0) bằng:
A. \( - \frac{3}{{64}}\)
B. \(\frac{9}{{64}}\)
C. \(\frac{9}{{32}}\)
D. Đáp án khác
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
