Trả lời nhanh
Giá trị lớn nhất nhỏ nhất biểu thức lớp 9. Với biểu thức một biến trên tập số thực, muốn tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN), em đưa biểu thức về dạng bình phương: nếu A = a + (biểu thức)2 thì GTNN là a; nếu A = a − (biểu thức)2 thì GTLN là a. Tam thức bậc hai ax2 + bx + c đạt đỉnh tại x = −b/(2a), giá trị đỉnh là (4ac − b2)/(4a): đây là GTNN khi a > 0 và là GTLN khi a < 0. Dấu bằng chỉ được công nhận khi có giá trị biến làm nó xảy ra.
Bốn cách tìm GTLN, GTNN của biểu thức lớp 9
Bài toán lớp 9 và chuyên đề học sinh giỏi thường gặp bốn dạng. Mỗi dạng có một cách biến đổi riêng; em không cộng trừ “cảm tính” rồi đoán số.
1. Tách bình phương
Mọi số bình phương đều không âm. Vì vậy (biểu thức)2 ≥ 0, dấu bằng khi biểu thức trong ngoặc bằng 0. Đây là công cụ gốc cho tam thức, tổng các bình phương hai biến và nhiều phân thức.
2. Tam thức bậc hai
Cho P(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0. Đặt Δ = b2 − 4ac. Em viết
P(x) = a(x + b/(2a))2 + (4ac − b2)/(4a) = a(x + b/(2a))2 − Δ/(4a).
Hoành độ đỉnh x0 = −b/(2a). Nếu a > 0, parabol mở lên, GTNN bằng −Δ/(4a) tại x0, không có GTLN trên cả tập số thực. Nếu a < 0, parabol mở xuống, GTLN bằng −Δ/(4a) tại x0, không có GTNN.
3. Tổng các giá trị tuyệt đối
Với hai mốc, |x − p| + |x − q| (p < q) bằng q − p khi x nằm giữa p và q, và lớn hơn khi x ra ngoài. Với nhiều mốc trên một đường thẳng, GTNN của tổng khoảng cách đạt tại trung vị của các mốc. Khi chứng minh bằng bất đẳng thức, em luôn kiểm tra các đoạn dấu bằng có giao nhau hay không.
4. Đặt ẩn phụ, hai biến, hoặc đặt phân thức bằng k
- Đa thức bậc bốn kiểu (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) khi các cặp có cùng tổng: ghép cặp, đặt t, được t2 − hằng số.
- Hai biến: nhóm thành tổng các bình phương. GTNN là số hạng tự do còn lại, đạt khi mỗi bình phương bằng 0.
- Phân thức: đặt bằng k, đưa về phương trình bậc hai theo x, điều kiện có nghiệm là Δ ≥ 0. Hai đầu mút của k chính là GTLN và GTNN, nhưng chỉ khi Δ = 0 thực sự cho ra một x làm mẫu khác 0.
| Dạng | Việc cần làm | Dấu bằng |
|---|---|---|
| a + (…)2 | GTNN = a | biểu thức trong ngoặc bằng 0 |
| a − (…)2 | GTLN = a | biểu thức trong ngoặc bằng 0 |
| ax2 + bx + c, a > 0 | GTNN = −Δ/(4a) | x = −b/(2a) |
| ax2 + bx + c, a < 0 | GTLN = −Δ/(4a) | x = −b/(2a) |
| |x − p| + |x − q| | GTNN = |q − p| | x nằm giữa p và q |
| Phân thức = k | Giải Δ ≥ 0 | kiểm tra mẫu khác 0 |
Ví dụ giải chi tiết
Ví dụ 1. Tam thức mở lên. Tìm GTNN của A = x2 − 6x + 13.
A = (x2 − 6x + 9) + 4 = (x − 3)2 + 4. Vì (x − 3)2 ≥ 0 nên A ≥ 4. Dấu bằng khi x − 3 = 0, tức x = 3. Thử lại: A(3) = 9 − 18 + 13 = 4. Vậy GTNN của A là 4 khi x = 3. Trên tập số thực, A không có GTLN vì x càng xa 3 thì A càng lớn.
Cách dùng công thức: a = 1, b = −6, c = 13, Δ = 36 − 52 = −16. GTNN = −Δ/(4a) = 16/4 = 4, x0 = 6/2 = 3.
Ví dụ 2. Tam thức mở xuống. Tìm GTLN của B = −2x2 + 8x − 3.
B = −2(x2 − 4x) − 3 = −2(x2 − 4x + 4) + 8 − 3 = −2(x − 2)2 + 5. Số −2(x − 2)2 ≤ 0 nên B ≤ 5. Dấu bằng khi x = 2. Thử lại: B(2) = −8 + 16 − 3 = 5. Vậy GTLN của B là 5 khi x = 2. Không có GTNN trên cả đường thẳng thực.
Ví dụ 3. Tổng giá trị tuyệt đối. Tìm GTNN của T = |x − 1| + |x − 4| + |x − 7|.
Đặt A = x − 1, C = x − 7. Khi đó A − C = 6, nên |x − 1| + |x − 7| = |A| + |C| ≥ |A − C| = 6. Dấu bằng khi A và C trái dấu hoặc bằng 0, tức (x − 1)(x − 7) ≤ 0, hay 1 ≤ x ≤ 7. Trên đoạn này tổng hai số hạng đầu luôn bằng 6. Số hạng còn lại |x − 4| ≥ 0 và bằng 0 đúng tại x = 4, điểm này nằm trong [1; 7]. Do đó T ≥ 6, dấu bằng chỉ tại x = 4. Thử: T(4) = 3 + 0 + 3 = 6; T(1) = 0 + 3 + 6 = 9. Vậy GTNN của T là 6 khi x = 4. Cách nhanh cùng kết quả: với ba mốc 1, 4, 7, trung vị là 4.
Ví dụ 4. Đa thức bậc bốn, đặt ẩn phụ. Tìm GTNN của P = (x − 1)(x − 2)(x − 5)(x − 6).
Ghép các cặp có cùng tổng: 1 + 6 = 2 + 5 = 7.
(x − 1)(x − 6) = x2 − 7x + 6, (x − 2)(x − 5) = x2 − 7x + 10.
Đặt t = x2 − 7x + 8. Khi đó P = (t − 2)(t + 2) = t2 − 4 ≥ −4. Dấu bằng khi t = 0, tức x2 − 7x + 8 = 0. Δ = 49 − 32 = 17 > 0, nên có hai nghiệm x = (7 ± √17)/2. Cả hai đều thực, vậy dấu bằng xảy ra. GTNN của P là −4.
Em cần chắc t = 0 nằm trong miền của t. Vì t = (x − 7/2)2 − 49/4 + 8 = (x − 7/2)2 − 17/4 ≥ −17/4, mà −17/4 < 0, nên t thực sự lấy giá trị 0.
Ví dụ 5. Hai biến. Tìm GTNN của C = x2 + 2y2 − 2x + 4y + 6.
C = (x2 − 2x + 1) + 2(y2 + 2y + 1) − 1 − 2 + 6 = (x − 1)2 + 2(y + 1)2 + 3. Hai bình phương không âm, hệ số 2 dương, nên C ≥ 3. Dấu bằng khi x − 1 = 0 và y + 1 = 0, tức x = 1, y = −1. Thử lại: C(1, −1) = 1 + 2 − 2 − 4 + 6 = 3. GTNN của C là 3.
Ví dụ 6. Phân thức, dùng bình phương. Tìm GTLN và GTNN của Q = 2x/(x2 + 1).
Mẫu x2 + 1 luôn dương. Từ (x − 1)2 ≥ 0 suy ra x2 + 1 ≥ 2x, chia hai vế cho mẫu dương được Q ≤ 1, dấu bằng khi x = 1. Từ (x + 1)2 ≥ 0 suy ra x2 + 1 ≥ −2x, nên Q ≥ −1, dấu bằng khi x = −1. Vậy GTLN của Q là 1 khi x = 1; GTNN của Q là −1 khi x = −1. Thử: Q(1) = 2/2 = 1, Q(−1) = −2/2 = −1.
Ví dụ 7. Phân thức, đặt bằng k. Tìm GTLN và GTNN của A = (2x + 1)/(x2 + 1).
Mẫu luôn khác 0. Đặt A = k, được kx2 − 2x + k − 1 = 0. Với k = 0, phương trình thành −2x − 1 = 0, x = −1/2, và A(−1/2) = 0, nên giá trị 0 đạt được. Với k ≠ 0, điều kiện có nghiệm là Δ ≥ 0:
Δ = 4 − 4k(k − 1) = 4(1 + k − k2).
Cần 1 + k − k2 ≥ 0, tức k2 − k − 1 ≤ 0. Nghiệm của k2 − k − 1 = 0 là (1 ± √5)/2. Tam thức này có hệ số bậc hai dương, nên bất phương trình đúng khi
(1 − √5)/2 ≤ k ≤ (1 + √5)/2.
Hai đầu mút cho Δ = 0, nghiệm x = 1/k. Tại k = (1 + √5)/2 thì x = (√5 − 1)/2; tại k = (1 − √5)/2 thì x = −(√5 + 1)/2. Cả hai làm mẫu khác 0. Vậy GTLN của A là (1 + √5)/2 và GTNN của A là (1 − √5)/2.
Bài tập tự luyện có đáp án
| Bài | Đề | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | GTNN của A = x2 − 8x + 20 | 4 khi x = 4; không có GTLN |
| 2 | GTLN của B = −3x2 + 6x + 1 | 4 khi x = 1; không có GTNN |
| 3 | GTNN của C = |x − 3| + |x + 1| | 4 khi −1 ≤ x ≤ 3 |
| 4 | GTNN của D = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) | −1 khi x = (−5 ± √5)/2 |
| 5 | GTNN của E = x2 + y2 + 6x − 2y + 11 | 1 khi x = −3, y = 1 |
| 6 | GTLN, GTNN của F = (x2 + x + 1)/(x2 + 1) | GTLN 3/2 khi x = 1; GTNN 1/2 khi x = −1 |
| 7 | GTLN, GTNN của H = x2 + y2 với x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 2 | GTLN 4 tại (2; 0) hoặc (0; 2); GTNN 2 tại (1; 1) |
Gợi ý ngắn
- Bài 1: A = (x − 4)2 + 4. Thử A(4) = 16 − 32 + 20 = 4.
- Bài 2: B = −3(x − 1)2 + 4. Thử B(1) = −3 + 6 + 1 = 4.
- Bài 3: Hai mốc −1 và 3 cách nhau 4. Trên đoạn nối hai mốc, tổng bằng 4.
- Bài 4: (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 và (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6. Đặt t = x2 + 5x + 5 thì D = t2 − 1. Phương trình t = 0 có Δ = 5.
- Bài 5: E = (x + 3)2 + (y − 1)2 + 1.
- Bài 6: F = 1 + x/(x2 + 1). Từ (x − 1)2 ≥ 0 và (x + 1)2 ≥ 0 suy ra −1/2 ≤ x/(x2 + 1) ≤ 1/2.
- Bài 7: x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 4 − 2xy. Với x, y ≥ 0 và x + y = 2, tích xy lớn nhất bằng 1 khi x = y = 1 (vì ((x + y)/2)2 ≥ xy), và xy nhỏ nhất bằng 0 khi một biến bằng 0. Nếu bỏ điều kiện không âm, biểu thức không có GTLN.
Sai lầm thường gặp
- Nhầm vai trò của a. Cùng một giá trị đỉnh, a dương cho GTNN, a âm cho GTLN. Nhìn parabol: nhánh đi lên thì đỉnh là đáy, nhánh đi xuống thì đỉnh là nóc.
- Quên bù số khi tách bình phương. x2 − 6x + 13 không phải (x − 3)2. Phải cộng 9 rồi trừ 9, còn lại +4.
- Công nhận dấu bằng khi không có nghiệm. Nếu t2 + 1 ≥ 1 nhưng t2 + 1 = 1 đòi hỏi t = 0, em phải chỉ ra t = 0 xảy ra được. Với phân thức, nếu k làm Δ = 0 nhưng mẫu bằng 0 thì k đó bị loại.
- Tưởng mọi biểu thức bị chặn đều đạt cận. (x2 + 2)/(x2 + 1) = 1 + 1/(x2 + 1) luôn lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2. GTLN là 2 khi x = 0; không có GTNN, chỉ có cận dưới 1.
- Cộng các đoạn dấu bằng không giao nhau. Nếu số hạng thứ nhất bằng nhau trên [1; 4], số hạng thứ hai bằng nhau trên [5; 6], thì không có x làm cả hai dấu bằng cùng lúc. GTNN của tổng có thể lớn hơn tổng hai cận.
- Bỏ điều kiện của đề. Ở bài 7, x, y không âm là lý do có GTLN. Thiếu điều kiện ấy, x = 100, y = −98 vẫn có tổng 2 nhưng bình phương rất lớn.
Câu hỏi thường gặp
Tam thức bậc hai tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thế nào?
Tính x = −b/(2a) và giá trị tại đỉnh (4ac − b²)/(4a). Nếu a > 0 thì đó là giá trị nhỏ nhất; nếu a < 0 thì đó là giá trị lớn nhất. Trên cả tập số thực, tam thức không có cận bên kia.
Tổng |x − p| + |x − q| nhỏ nhất khi nào?
Khi x nằm giữa p và q, giá trị nhỏ nhất bằng |q − p|. Với nhiều mốc trên một đường thẳng, điểm làm tổng khoảng cách nhỏ nhất là trung vị của các mốc.
Đặt ẩn phụ để tìm giá trị nhỏ nhất cần lưu ý gì?
Sau khi ra điều kiện của ẩn phụ, em phải kiểm tra giá trị ấy có thuộc miền của ẩn phụ hay không. Nếu không có x tương ứng thì dấu bằng không xảy ra.
Phân thức có luôn đạt cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất không?
Không. Em đặt phân thức bằng k rồi xét Δ ≥ 0. Có phân thức chỉ đạt một đầu, đầu kia chỉ là cận. Ví dụ (x² + 2)/(x² + 1) có giá trị lớn nhất 2 nhưng không có giá trị nhỏ nhất, chỉ tiến tới 1.
Vì sao bài có điều kiện x, y không âm lại quan trọng?
Điều kiện làm hẹp miền. Với x + y = 2 và x, y ≥ 0 thì x² + y² có cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bỏ điều kiện không âm, biểu thức không còn giá trị lớn nhất.