Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Cách xác định trung điểm và các dạng bài tập, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Trung điểm của đoạn thẳng, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Cách xác định trung điểm và các dạng bài tập

A. Lý thuyết Trung điểm của đoạn thẳng

1. Định nghĩa

Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (MA = MB). Trung điểm của đoạn thẳng AB còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB.

Nhận xét: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Ta có:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA = MB và M nằm giữa hai điểm A, B.

Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB 

Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB <=> 

2. Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho  . Khi đó, M là trung điểm của AB.

Ví dụ 1: Trên tia Ox vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 3cm, OB = 6cm.

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không?

b) So sánh OA và AB.

c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

Hướng dẫn:

a) Trên tia Ox có: 

Vậy điểm A nằm giữa O và B.

b) Vì điểm A nằm giữa O và B nên:

c) Ta có: điểm A nằm giữa O và B

OA = AB = 3cm

Suy ra, A là trung điểm của đoạn OB.

Ví dụ 2: Đoạn thẳng AB có độ dài là 5cm. Hãy vẽ trung điểm M của đoạn thẳng ấy

Ta có: 

Trên tia AB, vẽ điểm M sao cho AM = 2,5cm

3. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Khi B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta có:

+ B nằm giữa 2 điểm A và C

+ Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng BC hay AB = BC và AB + BC = AC

Từ đó, ta suy ra cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng như sau: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm B sao cho AB = 1 / 2 AC . Khi đó, B là trung điểm của AC.

Ví dụ: Trên tia Ox vẽ 2 điểm A và B sao cho OC = 3 cm, OB = 6 cm.

a) Điểm A có nằm giữa 2 điểm O và B không?

b) So sánh OA và AB.

c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? VÌ sao?

Hướng dẫn giải:

a) Trên tia Ox có: OA = 3 cm, OB = 6 cm => OA < OB

Mà hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox tức là 3 điểm O , A và B thẳng hàng.

Vậy điểm A nằm giữa O và B.

b) Vì điểm A nằm giữa O và B nên:

OB = OA + AB => AB = OB - OA = 6 - 3 = 3 cm

=> OA = AB = 3 cm

c) Ta có:

A nằm giữa O và B

OA = AB = 3 cm

=> A là trung điểm của đoạn thẳng OB

4. Nhận biết trung điểm của đoạn thẳng

Phương pháp giải

Ta sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng để nhận biết trung điểm của đoạn thẳng như sau:

Giả sử cho 3 điểm A , B và C. Để chứng minh B là trung điểm của AC, ta có:

Bước 1: Chứng minh điểm B nằm giữa 2 điểm A và C hay B thuộc đoạn thẳng AC.

Bước 2: Chứng minh độ dài hai đoạn thẳng AB và BC bằng nhau hay AB = BC và AB + BC = AC.

Bước 3: Kết luận B là trung điểm của AC dựa trên 2 đặc điểm: nằm giữa và tạo thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ. Trên đường thẳng xy cho ba điểm A, B, C theo thứ tự. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng: $MN=\frac{AC}{2}$

Hướng dẫn giải:

M là trung điểm của AB: $MN=\frac{AB}{2}$

N là trung điểm của BC: $NC=\frac{BC}{2}$

Khi đó: $MN=MB+BN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC}{2}=\frac{AC}{2}$

B. Các dạng bài tập về Trung điểm của đoạn thẳng

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm

Phương pháp giải:

Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau:

- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A,B thì AM + MB = AB

- Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = $\frac{AB}{2}$

Ví dụ : Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 3cm; OB = 6cm

1. Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không?

2. So sánh OA và AB

3. Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

Lời giải:

1. Vì A, B thuộc tia Ox mà OA = 3cm; OB = 6cm nên OA

2.  Điểm A nằm giữa O và B nên

$\begin{array}{l}OA+AB=OB\\ 3+AB=6\\ AB=3cm\end{array}$

Suy ra AB = OA (= 3 cm)

3.  A nằm giữa O và B đồng thời OA = AB nên A là trung điểm của OB

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta thường làm như sau:

Bước 1: Chứng tỏ M nằm giữa A và B.

Bước 2: Chứng tỏ MA = MB

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C và D sao cho AC = BD = 3cm

1. Tính độ dài đoạn CD

2. Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không? Vì sao?

Lời giải:

1.  Điểm D nằm giữa A, B nên $AD+BD=AB$ => $AD+3=8$ nên AD = 5cm

C và D cùng thuộc tia AB mà AC = 3cm, AD = 5cm nên $AC+CD=AD$

=> $3+CD=5$ nên CD = 2cm

2. M là trung điểm của AB nên $AM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)$

Trên tia AB có $AC+CM=AM$ => $3+CM=4$ hay CM = 1 cm

Trên tia AB có $AM+MD=AD$ => $4+MD=5$ hay MD=1cm

Ta có M nằm giữa C và D vì MC + MD = CD (1+1=2) đồng thời CM = MD nên M là trung điểm của đoạn CD

C. Bài tập về Trung điểm của đoạn thẳng

1. Bài tập nhận biết

Bài 1. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng AC là

A. Điểm B;

B. Điểm D;       

C. Điểm C;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 2. M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

A. MA = MB;

B. $AM=\frac{1}{2}AB$;

C. MA + MB = AB;

D. MA + MB = AB và MA = MB.

Bài 3. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng AC là

A. Điểm B;

B. Điểm O;       

C. Điểm N;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 4. Nếu ta có P là trung điểm của MN thì

A. $MP=NP=\frac{MN}{2}$;

B. $MP+NP=2MN$;

C. $MP=NP=\frac{MN}{4}$;

D. $MP=NP=MN$.

Bài 5. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng AE là

A. Điểm B;

B. Điểm D;       

C. Điểm C;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 6. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng AP là

A. Điểm B;

B. Điểm O;       

C. Điểm N;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 7. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng MP là

A. Điểm B;

B. Điểm O;       

C. Điểm N;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 8. Quan sát hình vẽ dưới đây, trung điểm của đoạn thẳng MC là

A. Điểm B;

B. Điểm O;       

C. Điểm N;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 9. Trên tia Ox lấy các điểm M, N, P sao cho MN = 1 cm; MP = 2 cm; OM = 2 cm; NP = 1 cm.Hãy chọn câu đúng nhất:

A. N là trung điểm của đoạn thẳng MP;

B. M là trung điểm của đoạn thẳng OP;

C. M là trung điểm của đoạn thẳng NP;

D. Cả A, B đều đúng.

Bài 10. Điền từ thích hợp vào chỗ chấm:

“M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi điểm M..... hai điểm A và B, đồng thời M ...... hai điểm A và B”.

A. nằm giữa, cách đều;

B. không nằm giữa, cách đều;

C. cách đều, không nằm giữa;

D. không nằm giữa, không cách đều.

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trên tia lấy ba điểm A, M, B. Biết OA = 8, OB = 14 và OM = 11 . Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

Lời giải:

Ta có: OA < OM < OB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB

Ta lại có: MA = OM - OA = 3; MB = OB - OM = 3 ⇒ MA = MB (2)

Từ (1), (2) ⇒ M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 2: Trên tia Ox có ba điểm A, B, C biết OA = 10cm, OB = 24cm, OC = 16cm . Gọi hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

a) Chứng minh điểm C thuộc đoạn thẳng AB

b) Tính độ dài đoạn thẳng OM, ON từ đó suy ra C là điểm nằm giữa M và N

c) Tính MN

Lời giải:

Bài 3: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là điểm bất kì nằm giữa A và M. Chứng tỏ rằng:

Lời giải:

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là điểm bất kì nằm giữa A và M, ta có:

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 8 cm. M là điểm nằm giữa A và B. Gọi C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM, MB. Độ dài đoạn thẳng CD là

A. 1 cm;

B. 2 cm;

C. 3 cm;

D. 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

M là điểm nằm giữa A và B nên AM + MB = AB.

Mà CM = $\frac{1}{2}$AM, MD = $\frac{1}{2}$MB.

Suy ra: CD = CM + MD = $\frac{1}{2}$AM + $\frac{1}{2}$MB = $\frac{1}{2}$AB = 4 cm.

Bài 5: Vẽ đoạn thẳng AB = 7 cm. C là điểm nằm giữa A và B, AC = 3 cm. M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Độ dài đoạn thẳng BM là

A. 1 cm;

B. 2 cm;

C. 3 cm;

D. 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

C là điểm nằm giữa A và B nên AC  + BC = AB.

Hay BC = AB – AC = 7 – 3 = 4 (cm).

Vì M là trung điểm của BC nên BM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.4 = 2 (cm).

Bài 6: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm M sao cho OM = 4 cm. Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON = 2cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OM và ON. Độ dài của đoạn thẳng AB là:

A. 2 cm;

B. 3 cm;

C. 3,5 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điểm A là trung điểm của OM nên OA = AM = $\frac{1}{2}$OM = $\frac{1}{2}$.4 = 2 (cm).

Điểm B là trung điểm của ON nên OB = BN  = $\frac{1}{2}$ON = $\frac{1}{2}$.2 = 1 (cm).

Ta có: AB = OA + OB = 2 + 1 = 3 (cm).

Bài 7: Cho Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 6 cm. Trên tia Oy lấy B điểm sao cho OB = 3 cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Độ dài đoạn thẳng MN là:

A. 2 cm;

B. 2,5 cm;

C. 3,5 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Điểm M là trung điểm của OA nên OM = MA = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Điểm N là trung điểm của OB nên ON = NB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$.3 = 1.5 (cm).

Ta có: MN = OM + ON = 3 + 1,5 = 4,5 cm.

Bài 8: Trên Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = 2 cm, OB = 6 cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB. Độ dài đoạn thẳng AM là

A. 1 cm;

B. 2 cm;

C. 2,5 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điểm M là trung điểm của OB nên OM = MB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Ta có: AM = OM – OA = 3 – 2 = 1 (cm).

Bài 9: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB. Độ dài đoạn thẳng AB là

A. 1 cm;

B. 1,5 cm;

C. 2 cm;

D. 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì hai điểm A và B thuộc Ox: OA = 4 cm, OB = 6 cm (OA < OB) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

Do đó: OA + AB = OB.

Ta có: AB = OB – OA = 6 – 4 = 2 cm.

Bài 10: Cho đoạn thẳng PQ dài 12 cm. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ và F là trung điểm của đoạn thẳng PE. Độ dài đoạn thẳng EF là

A. 3 cm;

B. 2 cm;

C. 2,5 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì E là trung điểm của PQ nên ta có: PE = EQ = $\frac{1}{2}$PQ = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm).

Vì F là trung điểm của PE nên ta có: PE = EF = $\frac{1}{2}$PF = $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Vậy EF = 3 cm.

Bài 11: Cho đoạn thẳng CD = 8 cm. I là điểm nằm giữa C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng IC, ID. Độ dài đoạn thẳng MN là

A. 2,5 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

M là trung điểm của IC: IM = $\frac{1}{2}$IC.

N là trung điểm của ID: IN = $\frac{1}{2}$ID.

Mặt khác: I nằm giữa C và D nên ta có: IC + ID = CD.

Do đó: MN = IM + IN = $\frac{1}{2}$(IC + ID) = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$.8 = 4 (cm).

Bài 12: Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm, C là điểm nằm giữa A, B. Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của CB. Độ dài đoạn thẳng MN là

A. 2 cm;

B. 3 cm;

C. 2,5 cm;

D. 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

M là trung điểm của AC nên AM = MC = $\frac{1}{2}$AC.

N là trung điểm của CB nên CN = NB = $\frac{1}{2}$CB.

Vì C nằm giữa 2 điểm A và B nên AC +  CB = AB.

Vì C nằm giữa 2 điểm M và N nên MN = MC = $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$CB = $\frac{1}{2}$(AC + CB).

Suy ra MN = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng MN là 3 cm.

Bài 13. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 4cm, OB = 7 cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC =  3 cm. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. O nằm giữa A và B;

B. B nằm giữa A và O;

C. AB = 2 cm;

D. B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

+) Trên tia Ox, có OA = 4 cm, OB = 7 cm.

Vì OA < OB nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

+) Vì A nằm giữa hai điểm O và B nên ta có: 4 + AB = 7.

Suy ra AB = 7 – 4 = 3 cm.

+) Ta có: AB = BC = 3 cm.

Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và C và AB = BC = 3 cm nên B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài hai đoạn thẳng AM và MB, biết AB = 4cm.

Bài 2: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài hai đoạn thảng AC và BC, biết AB = 6cm.

Bài 3: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm M sao cho OM = 4cm. Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON=2cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OM và ON.

a) Chứng tỏ O nằm giữa A và B.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bài 4: Cho Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3cm. Gọi M vàN lần lượt là trung điểm của OA và OB.

a) Tong ba điểm M,O,N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON và MN.

Bài 5: Trên Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA=2cm, OB =6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳn OB.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Chứng tỏ A nằm giữa O và M.

c) Tính đọ dài AM.

Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA= 4cm, OB = 6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB.

a) Tinh độ dài AB.

b) Chứng tỏ M nằm giữa hai điểm O và A.

Bài 7: Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Tính độ dài MN, biết AB = a

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC=4cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC.

a) Tính độ dài MC và NC.

b) Chứng tỏ điểm C nằm giữa hai điểm M và N.

c) Tính độ dài MN.