Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Đường phân giác là gì? Tính chất đường phân giác của tam giác, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Đường phân giác, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Đường phân giác là gì? Tính chất đường phân giác của tam giác

A. Lý thuyết Đường phân giác

1. Khái niệm

2. Tính chất

Định lí: (Tính chất đường phân giác của tam giác) Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

B. Bài tập Đường phân giác

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hãy chọn câu đúng. Tỉ số $\frac{x}{y}$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là cm.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{15}{7}$

D. $\frac{1}{15}$

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt AC ở E. Gọi I là giao điểm của AM và DE.

1. Chọn khẳng định đúng.

A. DE // BC

B. DI = IE

C. DI > IE

D. Cả A, B đều đúng

2. Tính độ dài DE, biết BC = 30cm, AM = 10cm.

A. 9cm

B. 6cm

C. 15cm

D. 12cm

Bài 3: Cho hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo. Tính giá trị biểu thức S = 49x² + 98y².

A. 3400

B. 4900

C. 4100

D. 3600

Bài 4: Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính BI?

A. 9cm

B. 6cm

C. 45cm

D. 3$\sqrt{5}$cm

Bài 5: Cho ΔABC, AE là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu đúng:

Bài 6: Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Độ dài AI là:

A. 9cm

B. 6cm

C. 45cm

D. 3 cm

Bài 7: Cho ΔABC, AE là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu sai:

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. Khi đó AD = ?

A. 3cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Độ dài AD là:

A. 1,5

B. 3

C. 4,5

D. 4

Bài 10: Cho tam giác ABC, $\hat{A}$ = 90⁰, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H Є BC). Tia phân giác của $\widehat{HAB}$ cắt HB tại D. Tia phân giác của $\widehat{HAC}$ cắt HC tại E. Tính HE?

A. 4cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình vẽ dưới đây.

a) Tính $\frac{x}{y}$ .

b) Tính x khi y = 5.

Hướng dẫn giải

a) Từ hình vẽ ta có AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}hay\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{7,5}}=\frac{x}{y}$.

Suy ra: $\frac{x}{y}=\frac{7}{15}$ .

b) Khi y = 5 thì x = $5\cdot \frac{7}{15}=\frac{7}{3}$ .

Bài 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.

Hướng dẫn giải

Vì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC, nên ta có

 $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$(1)

AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC, ta có:

 $\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Từ $\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}$ ⇒ DB = $\frac{2}{5}$ BC = $\frac{2}{5}$  . 10 = 4 (cm).

Từ $\frac{EB}{EC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{EB}{BC}=2$  ⇒ EB = 2BC = 2 . 10 = 20 (cm).

Vậy DB = 4 cm và EB = 20 cm.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5 cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác ABC, ta có:

với t > 0

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AC² + AB² hay ( 5t )² = 9² + ( 4t )² ⇔ ( 3t )² = 9² ⇒ t = 3 (vì t > 0 )

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3, EA/EB = 5/6. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

với t > 0

Theo giả thiết ta có: P_ABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12( cm ); BC = 18( cm ); AC = 15( cm )