Phương sai và độ lệch chuẩn: Lý thuyết và bài tập ví dụ

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 2 8.1 K 15

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương sai và độ lệch chuẩn: Lý thuyết và bài tập ví dụ, tài liệu bao gồm phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Lý thuyết và bài tập ví dụ

1. Phương sai: Kí hiệu s_x²

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Trong đó lần lượt là tần số, tần suất, giái trị đại diện của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê; là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho

Chú ý:Có thể tính theo công thức sau: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Trong đó Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

hoặc Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

Ý nghĩa phương sai

Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).

Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.

2. Độ lệch chuẩn:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai s_x² có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì s_x² là cm²), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn, kí hiệu là s_x

Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu.

3. Phương pháp giải

- Phương pháp tính phương sai, độ lệch chuẩn:

- Lập bảng phân bố tần số, tần suất

+ Tính trung bình cộng

+ Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

+ Áp dụng các công thức: $s_{x} = \sqrt{s_{x}^{2}}$

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

4. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:

80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72

68 39 41 54 61 72 75 72 61 58 65

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.

Giải

Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

Điểm	30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84
Tần số	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1

Ta có:

$\begin{array}{l} \bar{x} = \frac{1}{n} (n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + ... + n_{k} x_{k}) \\ = \frac{1}{25} (1.30 + 1.35 + 1.39 + 1.41 + 1.45 + 1.48 + 1.50 + 1.51 + 1.54 + 1.58 + 1.60 + 3.61 + 2.65 + 1.68 + 3.72 + 2.75 + 1.80 + 1.83 + 1.84) = 60, 2 \end{array}$

Phương sai: $s_{x}^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + n_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}] = 216, 8$

Độ lệch chuẩn $s_{x} = \sqrt{s_{x}^{2}} = \sqrt{216, 8} = 14, 724$

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn

Bài tập 2: Sản lượng lúa ( đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:

Sản lượng	20 21 22 23 24
Tần số	5 8 11 10 6

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Giải

a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

$\bar{x} = \frac{1}{40} (5.20 + 8.21 + 11.22 + 10.23 + 6.24) = 22, 1$ ( tạ)

b) Phương sai: $s_{x}^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + n_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}] = 1, 54$

c) Độ lệch chuẩn: $s_{x} = \sqrt{s_{x}^{2}} = \sqrt{1, 54} = 1, 24 (t a)$

Bài tập 3: Bảng phân bố sau đây cho biết chiều cao ( tính bằng cm) của 500 học sinh trong một trường THCS

Chiều cao	$[150; 154)$ $[154; 158)$ $[158; 162)$ $[162; 166)$ $[166; 170)$
Tần số	25 50 200 175 50

a) Tính số trung bình

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Giải

Lớp chiều cao	Giá trị đại diện	Tần số
$[150; 154)$	152	25
$[154; 158)$	156	50
$[158; 162)$	160	200
$[162; 166)$	164	175
$[166; 170)$	168	50

a) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{1}{500} (152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50) = 161, 4$

b) Phương sai: $\begin{array}{l} s_{x}^{2} = f_{1} {(c_{1} - \bar{x})}^{2} + f_{2} {(c_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + f_{k} {(c_{k} - \bar{x})}^{2} \\ = 25 {(152 - 161, 4)}^{2} + 50 {(156 - 161, 4)}^{2} + 200 {(160 - 161, 4)}^{2} + 175 {(164 - 161, 4)}^{2} + 50 {(168 - 161, 4)}^{2} = 14, 48 \end{array}$

Độ lệch chuẩn: $s_{x} = \sqrt{s_{x}^{2}} = \sqrt{14, 48} = 3, 85$

Bài tập 4: Trên 2 con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tần số của 30 chiếc xe ô tô trên mỗi con đường như sau:

Con đường A:

60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72

67 88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65

73 76

Con đường B:

76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 80

73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70 74 69

60 60

a) Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của tốc độ trên mỗi con đường A, B

b) Theo em thì xe chạy trên con đường nào thì an toàn hơn.

Giải

a) Số trung bình:

$\bar{x_{A}} = \frac{60 + 65 + 70 + ... + 65 + 73 + 76}{30} = 73, 63$

$\bar{x_{B}} = \frac{76 + 64 + 58 + ... + 69 + 60 + 63}{30} = 70, 7$

sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

Giá trị

Tần số

con đường A:

con đường B:

Giá trị	58	60	62	63	64	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	79	80	81
Tần số	1	1	1	3	1	1	2	1	3	2	2	2	2	2	1	2	2	1

Số trung vị con đường A: do n=30 chẵn nên $M_{e_{A}} = \frac{73 + 73}{2} = 73$

Số trung vị con đường B: do n=30 chẵn nên $M_{e_{B}} = \frac{71 + 71}{2} = 71$

Phương sai: $s_{A}^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + n_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}] = 77, 14$

$s_{B}^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + n_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}] = 37, 73$

Độ lệch chuẩn:

$s_{A} = \sqrt{s_{A}^{2}} = \sqrt{77, 14} = 8, 78$

$s_{B} = \sqrt{s_{B}^{2}} = \sqrt{37, 73} = 6, 11$

b) Nhận xét: chạy trên đường B an toàn hơn.

Bài tập 5: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất.

Giải

Điểm trung bình của học sinh là:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Phương sai:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Bài tập 6: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Giải

Số trung bình cộng:

$\bar{x} = f_{1} c_{1} + f_{2} c_{2} + ... + f_{k} c_{k} = \frac{3, 33}{100} .13 + \frac{10}{100} .15 + \frac{40}{100} .17 + \frac{30}{100} .19 + \frac{16, 67}{100} .21 \approx 17, 93$

Phương sai:

$s_{x}^{2} = f_{1} {(c_{1} - \bar{x})}^{2} + f_{2} {(c_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + f_{5} {(c_{5} - \bar{x})}^{2} = \frac{3, 33}{100} {(13 - 17, 93)}^{2} + \frac{10}{100} {(15 - 17, 93)}^{2} + \frac{40}{100} {(17 - 17, 93)}^{2} + \frac{30}{100} {(19 - 17, 93)}^{2} + \frac{16, 67}{100} {(21 - 17, 93)}^{2} \approx 3, 93$

Độ lệch chuẩn: $s_{x} = \sqrt{s_{x}^{2}} \approx 1, 98$

Bài tập 7: Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn.

Giải

Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Tài liệu có 2 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm