Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (hay, chi tiết), chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (hay, chi tiết)

A. Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) = 

+ Cho điểm A( x_A; y_A) và điểm B( x_B; y_B) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB = 

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

B. Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập trắc nghiệm

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1    B. 2    C.     D. 

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) =  = 

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:  = 1 là:

A. 4,8    B.     C. 1    D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d:  = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) =  = 4,8

Chọn A.

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng  là:

A. 2    B.     C.     D. 

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) : 

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) =  = 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4    B. R = 6    C. R = 8    D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) =  = 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A.     B. 1    C.     D. 

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) =  = 

Chọn A.

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10    B.     C.     D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

 ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) =  = 

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.     B. 3    C.     D. 

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) =  = 

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10    B. 5    C. √26    D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) =  = √5

+ BC =  = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S =  .d( A; BC).BC =  .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S =  = 2 .

Chọn B.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|5.2-3.3-2\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$.

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = $\frac{\left|5.0+2.0-1\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{\sqrt{29}}{29}$.

Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|2.\left(-5\right)-1.2+5\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$.

Bài 4. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5\iff \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-5=0$

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5$ là:

d(O; d) = $\frac{\left|\frac{0}{3}+\frac{0}{2}-5\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}$.

Bài 5. Tính khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}.

Hướng dẫn giải:

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

Do đó 2x + 3y - 19 = 0

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = $\frac{\left|2.3+3.\left(-5\right)-19\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{28\sqrt{13}}{13}$.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Tính Bán kính R của đường tròn (C).

Bài 2.  Tính Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng a: x - 3y + 4 = 0 và b: 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng d: 3x + y + 16 = 0.

Bài 3. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (d₁): 2x – 3y + 6 = 0 và (d₂): 5x + 3y – 2 = 0, đỉnh A(3; 5). Tính diện tích của hình chữ nhật.

Bài 4. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a): 3x – 2y + 1 = 0 và (b): 4x + 3y – 3 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng a: 2x – 3y + 2 = 0 và b: 4x + 3y – 3 = 0. Tính diện tích của hình chữ nhật.

Bài 5. Đường tròn (C) có tâm I (–2; –2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Tính bán kính R của đường tròn (C).