Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Số hữu tỉ là gì? Phép tính với số hữu tỉ, các dạng bài tập về số hữu tỉ, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Số hữu tỉ, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Số hữu tỉ là gì? Phép tính với số hữu tỉ, các dạng bài tập về số hữu tỉ

A. Lý thuyết Số hữu tỉ

1. Khái niệm Số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ .

• Cách biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ trên trục số:

 + Chia đoạn thẳng đơn vị thành b phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới.

 + Điểm biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ cách O một đoạn bằng a đơn vị mới và nằm trước O (nếu số hữu tỉ âm) hoặc nằm sau O (nếu số hữu tỉ dương).

Ví dụ:

+ Các số – 7; 0,3; – 2$\frac{3}{4}$ là các số hữu tỉ vì – 7 = $\frac{-7}{1}$ ; 0,3 = $\frac{3}{10}$ ; – 2$\frac{3}{4}$ = $\frac{-11}{4}$ .

+ Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{2}$ trên trục số ta làm như sau:

Chia đoạn thẳng đơn vị thành 2 phần bằng nhau. Lấy một đoạn làm đơn vị mới (H.a).

Số hữu tỉ $\frac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm N (nằm sau gốc O) và cách O một đoạn bằng 3 đơn vị mới (H.b)

+ Số đối của số hữu tỉ $\frac{3}{2}$là số hữu tỉ $-\frac{3}{2}$được biểu diễn bởi điểm M (nằm trước gốc O). Ta có OM = ON.

Chú ý:

• Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ m là số hữu tỉ – m.

• Số thập phân có thể viết dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số hữu tỉ. Tương tự, số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ.

• Trên trục số, hai điểm biểu diễn của hai số hữu tỉ đối nhau nằm về hai phía khác nhau so với điểm O và có cùng khoảng cách đến O.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

•Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

•Với hai số hữu tỉ a, b bất kì, ta luôn có hoặc a = b hoặc a < b hoặc a > b.

Cho ba số hữu tỉ a, b, c. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

•Trên trục số, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b.

Ví dụ:

+ So sánh 0,5 và $\frac{3}{4}$ta làm như sau: 0,5 = $\frac{5}{10}=\frac{2}{4}$và $\frac{3}{4}$. Vì $\frac{2}{4}$< $\frac{3}{4}$nên 0,5 < $\frac{3}{4}$.

+ 0,5 < $\frac{3}{4}$nên 0,5 nằm trước $\frac{3}{4}$trên trục số.

+ Ta có thể cử dụng tính chất bắc cầu để so sánh hai số hữu tỉ $\frac{5}{6}$và $\frac{6}{5}$như sau:

Vì $\frac{5}{6}$< 1 và 1 < $\frac{6}{5}$nên $\frac{5}{6}$< $\frac{6}{5}$.

Chú ý:

• Trên trục số, các điểm nằm trước gốc O biểu diễn số hữu tỉ âm (tức số hữu tỉ nhỏ hơn 0); các điểm nằm sau gốc O biểu diễn số hữu tỉ dương (tức số hữu tỉ lớn hơn 0). Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm.

3. Cộng, trừ số hữu tỉ

Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số với mẫu dương nên ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

Ví dụ:

+ Tính: $\frac{2}{-3}+\frac{-5}{6}+\frac{1}{3}+1\frac{1}{6}$

Hướng dẫn giải

$\frac{2}{-3}+\frac{-5}{6}+\frac{1}{3}+1\frac{1}{6}$

$=\frac{-2}{3}+\frac{-5}{6}+\frac{1}{3}+\frac{7}{6}$           (Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương

$=\frac{-2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{-5}{6}+\frac{7}{6}$            (Tính chất giao hoán)

$=\left(\frac{-2}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{-5}{6}+\frac{7}{6}\right)$      (Tính chất kết hợp)

$=\frac{-1}{3}+\frac{2}{6}$

$=\frac{-1}{3}+\frac{1}{3}$ = 0                     (Tổng hai số đối nhau bằng 0)

+ Tính: $\frac{31}{3}-\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)$

Hướng dẫn giải

$\frac{31}{3}-\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{31}{3}-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$        (Quy tắc bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước)

$=\left(\frac{31}{3}-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)$     (Quy tắc đặt dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước)

 $=\frac{29}{3}+0=\frac{29}{3}$                      (Cộng với số 0)

Chú ý:

• Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc cộng và trừ đối với số thập phân.

• Trong phép cộng trừ với số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, ta có thể áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, quy tắc dấu ngoặc như trong phép cộng trừ với số nguyên $\mathbb{Z}$.

• Đối với một tổng trong $\mathbb{Q}$, ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng trong $\mathbb{Z}$.

• Hai số đối nhau luôn có tổng bằng 0:

a + (– a) = 0.

4. Nhân và chia hai số hữu tỉ

• Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Ví dụ:

+  Tính $\frac{23}{3}\cdot \frac{6}{46}\cdot \left(-\frac{9}{10}\right)$

Hướng dẫn giải

$\frac{23}{3}\cdot \frac{6}{46}\cdot \left(-\frac{9}{10}\right)$

$=\frac{23}{3}\cdot \frac{3}{23}\cdot \left(-\frac{9}{10}\right)$

$=1\cdot \left(-\frac{9}{10}\right)=-\frac{9}{10}$                (Nhân với số 1)

+  Tính $-\frac{7}{6}:1\frac{5}{7}$

Hướng dẫn giải

 $-\frac{7}{6}:1\frac{5}{7}$

$=-\frac{7}{6}:\frac{12}{7}$

$=-\frac{7}{6}\cdot \frac{7}{12}=-\frac{49}{72}$

+  Tính hợp lí: $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot \left(-0,25\right)$

Hướng dẫn giải

 $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot \left(-0,25\right)$

$=\frac{7}{6}\cdot \left[3\frac{1}{4}+\left(-0,25\right)\right]$

$=\frac{7}{6}\cdot \left(\frac{13}{4}+\frac{-1}{4}\right)$

$=\frac{7}{6}\cdot \frac{12}{4}=\frac{7}{2}$

Chú ý:

• Phép nhân các số hữu tỉ cũng có các tính chất của phép nhân phân số.

• Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc nhân và chia đối với số thập phân.

Ví dụ: 1,25 . (– 4,6) = – (1,25 . 4,6) = – 5,75.

B. Bài tập Số hữu tỉ

Dạng 1: Nhận biết, so sánh và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Bài 1. Điền kí hiệu (∈, ∉) thích hợp vào chỗ chấm:

a) 0,25 … $\mathbb{Q}$ ;

b) $-\frac{5}{7}$ … $\mathbb{Q}$ ;

c) 0 … $\mathbb{Q}$ ;

d) $3\frac{1}{8}$ … $\mathbb{Q}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì 0,25 = $\frac{1}{4}$ nên 0,25 $\in$ $\mathbb{Q}$

b) $-\frac{5}{7}$ $\in$ $\mathbb{Q}$

c) Vì 0 = $\frac{0}{1}$ nên 0 $\in$ $\mathbb{Q}$

d) Vì $3\frac{1}{8}$ = $\frac{25}{8}$ nên $3\frac{1}{8}$ $\in$ $\mathbb{Q}$ .

Bài 2. Cho trục số sau:

a) Các điểm A, B, C, D biểu diễn những số hữu tỉ nào?

b) Tìm số đối của các số hữu tỉ trên và biểu diễn chúng trên trục số.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy đoạn thẳng đơn vị cũ (ví dụ đoạn từ 0 đến 1) được chia thành 5 phần bằng nhau nên đoạn đơn vị mới bằng $\frac{1}{5}$ đơn vị cũ. Do đó:

Điểm A nằm trước gốc O và cách gốc O một khoảng bằng 7 đơn vị nên nó biểu diễn số hữu tỉ $-\frac{7}{5}$ .

Tương tự, ta có được:

Điểm B biểu diễn số hữu tỉ $-\frac{2}{5}$ .

Điểm C biểu diễn số hữu tỉ $\frac{4}{5}$ .

Điểm D biểu diễn số hữu tỉ $\frac{9}{5}$ .

b) Số đối của $-\frac{7}{5}$ là $-\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{7}{5}$

Số đối của $-\frac{2}{5}$ là $-\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}$

Số đối của $\frac{4}{5}$ là $-\frac{4}{5}$

Số đối của $\frac{9}{5}$ là $-\frac{9}{5}$

Biểu diễn trên trục số:

Bài 3. So sánh:

a) – 1,25 và – 1,125;

b) $0,8$ và $\frac{8}{15}$ ;

c) $-\frac{2}{19}$ và $-\frac{10}{19}$ ;

d) $2\frac{2}{3}$ và $\frac{17}{6}$ ;

e) $\frac{1}{2022}$ và $\frac{1}{2023}$ ;

f) – 5,6 và $\frac{1}{2}$ ;

g) $\frac{7}{9}$ và 1,5.

Hướng dẫn giải

a) Có 1,25 > 1,125 nên – 1,25 < – 1,125

b) Có $0,8$ = $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$ , vì $\frac{12}{15}$ > $\frac{8}{15}$ . Nên 0,8 > $\frac{8}{15}$

c) Có $\frac{2}{19}$ < $\frac{10}{19}$ nên $-\frac{2}{19}$ > $-\frac{10}{19}$

d) Có $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$ , vì $\frac{16}{6}$ < $\frac{17}{6}$ . Nên $2\frac{2}{3}$ < $\frac{17}{6}$

e) $\frac{1}{2022}$ > $\frac{1}{2023}$

f) Có – 5,6 < 0 và $\frac{1}{2}$ > 0. Nên – 5,6 < $\frac{1}{2}$

g) Có $\frac{7}{9}$ < 1 và 1,5 > 1. Nên $\frac{7}{9}$ < 1,5.

Dạng 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Bài 1. Tính:

a)  $\frac{-8}{18}+\frac{15}{27}$;

b)  $3,5-\left(-\frac{2}{7}\right)$;

c)  -0,25.(-0,4);

d)  $-6:3\frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-8}{18}+\frac{15}{27}=\frac{-4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{1}{9}$ 

b) $3,5-\left(-\frac{2}{7}\right)=\frac{7}{2}+\frac{2}{7}=\frac{49}{14}+\frac{4}{14}=\frac{53}{14}$ 

c) $-0,25\cdot \left(-0,4\right)=0,25\cdot 0,4=0,1$ 

d)  $-6:3\frac{1}{5}=-6:\frac{16}{5}=-6\cdot \frac{5}{16}=\frac{-15}{8}$.

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)  $\left(7+3\frac{1}{4}-\frac{3}{5}\right)+\left(0,4-5\right)-\left(4\frac{1}{4}-1\right)$;

b)  $\frac{2}{3}-\left[\left(-\frac{7}{4}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\right)\right]$;

c)  $\left(9-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right):\left(7-\frac{1}{4}-\frac{5}{8}\right)$;

d)  $3-\frac{1-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{7}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\left(7+3\frac{1}{4}-\frac{3}{5}\right)+\left(0,4-5\right)-\left(4\frac{1}{4}-1\right)$  

$=7+3\frac{1}{4}-\frac{3}{5}+0,4-5-4\frac{1}{4}+1$

$=\left(7-5+1\right)+\left(3\frac{1}{4}-4\frac{1}{4}\right)+\left(-\frac{3}{5}+0,4\right)$

$=3+\left(-1\right)+\left(-0,6+0,4\right)$

$=2+\left(-0,2\right)=1,8$

b) $\frac{2}{3}-\left[\left(-\frac{7}{4}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\right)\right]$ 

$=\frac{2}{3}-\left[\left(-\frac{7}{4}\right)-\left(\frac{4}{8}+\frac{3}{8}\right)\right]$

$=\frac{2}{3}-\left[\left(-\frac{14}{8}\right)-\frac{7}{8}\right]$

$=\frac{2}{3}-\left(-\frac{21}{8}\right)$

$=\frac{2}{3}+\frac{21}{8}$

$=\frac{16}{24}+\frac{63}{24}=\frac{79}{24}$

c)  $\left(9-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right):\left(7-\frac{1}{4}-\frac{5}{8}\right)$

$=\left(\frac{36}{4}-\frac{2}{4}-\frac{3}{4}\right):\left(\frac{56}{8}-\frac{2}{8}-\frac{5}{8}\right)$

$=\frac{31}{4}:\frac{49}{8}=\frac{31}{4}\cdot \frac{8}{49}=\frac{62}{49}$

d) $3-\frac{1-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{7}}=3-\left(1-\frac{1}{7}\right):\left(1+\frac{1}{7}\right)$

$=3-\frac{6}{7}:\frac{8}{7}=3-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{8}$

$=3-\frac{3}{4}=\frac{12}{4}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

Bài 3. Tính một cách hợp lí.

a)  $3\frac{3}{4}+\left(-0,7\right)+\frac{5}{4}+\left(-4,3\right)$;

b)  $2\frac{3}{5}\cdot \left(-2022\right)+0,45\cdot 94-2,6\cdot \left(-2022\right)+0,55\cdot 94$;

c)  $\left(6-\frac{5}{3}+\frac{1}{2}\right)-\left(3+\frac{2}{3}-\frac{3}{2}\right)-\left(5+\frac{5}{2}-\frac{7}{3}\right)$;

d)  $-2,4\cdot \frac{17}{4}+\frac{12}{7}\cdot \frac{-85}{6}-2,4\cdot \left(-5\frac{5}{4}\right)-\frac{12}{7}\cdot \frac{-71}{6}$.

Hướng dẫn giải

a) $3\frac{3}{4}+\left(-0,7\right)+\frac{5}{4}+\left(-4,3\right)$ 

$=3,75+\left(-0,7\right)+1,25+\left(-4,3\right)$

$=\left(3,75+1,25\right)+\left[\left(-0,7\right)+\left(-4,3\right)\right]$

$=5+\left(-5\right)=0$

b)  $2\frac{3}{5}\cdot \left(-2022\right)+0,45\cdot 94-2,6\cdot \left(-2022\right)+0,55\cdot 94$

$=2,6\cdot \left(-2022\right)-2,6\cdot \left(-2022\right)+\left(0,45+0,55\right)\cdot 94$

$=\left(2,6-2,6\right)\cdot \left(-2022\right)+1\cdot 94$

$=0\cdot \left(-2022\right)+94$

$=0+94=94$

c) $\left(6-\frac{5}{3}+\frac{1}{2}\right)-\left(3+\frac{2}{3}-\frac{3}{2}\right)-\left(5+\frac{5}{2}-\frac{7}{3}\right)$ 

$=6-\frac{5}{3}+\frac{1}{2}-3-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-5-\frac{5}{2}+\frac{7}{3}$

$=\left(6-3-5\right)-\left(\frac{5}{3}+\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\right)$

$=-2-0+\left(-\frac{1}{2}\right)$

 $=\frac{-4}{2}+\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-5}{2}$.

d) $-2,4\cdot \frac{17}{4}+\frac{12}{7}\cdot \frac{-85}{6}-2,4\cdot \left(-5\frac{5}{4}\right)-\frac{12}{7}\cdot \frac{-71}{6}$ 

$=-2,4\cdot \left[\frac{17}{4}+\left(-5\frac{5}{4}\right)\right]+\frac{12}{7}\cdot \left(\frac{-85}{6}-\frac{-71}{6}\right)$

$=-2,4\cdot \left(\frac{17}{4}+\frac{-25}{4}\right)+\frac{12}{7}\cdot \left(\frac{-85}{6}+\frac{71}{6}\right)$

$=-2,4\cdot \left(\frac{-8}{4}\right)+\frac{12}{7}\cdot \left(\frac{-14}{6}\right)$

$=-2,4\cdot \left(-2\right)+\frac{12}{7}\cdot \left(\frac{-7}{3}\right)$

= 4,8 + (-0,4) = 0,8.