Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Bất đẳng thức: Lý thuyết và các dạng bài tập về bất đẳng thức, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Bất đẳng thức, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Bất đẳng thức: Lý thuyết và các dạng bài tập về bất đẳng thức

A. Lý thuyết Bất đẳng thức

1. Khái niệm

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c < d (hay a > b và c > d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c > d (hay a > b và c < d) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Ví dụ 2. Ví dụ hai bất đẳng thức cùng chiều là: $3>\sqrt{8}$ và $\sqrt{10}>3.$

Ví dụ hai bất đẳng thức ngược chiều là: $\sqrt{10}>3$ và $\sqrt{10}<4.$

2. Tính chất

Với hai số thực a và b, ta có:

⦁ Nếu a > b thì a – b > 0. Ngược lại, nếu a – b > 0 thì a > b.

⦁ Nếu a < b thì a – b < 0. Ngược lại, nếu a – b < 0 thì a < b.

⦁ Nếu a ≥ b thì a – b ≥ 0. Ngược lại, nếu a – b ≥ 0 thì a ≥ b.

⦁ Nếu a ≤ b thì a – b ≤ 0. Ngược lại, nếu a – b ≤ 0 thì a ≤ b.

Nhận xét: Dựa vào các khẳng định nêu trên, để chứng minh a > b, ta có thể chứng minh a – b > 0 hoặc chứng minh b – a < 0.

Ví dụ 3. Cho a < b, hãy so sánh:

a) 3a và 2a + b.

b) 2b + 3a và 4a + b – 1.

Hướng dẫn giải

Do a < b nên a – b < 0 và b – a > 0.

a) Xét hiệu: 3a – (2a + b) = 3a – 2a – b = a – b.

Do a – b < 0 nên 3a – (2a + b) < 0 hay 3a < 2a + b.

b) Xét hiệu: (2b + 3a) – (4a + b – 1) = 2b + 3a – 4a – b + 1 = (b – a) + 1.

Do b – a > 0 và 1 > 0 nên (b – a) + 1 > 0.

Vậy (2b + 3a) – (4a + b – 1) > 0 hay 2b + 3a > 4a + b – 1.

Một số tính chất của bất đẳng thức:

(1) Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

  ⦁ Nếu a > b thì a + c > b + c với mọi số thực c.

  ⦁ Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c với mọi số thực c.

(2) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

  ⦁ Nếu a > b thì ac > bc;

  ⦁ Nếu a < b thì ac < bc;

  ⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc;

  ⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc.

(3) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có:

  ⦁ Nếu a > b thì ac < bc;

  ⦁ Nếu a < b thì ac > bc;

  ⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc;

  ⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc.

(4) Nếu a > b và b > c thì a > c.

B. Bài tập Bất đẳng thức

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức nhờ định nghĩa

a. Phương pháp giải:

Để chứng minh  $A\ge B$ (hoặc A > B), ta làm các bước sau:

Bước 1: xét hiệu A – B.

Bước 2: chứng minh  $A-B\ge 0$ ( hoặc A – B > 0).

Sử dụng linh hoạt kiến thức ở phần lý thuyết để chứng minh ở bước 2.

Bước 3: kết luận.

Bước 4: xét A = B khi nào?

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ .

Hướng dẫn:

Ta có:  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{{(a-b)}^2}{ab}\ge 0$ (do a, b > 0)

Vậy  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2:  Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý, chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ .

Lời giải:

Xét biểu thức: $M=a^2+b^2+c^2–\left(ab+bc+ca\right)$ . 

Suy ra:

$\begin{array}{l}2M=2a^2+2b^2+2c^2-2ab–2bc–2ca\\ =(a^2–2ab+b^2)+(b^2–2bc+c^2)+(c^2–2ca+a^2)\\ ={\left(a–b\right)}^2+{\left(b–c\right)}^2+{\left(c–a\right)}^2\end{array}$

Vì: ${\left(a–b\right)}^{2 }\ge 0;{\left(b–c\right)}^2\ge 0;{\left(c–a\right)}^2\ge 0$. 

Do đó ${\left(a–b\right)}^2+{\left(b–c\right)}^2+{\left(c–a\right)}^2\ge 0$ . 

Suy ra $2a^2+2b^2+2c^2-2ab–2bc–2ca\ge 0$ hay  $a^2+b^2+c^2–\left(ab+bc+ca\right)\ge 0$

Vậy $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

a. Phương pháp giải:

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm

- Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích

- Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau

- Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng:

Đối với hai số: $x^2+y^2\ge 2xy;x+y\ge 2\sqrt{xy}$ với mọi $x;y\ge 0$

Đối với ba số: $abc\le \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ ; $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$  với mọi $a;b;c\ge 0$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Lời giải:

Vì x, y, z là các số thực dương suy ra $\frac{x}{yz},\frac{y}{z\text{x}},\frac{z}{xy}$ là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

 $\frac{x}{yz}+\frac{y}{x\text{z}}\ge 2.\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{y}{x\text{z}}}=\frac{2}{z}$ (1)

$\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}\ge 2.\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{z}{xy}}=\frac{2}{y}$  (2)

 $\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\ge 2.\sqrt{\frac{z}{xy}.\frac{y}{zx}}=\frac{2}{x}$ (3)

Cộng các vế của (1), (2) và (3) ta được $2\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)\ge 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

Hay $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}\ge 36$ ?

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có:

 $\frac{1}{a}+36a\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}.36a}=12$ (1)

$\frac{4}{b}+36b\ge 2\sqrt{\frac{4}{b}.36b}=24$  (2)

 $\frac{9}{c}+36c\ge 2\sqrt{\frac{9}{c}.36c}=36$ (3)

Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được

$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}+36(a+b+c)\ge 72\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}\ge 36$  (do a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{a}=36a;\frac{4}{b}=36b;\frac{9}{c}=36c$ và a + b + c = 1 hay $a=\frac{1}{6};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{2}$ .  

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nhờ bất đẳng thức

a. Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,…  để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+\frac{16}{x},x>0$ .

Lời giải:

Ta có: $P=x^2+\frac{16}{x}$ $=x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}$ . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số, ta có: $x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}$$\ge 3\sqrt[3]{x^2.\frac{8}{x}.\frac{8}{x}}=12$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\frac{8}{x}=\frac{8}{x}\iff x=2$ .

Ví dụ 2: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b (0 < a, b < 150) (đơn vị: mét)

Từ giả thiết, ta có a + b = 300 : 2 = 150 (m)

Diện tích hình chữ nhật là $S=a.b\left(m^2\right)$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\sqrt{a.b}\le \frac{a+b}{2}\iff \sqrt{a.b}\le 75\iff ab\le 5625\iff S\le 5625$.

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là $5625m^2$ .

Dấu bằng xảy ra $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ a+b=150\end{array}\right.\iff a=b=75.$

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng

A. $a-c>b-d$ .     

B. $a+c>b+d$ .     

C. $ac>bd$ .  

D. $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$ .

Lời giải:

Chọn  B.

Theo tính chất bất đẳng thức, $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\iff a+c>b+d$ .

Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng?

A. $\left\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$ . 

B. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow a-c>b-d$ .

C. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$ .       

D. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$ .

Hướng dẫn

Chọn  A.

$\left\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$ đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A. $6a>3a$ .  

B. $3a>6a$ .  

C. $6-3a>3-6a$ . 

D. $6+a>3+a$ .

Hướng dẫn

Chọn  D.

Ta có $6+a>3+a$$\iff 6+a-3-a>0$ $\iff 3>0$ đúng với mọi số thực a.

Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $a>b\iff a-b>0$ .

B. $a>b>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ .      

C. $a>b\iff a^3>b^3$ .         

D. $a>b\iff a^2>b^2$ .

Hướng dẫn

Chọn D.

Các mệnh đề A, B, C đúng.

Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: $-2>-5$ nhưng ${\left(-2\right)}^2=4<25={\left(-5\right)}^2.$

Câu 5: Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $2a<2b$ .  

B. $a>b-c,\forall c\in ℝ.$          

C. $-a<-b.$   

D. $ac>cb,\forall c\in ℝ$ .

Hướng dẫn

Chọn C.

Đáp án A sai ví dụ $2>0\Rightarrow 2.2>2.0$ 

Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2.

Đáp án C đúng vì $-a<-b\iff a>b.$ 

Đáp án D sai khi $c\le 0.$ 

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$ . 

B. $\left|x\right|<a\iff -a<x<a,$ $\left(a>0\right)$ .

C. $a>b\iff ac>bc{,}^{}\left(\forall c\in ℝ\right)$ .  

D. $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ , $\left(a\ge 0,b\ge 0\right)$ .

Hướng dẫn

Chọn C.

Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b.

Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).

Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2.      

B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.

C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4.      

D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2.

Hướng dẫn

Chọn C.

Với mọi số thực a và b ta luôn có: $a.b\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a.b\le 4.$ 

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=2.$ 

Câu 8: Gi$2-\sqrt{2}$á trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{3}{x}$ với x > 0 là:

A. $4\sqrt{3}$ .      

B. $2\sqrt{6}$ .

C. $\sqrt{6}$ .        

D. $2\sqrt{3}$ .

Hướng dẫn

Chọn  B.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $2x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{6}$ suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng $2\sqrt{6}$ .

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ .

A. 2.  

B. $\sqrt{2}$ .         

C. $2-\sqrt{2}$ .   

D. 0.

Hướng dẫn

Chọn  B.

$A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định $D=\left[2;4\right]$ .

Ta có: $A^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge 2\Rightarrow A\ge \sqrt{2}$ , dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4.

Câu 10: Cho các mệnh đề sau

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\left(I\right)$ ; $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\left(II\right)$ ; $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\left(III\right)$ 

Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:

A. (I) đúng và (II), (III) sai.       

B. (II) đúng và (I), (III) sai.

C. (III) đúng và (I), (II) sai.       

D. (I), (II), (III) đúng.

Hướng dẫn

Chọn  D.

Với mọi a, b, c dương ta luôn có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ , dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng.

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3$ , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng.

$\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9$$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho a, b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.

Lời giải:

Xét hiệu:    

$\frac{a^2+b^2}{2}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$  =  $\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

=  $\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\right)$  =  $\frac{1}{4}{\left(a-b\right)}^2\ge 0$

Vậy $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.  Dấu “=” xảy ra khi  a = b.

Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực, chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)$ .

Lời giải:

Xét hiệu:

$4(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)-4a\left(b+c+d+e\right)$

$=\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ac+4e^2\right)$
$={\left(a-2b\right)}^2+{\left(a-2c\right)}^2+{\left(a-2d\right)}^2+{\left(a-2e\right)}^2\ge 0$   

Vậy  $4(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)\ge 4a\left(b+c+d+e\right)$ suy ra $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)$

Dấu “=” xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e.

Câu 3: Chứng minh rằng: $\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge 8abc\forall a,b,c\ge 0$ .

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\left.\begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ b+c\ge 2\sqrt{bc}\\ c+a\ge 2\sqrt{ca}\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 8abc$ . Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c$ .

Câu 4: Chứng minh rằng: $\frac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}\ge 4$ $\left(\forall a\right)$ . 

Lời giải:

Ta có: $a^2+8=(a^2+4)+4\ge \text{2 }\sqrt{(a^2+4).4}$( theo bất đẳng thức Cô-si)

Do đó: $\frac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}\ge \frac{2\sqrt{\left(a^2+4\right).4}}{\sqrt{a^2+4}}=4$

Dấu “=” xảy ra $\iff a^2+4=4\iff a=0$.

Câu 5: Cho a, b, c > 0  và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$ (1)

Hướng dẫn:    

Đặt  x = $a^2+2bc$ ;  y = $b^2+2ac$ ;  z = $c^2+2ab$ ( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0)

Ta có: $x+y+z={\left(a+b+c\right)}^2=1$

Với x + y + z = 1  và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có:  

$x+y+z\ge$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$  và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge$ 3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$

  $\Rightarrow$$\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$

Suy ra $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$ hay $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$ .

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$ ; x#0.

Lời giải:

Xét hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$$=4x^2+\frac{9}{x^2}-3$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $4x^2+\frac{9}{x^2}$$\ge 2\sqrt{4x^2.\frac{9}{x^2}}$ $=12$ $\Rightarrow$$y\ge 9$   .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$  là 9 khi $4x^2=\frac{9}{x^2}$$\iff x^2=\frac{3}{2}$$\iff x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Câu 7: Cho $x\ge 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-2}}{x}$ .

Lời giải:

Ta có  $f\left(x\right)\ge 0$ và ${\left[f\left(x\right)\right]}^2=\frac{x-2}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{1}{8}-2{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)}^2\le \frac{1}{8}\Rightarrow 0\le f\left(x\right)\le \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng  $\frac{\sqrt{2}}{4}$ đạt được khi x=4

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y=\sqrt{6-2x}+\sqrt{3+2x}$ .

Lời giải:

Tập xác định của hàm số $D=\left[-\frac{3}{2};3\right]$ .

Ta thấy $y>0\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$ .

Có $y^2=9+2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\ge 9\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$ . 

Suy ra $y\ge 3$ ; $\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=3\end{array}\right.$ . 

Vậy $\underset{x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]}{Miny}=3$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\le \left(6-2x\right)+\left(3+2x\right)=9$ với $\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Suy ra $y^2\le 18,\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]\Rightarrow y\le 3\sqrt{2},\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Dấu bằng xảy ra khi $6-2x=3+2x\iff x=\frac{3}{4}$ . 

Vậy $\underset{x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]}{Maxy}=3\sqrt{2}$ .

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn ab>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}-1$ .

Lời giải:

Ta có:

$P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}-1$

$=\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+1\right)+\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}+1\right)-3$

$={\left(\frac{a}{b}-1\right)}^2+{\left(\frac{b}{a}-1\right)}^2-3\ge -3$

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b}=1\\ \frac{b}{a}=1\end{array}\right.\iff a=b\ne 0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi   ( ).

Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được?

Lời giải:

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường).

Ta có: 2x + y = 100 .

Diện tích hình chữ nhật là : 

$S=xy=2.x.\frac{y}{2}\stackrel{C\text{}osi}{\le }2.{\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{8}{\left(2x+y\right)}^2=\frac{1}{8}{\left(100\right)}^2=1250$.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250${\text{m}}^{\text{2}}$  khi $x=\frac{y}{2}\iff y=2x\Rightarrow x=25\text{\hspace{0.17em}m}$ ; y=50m .

$x+\frac{1}{x}\ge 2.$