Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng

Tải xuống 3 6.6 K 23

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng, tài liệu bao gồm 3 trang, tổng hợp đầy đủ lí thuyết công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng

1. Kiến thức cần nhớ

a) Thể tích khối chóp

- Thể tích khối chóp: V=13Sh với S là diện tích đáy, h là chiều cao.

- Một phép vị tự tỉ số k biến khối đa diện có thể tích V thành khối đa diện có thể tích V thì: VV=|k|3

b) Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác

Nếu A,B,C là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:

2. Một số dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Từ giả thiết của đề bài, ta xác định được đường cao h là cạnh bên vuông góc với đáy. Do vậy ở dạng toán này ta chỉ cần nắm vững các công thức tính độ dài và góc trong hình phẳng để áp dụng tìm cạnh, đoạn của đáy và đường cao. Từ đó ta tính được diện tích đáy và đường cao.

TH1: Khối chóp có đáy là tam giác ABC có SA vuông góc với đáy.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

V=13.SABC.SA.

TH2: Khối chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành, … và SA vuông góc với đáy.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

V=13.SABCD.SA

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.               

B. V = 192.             

C. V = 32.               

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta có AB2+AC2=62+82=102=BC2  suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo), do đó diện tích tam giác ABC là: S=12AB.AC=12.6.8=24

Vì SA vuông góc với đáy nên SA là đường cao của hình chóp.

Do đó h = SA = 4.

Vậy VSABC=13.SA.SABC=13.4.24=32  (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD có mặt bên (SAD)(ABCD)

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đường cao của hình chóp là đường cao của tam giác SAD. Chứng minh:

(SAD)(ABCD)(SAD)(ABCD)=ADSH(SAD)SHADSH(ABCD)

Đặc biệt nếu tam giác SAD cân hoặc đều thì đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

VS.ABCD=13.SABCD.SH

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S. ABC là

A. V=a32

B.  V=a3

C.  V=3a32

D. V=3a3

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn B.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+) Các mặt bên là các tam giác cân tại S.

+) Đáy ABCD là hình vuông.

+) Đường cao là SO với O là tâm của đáy.

+) Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau:

SAO^=SBO^=SCO^=SDO^VS.ABCD=13SABCD.SO

Chú ý:

a)  Với hình chóp tam giác đều ta làm tương tự.

b)  Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

DH là đường cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy ra thể tích của khối tứ diện đều ABCD là V=13.SABC.DH .

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

A. V=a362

B.  V=a363

C. V=a332

D. V=a366

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO(ABCD) .

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên ta có : SABCD=a2  và BD=a2 . Suy ra BO=BD2=a22

Ta có OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa cạnh bên SB với đáy là góc SBO bằng 600 .

Suy ra chiều cao SO : 

SO=OB.tanSBO^=a22.tan600=a62

Vậy :

VS.ABCD=13.SABCD.SO=13.a2.a62=a366

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. V=13a312

B. V=11a312

C. V=11a36

D. V=11a34

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy ra SO(ABCD) .

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Ta có: BC = a nên BI=a2 .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABI ta có:

AI=AB2BI2=a2a24=a32

Ta có: AO=23AI=2a33.2=a33  (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có  

SO=SA2AO2=4a2a23=11a3

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

V=13SABC.SO=13.12a.a32.11a3=11a312

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh bên hoặc mặt bên tạo với đáy một góc α  và một số bài toán khác

 Các giả thiết của bài toán này khá đa dạng, tuy nhiên cách giải của các bài toán này nằm ở 2 bước sau:

+) Bước 1: Xác định được góc trên hình vẽ.

+) Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố cạnh liên quan tới chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA = 2a. SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30°. Tam giác ABC vuông cân tại B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a.

A. 27a310

B. 9a310

C. 9a340

D. 81a310

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:AB2+BM2=AM2 (định lý Py – ta – go)

AB2+14AB2=AM254AB2=27a24AB=3a155

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên:

BC=BA=3a155VSABC=13SG.SΔABC=13.SG.12.BA.BC=13a.123a1552=9a310

Chọn B.

3. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp

Nội dung

Hình vẽ

Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S1,S2,S3

Khi đó:   VS.ABC=2.S1S2S33

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau,  BSC^=α,ASB^=β.

Khi đó:   VS.ABC=SB3.sin2α.tanβ12

Cho hình chóp đều S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a cạnh bên bằng b.

Khi đó:  VS.ABC=a23b2-a212 

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α

Khi đó:   VS.ABC=a3tanα24

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng B và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β

Khi đó:   VS.ABC=3b3.sinβ.cos2β4

Cho hình chóp tam giác đều S,ABC có các cạnh đáy bằng a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β

Khi đó:   VS.ABC=a3tanβ12

4. Bài tập tự luyện

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng. Hãy tìm thể tích khối chóp.

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 3)

Giả sử O là tâm tam giác đều ABC.

Khi đó SOABC và SO=h.

Gọi K là trung điểm của AB.

Đặt AK = x

Khi đó SK=xcotφ,OK=xtan30°=x3

Ta có h2=SK2OK2=x233cot2φ1 nên

x2=3h23cot2φ1,SABC=AB2sin60°2=x23

Vậy VS.ABC=13SABC.h=x233h=h333cot2φ1.

Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng vuông góc với nhau từng đôi một:

a) Tính thể tích hình chóp O.ABC.

b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC.

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 1)

a)   Ta cóAOOBAOOCdo đóOA(OBC)

nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC

với đáy là OBC và đường cao là AO

Do đó: V=13SOBC.OA=abc6

b)    HạOH(ABC)thì H là trực tâm của đáy.

Ta có:

1OH2=1a2+1OA2=1a2+1b2+1c2=b2c2+a2c2+a2b2a2b2c2

Do đó: OH=abca2b2+b2c2+a2c2

 V=13SABC.OHSABC=3VOH=a2b2+b2c2+a2c22.

Bài toán 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính thể tích hình chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 2)

Gọi K là trung điểm của BC vàI=SKMN.

Từ giả thiết suy raMN=12BC=a2,MNBC,

suy ra I là trung điểm của SK và MN.

Ta cóΔSAB=ΔSACnên hai trung tuyến tương ứng

AM=AN, do đóΔAMNcân tại A, suy raAIMN.

(SBC)(AMN)AI(SBC)AISK.

Do đóΔSAKcân tại A, suy ra SA=AK=a32

Ta có SK2=SB2BK2=3a24a24=a22nên:

AI=SA2SI2=SA2(SK2)2=3a24a28=a104

SAMN=12MN.AI=a21016

Hình chóp S.AMN có thể tích: V=13.SAMN.SI=13.a21016.a22

Vậy: V=a3548.

Bài toán 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằnga6. GọiBlà điểm đối xứng với B qua trung điểm M của AC. Dựng điểm S sao choSB=3avà vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 3)

Tam giác đều ABC cạnh bằng a6nên BM=AB.32=a182

Suy raBB=2BM=a18

Tam giácSBBvuông tạiB:

SB=SB2+BB2=9a2+18a2=3a3

Hai tam giác đồng dạngBHM,BBS(g.g)nên

BHBB=BMBSBH=BB.BMBS=a18.a1823a3=a3

Suy ra: d(H,(ABC))d(S,(ABC))=BHBS=a33a3=13

d(H,(ABC))=a

Vậy

 VH.ABC=13.SABC.d(H,(ABC))=136a234.a=a332

Ta cóACBMACSBnênAC(SBB)ACSB

SBMH, do đóSB(AHC)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC

Hai tam giác đồng dạngBHM,BBS(g.g)suy ra:

BMBS=MHSBMH=BM.SBBS=a182.3a3a3=a62

Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác vuông tại H.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng90.

Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B, BC = a. Hai mặt phẳng (SCA), (SCB) hợp nhau góc60BSC^=45.

a) Tính cosin của gócα=ASC^

b)  Tính thể tích tứ diện.

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 4)

a)   Ta cóBCAB,SASBBC nên tam giác

SBC vuông cân tại B, SC=a2.

Gọi I là trung điểm của SC ta có BISC BI=a22.

Trong mặt phẳng (ABC) gọi H là hình chiếu vuông

góc của B trên AC, ta có:

BHACBH(SAC)BHSC.

Mặt khác, ta cóBISC

Nên ta suy raSC(BHI)do đóHIB^=60,HI=BI2=a24

Xét tam giác vuông HIC, ta có:

HC2=HI2+IC2=2a216+2a24=5a28HC=a522

Ta có sinICH^=IHHC=a24.22a5=15

SA=SCsinICH^=a2.15=a25

Vậy cosα=SASB=25.

b)V=13SABC.SA=13.12a35.a.a.25. Do đó V=a3630.

Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng60. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới mp(SAH).

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 5)

Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên:AC=2a2

Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

BM=12AC=a2

Do đó MH=12BM=a22

Tam giác AMH vuông tại M ta có:

AH=AM2+MH2=2a2+a22=a102

SH(ABC)nên(SA,(ABC))=SAH^=60.

Tam giác SAH vuông tại H: SH=AH.tan60=a302

Từ đó suy ra:

 VSABC=13SABC.SH=13(12.2a.2a)a302=a3303

Ta có: d(E,(SAH))=12d(C,(SAH))=12.2.d(M,(SAH))=MK

Trong đó K là hình chiếu của M lên AH.

Tam giác AMH vuông tại M:

1MK2=1MA2+1MH2MK=MA.MHMA2+MH2=a2.a222a2+a22=2a10.

Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằnga3, đường chéo AC = 2a, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy vàSC=a3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

Giải

Dạng bài tập Thể tích khối chóp (ảnh 6)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Từ giả thiết ta cóSO(ABCD)

Tam giác SOC vuông:

SO=SC2OC2=3a2a2=a2

Tam giác AOB vuông:

OB=AB2OA2=3a2a2=a2

Ta có VSABCD=12OB.AC.SO=132a.a2.a2=4a33.

Gọi H là trung điểm của SB, tam giác SBC cân tại C nên CHSB.

Tương tựAHSB. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.

Từ SB(AHC)OHSB.

Tam giác SOB vuông tại O:

1OA2=1OS2+1OB2=12a2+12a2OH=a

Do đóOH=12ACnên tam giác ABC vuông tại H.

Vậy hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

Tài liệu có 3 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống