Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng

Hoài Phạm Thị Thu Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 3 8 K 25

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng, tài liệu bao gồm 3 trang, tổng hợp đầy đủ lí thuyết công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Công thức tính thể tích hình chóp và bài tập vận dụng

1. Kiến thức cần nhớ

a) Thể tích khối chóp

- Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

- Một phép vị tự tỉ số $k$ biến khối đa diện có thể tích $V$ thành khối đa diện có thể tích $V^{'}$ thì: $\frac{V^{'}}{V} = {| k |}^{3}$

b) Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác

Nếu $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $S A, S B, S C$ của hình chóp tam giác $S . A B C$ . Khi đó:

2. Một số dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Từ giả thiết của đề bài, ta xác định được đường cao h là cạnh bên vuông góc với đáy. Do vậy ở dạng toán này ta chỉ cần nắm vững các công thức tính độ dài và góc trong hình phẳng để áp dụng tìm cạnh, đoạn của đáy và đường cao. Từ đó ta tính được diện tích đáy và đường cao.

TH1: Khối chóp có đáy là tam giác ABC có SA vuông góc với đáy.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

$V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A .$

TH2: Khối chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành, … và SA vuông góc với đáy.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

$V = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A$

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.

B. V = 192.

C. V = 32.

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Ta có $A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = B C^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo), do đó diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} .6.8 = 24$

Vì SA vuông góc với đáy nên SA là đường cao của hình chóp.

Do đó h = SA = 4.

Vậy $V_{S A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} .4.24 = 32$ (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD có mặt bên $(S A D) ⊥ (A B C D)$

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đường cao của hình chóp là đường cao của tam giác SAD. Chứng minh:

$\{\begin{cases} (S A D) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) \cap (A B C D) = A D \\ S H \subset (S A D) \\ S H ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Đặc biệt nếu tam giác SAD cân hoặc đều thì đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S H$

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S. ABC là

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = a^{3}$

C. $V = \frac{3 a^{3}}{2}$

D. $V = 3 a^{3}$

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn B.

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+) Các mặt bên là các tam giác cân tại S.

+) Đáy ABCD là hình vuông.

+) Đường cao là SO với O là tâm của đáy.

+) Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau:

$\hat{S A O} = \hat{S B O} = \hat{S C O} = \hat{S D O} \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O$

Chú ý:

a) Với hình chóp tam giác đều ta làm tương tự.

b) Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

DH là đường cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy ra thể tích của khối tứ diện đều ABCD là $V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . D H$ .

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{0}$ . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra $S O ⊥ (A B C D)$ .

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên ta có : $S_{A B C D} = a^{2}$ và $B D = a \sqrt{2}$ . Suy ra $B O = \frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Ta có OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa cạnh bên SB với đáy là góc SBO bằng $60^{0}$ .

Suy ra chiều cao SO :

$S O = O B . \tan \hat{S B O} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Vậy :

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a \sqrt{6}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V = \frac{\sqrt{13} a^{3}}{12}$

B. $V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{12}$

C. $V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{4}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy ra $S O ⊥ (A B C D)$ .

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Ta có: BC = a nên $B I = \frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABI ta có:

$A I = \sqrt{A B^{2} - B I^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $A O = \frac{2}{3} A I = \frac{2 a \sqrt{3}}{3.2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{\sqrt{11} a}{\sqrt{3}}$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

$V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S O = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{11} a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11} a^{3}}{12}$

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh bên hoặc mặt bên tạo với đáy một góc $α$ và một số bài toán khác

Các giả thiết của bài toán này khá đa dạng, tuy nhiên cách giải của các bài toán này nằm ở 2 bước sau:

+) Bước 1: Xác định được góc trên hình vẽ.

+) Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố cạnh liên quan tới chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA = 2a. SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc $30 °$ . Tam giác ABC vuông cân tại B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a.

A. $\frac{27 a^{3}}{10}$

B. $\frac{9 a^{3}}{10}$

C. $\frac{9 a^{3}}{40}$

D. $\frac{81 a^{3}}{10}$

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xét tam giác ABM vuông tại B, có: $A B^{2} + B M^{2} = A M^{2}$ (định lý Py – ta – go)

$\Leftrightarrow A B^{2} + \frac{1}{4} A B^{2} = A M^{2} \Leftrightarrow \frac{5}{4} A B^{2} = \frac{27 a^{2}}{4} \Leftrightarrow A B = \frac{3 a \sqrt{15}}{5}$

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên:

$B C = B A = \frac{3 a \sqrt{15}}{5} V_{S A B C} = \frac{1}{3} S G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . S G . \frac{1}{2} . B A . B C = \frac{1}{3} a . \frac{1}{2} {(\frac{3 a \sqrt{15}}{5})}^{2} = \frac{9 a^{3}}{10}$

Chọn B.

3. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp

Nội dung	Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{\sqrt{2 . S_{1} S_{2} S_{3}}}{3}$
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, $\hat{B S C} = α, \hat{A S B} = β .$ Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{S B^{3} . \sin 2 α . \tan β}{12}$
Cho hình chóp đều S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a cạnh bên bằng b. Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{12}$
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc $α$ . Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \tan α}{24}$
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng B và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc $β$ . Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{\sqrt{3} b^{3} . \sin β . \cos^{2} β}{4}$
Cho hình chóp tam giác đều S,ABC có các cạnh đáy bằng a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc $β$ . Khi đó: $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \tan β}{12}$

4. Bài tập tự luyện

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng. Hãy tìm thể tích khối chóp.

Giải

Giả sử O là tâm tam giác đều ABC.

Khi đó $S O ⊥ (A B C)$ và $S O = h .$

Gọi K là trung điểm của AB.

Đặt AK = x

Khi đó $S K = x \cot φ, O K = x t a n 30 ° = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Ta có $h^{2} = S K^{2} - O K^{2} = \frac{x^{2}}{3} (3 \cot^{2} φ - 1)$ nên

$x^{2} = \frac{3 h^{2}}{3 \cot^{2} φ - 1}, S_{A B C} = \frac{A B^{2} \sin 60 °}{2} = x^{2} \sqrt{3}$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . h = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{3} h = \frac{h^{3} \sqrt{3}}{3 \cot^{2} φ - 1} .$

Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng vuông góc với nhau từng đôi một:

a) Tính thể tích hình chóp O.ABC.

b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC.

Giải

a) Ta có $A O ⊥ O B$ và $A O ⊥ O C$ do đó $O A ⊥ (O B C)$

nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC

với đáy là OBC và đường cao là AO

Do đó: $V = \frac{1}{3} S_{O B C} . O A = \frac{a b c}{6}$

b) Hạ $O H ⊥ (A B C)$ thì H là trực tâm của đáy.

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{O {A^{'}}^{2}} \\ = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2} c^{2}} \end{array}$

Do đó: $O H = \frac{a b c}{\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}}$

Và

$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} S_{A B C} . O H \\ \Rightarrow S_{A B C} = \frac{3 V}{O H} = \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}}{2} . \end{array}$

Bài toán 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính thể tích hình chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Giải

Gọi K là trung điểm của BC và $I = S K \cap M N .$

Từ giả thiết suy ra $M N = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}, M N ∥ B C$ ,

suy ra I là trung điểm của SK và MN.

Ta có $Δ S A B = Δ S A C$ nên hai trung tuyến tương ứng

$A M = A N$ , do đó $Δ A M N$ cân tại A, suy ra $A I ⊥ M N .$

Mà

$\begin{array}{l} (S B C) ⊥ (A M N) \\ \Rightarrow A I ⊥ (S B C) \Rightarrow A I ⊥ S K . \end{array}$

Do đó $Δ S A K$ cân tại A, suy ra $S A = A K = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có $S K^{2} = S B^{2} - B K^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$ nên:

$\begin{array}{l} A I = \sqrt{S A^{2} - S I^{2}} = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{S K}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{8}} = \frac{a \sqrt{10}}{4} \end{array}$

$S_{A M N} = \frac{1}{2} M N . A I = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16}$

Hình chóp S.AMN có thể tích: $V = \frac{1}{3} . S_{A M N} . S I = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16} . \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy: $V = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{48} .$

Bài toán 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng $a \sqrt{6}$ . Gọi $B^{'}$ là điểm đối xứng với B qua trung điểm M của AC. Dựng điểm S sao cho $S B^{'} = 3 a$ và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Giải

Tam giác đều ABC cạnh bằng $a \sqrt{6}$ nên $B M = \frac{A B . \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{18}}{2}$

Suy ra $B B^{'} = 2 B M = a \sqrt{18}$

Tam giác $S B B^{'}$ vuông tại $B^{'}$ :

$S B = \sqrt{S {B^{'}}^{2} + B {B^{'}}^{2}} = \sqrt{9 a^{2} + 18 a^{2}} = 3 a \sqrt{3}$

Hai tam giác đồng dạng $B H M, B B^{'} S (g . g)$ nên

$\begin{array}{l} \frac{B H}{B B^{'}} = \frac{B M}{B S} \\ \Rightarrow B H = \frac{B B^{'} . B M}{B S} \\ = \frac{a \sqrt{18} . \frac{a \sqrt{18}}{2}}{3 a \sqrt{3}} = a \sqrt{3} \end{array}$

Suy ra: $\frac{d (H, (A B C))}{d (S, (A B C))} = \frac{B H}{B S} = \frac{a \sqrt{3}}{3 a \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow d (H, (A B C)) = a$

Vậy

$\begin{array}{l} V_{H . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . d (H, (A B C)) \\ = \frac{1}{3} \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Ta có $A C ⊥ B M$ và $A C ⊥ S B^{'}$ nên $A C ⊥ (S B B^{'}) \Rightarrow A C ⊥ S B$

Mà $S B ⊥ M H$ , do đó $S B ⊥ (A H C)$

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC

Hai tam giác đồng dạng $B H M, B B^{'} S (g . g)$ suy ra:

$\begin{array}{l} \frac{B M}{B S} = \frac{M H}{S B^{'}} \\ \Rightarrow M H = \frac{B M . S B^{'}}{B S} \\ = \frac{\frac{a \sqrt{18}}{2} .3 a}{3 a \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} \end{array}$

Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác vuông tại H.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $90^{\circ} .$

Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B, BC = a. Hai mặt phẳng (SCA), (SCB) hợp nhau góc $60^{\circ}$ và $\hat{B S C} = 45^{\circ} .$

a) Tính cosin của góc $α = \hat{A S C}$

b) Tính thể tích tứ diện.

Giải

a) Ta có $B C ⊥ A B, S A \Rightarrow S B ⊥ B C$ nên tam giác

SBC vuông cân tại B, $S C = a \sqrt{2} .$

Gọi I là trung điểm của SC ta có $B I ⊥ S C$ và $B I = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Trong mặt phẳng (ABC) gọi H là hình chiếu vuông

góc của B trên AC, ta có:

$B H ⊥ A C \Rightarrow B H ⊥ (S A C) \Rightarrow B H ⊥ S C .$

Mặt khác, ta có $B I ⊥ S C$

Nên ta suy ra $S C ⊥ (B H I)$ do đó $\hat{H I B} = 60^{\circ}, H I = \frac{B I}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

Xét tam giác vuông HIC, ta có:

$\begin{array}{l} H C^{2} = H I^{2} + I C^{2} \\ = \frac{2 a^{2}}{16} + \frac{2 a^{2}}{4} = \frac{5 a^{2}}{8} \\ \Rightarrow H C = \frac{a \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \end{array}$

Ta có $\sin \hat{I C H} = \frac{I H}{H C} = \frac{a \sqrt{2}}{4} . \frac{2 \sqrt{2}}{a \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$S A = S C \sin \hat{I C H} = a \sqrt{2} . \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Vậy $\cos α = \frac{S A}{S B} = \sqrt{\frac{2}{5}} .$

b) $V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} a \sqrt{\frac{3}{5}} . a . a . \sqrt{\frac{2}{5}}$ . Do đó $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{30} .$

Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{\circ}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới mp(SAH).

Giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên: $A C = 2 a \sqrt{2}$

Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

$B M = \frac{1}{2} A C = a \sqrt{2}$

Do đó $M H = \frac{1}{2} B M = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác AMH vuông tại M ta có:

$A H = \sqrt{A M^{2} + M H^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

Vì $S H ⊥ (A B C)$ nên $(S A, (A B C)) = \hat{S A H} = 60^{\circ} .$

Tam giác SAH vuông tại H: $S H = A H . t a n 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{30}}{2}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} V_{S A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S H \\ = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} .2 a .2 a) \frac{a \sqrt{30}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{30}}{3} \end{array}$

Ta có: $d (E, (S A H)) = \frac{1}{2} d (C, (S A H)) = \frac{1}{2} .2 . d (M, (S A H)) = M K$

Trong đó K là hình chiếu của M lên AH.

Tam giác AMH vuông tại M:

$\begin{array}{l} \frac{1}{M K^{2}} = \frac{1}{M A^{2}} + \frac{1}{M H^{2}} \\ \Rightarrow M K = \frac{M A . M H}{\sqrt{M A^{2} + M H^{2}}} \\ = \frac{a \sqrt{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2 a^{2} + \frac{a^{2}}{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{10}} . \end{array}$

Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng $a \sqrt{3}$ , đường chéo AC = 2a, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và $S C = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Từ giả thiết ta có $S O ⊥ (A B C D)$

Tam giác SOC vuông:

$S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}$

Tam giác AOB vuông:

$O B = \sqrt{A B^{2} - O A^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}$

Ta có $V_{S A B C D} = \frac{1}{2} O B . A C . S O = \frac{1}{3} 2 a . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = \frac{4 a^{3}}{3} .$

Gọi H là trung điểm của SB, tam giác SBC cân tại C nên $C H ⊥ S B .$

Tương tự $A H ⊥ S B$ . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.

Từ $S B ⊥ (A H C) \Rightarrow O H ⊥ S B .$

Tam giác SOB vuông tại O:

$\frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} \Rightarrow O H = a$

Do đó $O H = \frac{1}{2} A C$ nên tam giác ABC vuông tại H.

Vậy hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

Tài liệu có 3 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Toán 11 thể tích khối chóp

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm