Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Cách chứng minh tứ giác là hình thang cân, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Hình thang cân, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Cách chứng minh tứ giác là hình thang cân

A. Lý thuyết Chính minh tứ giác là hình thang cân

Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. 

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

B. Bài tập Chứng minh tứ giác là hình thang cân

Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác AMN cân tại A. Các điểm B, C lần lượt trên các cạnh AM, AN sao cho AB = AC. Hãy chọn câu đúng.

A. MB = NC.

B. BCNM là hình thang cân.

C. 

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Xét ΔBAC có: BA = CA (gt) nên ΔBAC là tam giác cân.

Suy ra:  nên C đúng.

Vì ΔAMN cân tại A ⇒ AM=AN mà AB = AC nên

 do đó A đúng.

Lại có:  (do ΔAMN cân tại A).

Từ (1) và (2) suy ra:  

Mà hai góc  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra BC//MN .

Tứ giác BCNM có: BC//MN  (cmt) nên là hình thang.

Hình thang BCNM có:  (tam giác AMN cân tại A) là hai góc kề một đáy nên là hình thang cân. Do đó B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Đáp án: D.

Câu 2. Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ các đường trung tuyến NQ, PS. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NSQP là hình thang cân.

B. MSQ là tam giác cân tại S.

C. MSQ là tam giác cân tại Q.

D. NQ ≠ SP.

Lời giải:

Đặt  . Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào tam giác cân MNP, ta được:

nên tam giác MSQ cân tại M. Do đó B, C sai.

Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác MNP và MSQ, ta được:

  (vì hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Tứ giác NSQP có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang NSQP này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là  nên là hình thang cân. Suy ra NQ = SP (tính chất hình thang cân). Do đó A đúng, D sai.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔBAC cân tại A. Kẻ các đường cao BD, CE. Tứ giác BEDC là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Cả A, B, C đều đúng.         

Lời giải:

Đặt  . Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ΔBAD  và ΔEAC ta được:

 (cạnh huyền, góc nhọn).

Suy ra AD = AE nên tam giác AED cân tại A.

Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân ABC và AED, ta được:

 (hai góc ở vị trí đồng vị)

Tứ giác BEDC có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang BEDC này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là  nên là hình thang cân.

Đáp án: B

Câu 4. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I, biết rằng AI = IC, IB = ID. Tứ giác ACBD là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Do hai góc  là hai góc đối đỉnh nên đặt .

Từ giả thiết  và hai tam giác IAC, IBD đều cân tại I, áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân IAC và IBD, ta được:

  vì có cặp góc so le trong bằng nhau.

Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang ABCD này lại có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Đáp án: B

Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang vuông.

C. Hình thang cân.

D. Cả A, B, C đều sai.                      

Lời giải:

Tam giác ADE có AD = AE (gt) nên tam giác ADE cân tại A.

Suy ra  

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên

Từ (1) và (2) suy ra  

Mà 2 góc  và  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE//BC

Tứ giác BDEC có DE//BC nên tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) là hai góc kề một cạnh đáy nên BDEC là hình thang cân.

Đáp án: C.

Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho DE//BC . Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang vuông.

C. Hình thang cân.

D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Tứ giác BDEC có DE//BC nên tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) là hai góc kề một cạnh đáy nên BDEC là hình thang cân.

Đáp án: C.

Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?

A. Hình thang. 

B. Hình thang cân              

C. Hình thang vuông.

D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Ta có: AB = AM + MB và AC = AN + NC. Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) và BM = NC (gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN có: AM = AN (cmt)

Suy ra tam giác AMN cân tại A. Suy ra  

Xét tam giác ANM có:  (tổng ba góc trong một tam giác) nên

Xét tam giác ABC có:  (tổng ba góc trong một tam giác) nên

Từ (1) và (2) suy ra  

Mà  là hai góc đồng vị nên  MN//BC

Xét tứ giác MNCB có MN//BC nên MNCB là hình thang.

Lại có   ( ΔABC cân tại A) là hai góc kề một đáy nên MNCB là hình thang cân.

Đáp án: B.

Câu 8. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn khẳng định đúng?

A. KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD.

B. KI là đường trung trực của đáy AB nhưng không là đường trung trực của CD.

C. KI là đường trung trực của đáy CD nhưng không là trung trực của AB.

D. KI không là đường trung trực của cả hai đáy AB và CD.

Lời giải:

Tứ giác ABCD có AB//CD nên tứ giác ABCD là hình thang.

Lại có  (vì tam giác KDC cân tại K) là 2 góc kề một đáy nên ABCD là hình thang cân.

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

CD là cạnh chung

Suy ra ΔACD=ΔBCD (c-c-c). Suy ra  (hai góc tương ứng).

Xét tam giác ICD có  (cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó

ID = IC         (1)

Tam giác KCD cân ở K. Do đó 

KC = KD      (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD       (*)

Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:

AD = BC (cmt)

AB là cạnh chung

AC = BD

Suy ra ΔABD=ΔACB (c-c-c). Suy ra .

Xét tam giác IAB có  nên tam giác IAB cân tại I. Do đó IA = IB (3)

Ta có: KA = KD – AD; KB = KC – BC. Mà KD = KC, AD = BC, do đó 

KA = KB      (4)

Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB.     (**)

Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy. 

Đáp án: A.

Câu 9. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn câu sai.

A. ΔABK cân tại K.

B. ΔKCD cân tại K.

C. ΔICD đều.

D. KI là đường phân giác  .

Lời giải:

Tứ giác ABCD có AB//CD nên tứ giác ABCD là hình thang.

Lại có  (vì tam giác KDC cân tại K) nên ABCD là hình thang cân.

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

CD là cạnh chung

Suy ra  ΔACD=ΔBCD(c-c-c). Suy ra  (hai góc tương ứng).

Xét tam giác ICD có (cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để chứng minh IC = CD để tam giác đều.

Tam giác KCD cân ở K (theo đề bài) nên B đúng. 

Xét tam giác KDI và tam giác KCI có:

KD = KC (do   cân tại K)

KI là cạnh chung

IC = ID

Suy ra ΔKID=ΔKCI(c-c-c). Suy ra  , do đó KI là tia phân giác  nên D đúng.

Ta có: AB//CD (do ABCD là hình thang) nên  (các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Mà (tính chất hình thang cân) nên  hay ΔKAB cân tại K. Do đó A đúng.

Đáp án: C.

Câu 10. Phải bổ sung thêm điều kiện gì thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân?

A. Hai cạnh đáy không bằng nhau.

B. Hai cạnh bên không song song.

C. Cả A và B.

D. A hoặc B.

Lời giải:

Đáp án: D.

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB//CD) có  . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân

Giải

Vì ABCD là hình thang nên AB//CD , kết hợp giả thiết, ta có:

(Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau). 

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) thu được OA + OC = OB + OD ⇒  AC = BD. 

Điều này chứng tỏ hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Cắt hai cạnh của tam giác ABC bởi một cát tuyến song song với cạnh đáy BC thì tứ giác thu được là hình gì?

Giải

Gọi giao điểm của cát tuyến với các cạnh AB, AC lần lượt là M, N.

Tứ giác MNCB có hai cạnh đối MN//BC nên là hình thang.

Mặt khác vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: . 

Do đó hình thang MNCB có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BE, CF của các góc B và C.

a) Chứng minh tam giác AEF cân.

b) Chứng minh tam giác BFC và CEB bằng nhau.

c) Chứng minh BFEC là hình thang cân.

Giải

a) Ta có 

 (t/c phân giác)

Mà  (tam giác ABC cân tại A)

Xét tam giác ABE và ACF ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

b) Xét tam giác BFC và CEB ta có:

c) Ta có   

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF//BC .

Tứ giác BCEF có EF//BC nên BCEF là hình thang.

Lại có  (tam giác ABC cân tại A)

Vậy BCEF là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.