Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Công thức tính đạo hàm của hàm hợp và bài tập vận dụng, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Đạo hàm hợp, chia số thập phân cho số thập phân, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp và bài tập vận dụng

A. Công thức tính đạo hàm hợp

Đạo hàm của hàm số hợp:

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm ${u^{\text{'}}}_x$tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm ${y^{\text{'}}}_u$tại uthì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm y' tại x và ta có ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x.$

Công thức đạo hàm

B. Bài tập vận dụng công thức tính đạo hàm hợp

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2$. Tính đạo hàm của hàm số f(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right){\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{{\left(1-\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\left(1+\sqrt{x}\right)-\left(1-\sqrt{x}\right){\left(1+\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \left(1+\sqrt{x}\right)-\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=\frac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{1+\sqrt{x}}\cdot \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=-\frac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}{\left(1+\sqrt{x}\right)}^3}$

Ví dụ 2. Cho hàm số y = (x – 5)(x + 1)². Tìm nghiệm của y’(x) = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = (x – 5)(x + 1)²

Ta có y’(x) = (x + 1)² + (x – 5).2.(x + 1)

= x² + 2x + 1 + 2x² – 8x – 10 = 3x² – 6x – 9.

y’(x) = 0 ⇔ 3x² – 6x – 9 = 0 ⇔ 3(x² – 2x – 3) = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3.

Vậy đạo hàm y’(x) = 0 có tập nghiệm là S = {–1; 3}.

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y = f(x) = (1- 3x²)⁵ là:

A. -30x.(1-3x² )⁴    

B. -10x.(1-3x² )⁴

C. 30(1-3x² )⁴       

D. -3x.(1-3x² )⁴

Hướng dẫn giải

Đặt u (x)= 1- 3x² suy ra u (x)=( 1-3x² )'=(1)'-3(x² )'= -6x

Với u = 1-3x² thì y= u⁵ suy ra y^' (u) =5.u⁴ = 5.(1-3x²)⁴

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

y^' (x) = 5.(1-3x² )⁴.(-6x)= -30x.(1-3x² )⁴

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y = (2√x+6x-10)²

A. y' = ( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)       

B. y' = 2.( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)

C. y' = 2.( 2√x+6x-10).( 2/√x+6) 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ; ta có :

y'=2.( 2√x+6x-10).( 2√x+6x-10)'

Hay y'=2.( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số : y= √(x⁴+3x²+2x-1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số : y= √((2x-10)⁴+10)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số : y= (-2)/( x³+2x² ) + (2x+1)²

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số : y=√(x²+2x-10)+( 2x+1)⁴

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x³+ x² -1)² ( 2x+1)²

A. y'= ( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

B. y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

C. y'= ( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 4x+4)

D. y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²-(x³+ x²-1)².( 8x+4)

Hướng dẫn giải

áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có :

y'=[( x³+ x²-1) ]²'.(2x+1)²+(x³+ x²-1)².[(2x+1)²]'

Hay y'=2( x³+ x²-1)( x³+ x²-1)'.(2x+1)²+

(x³+ x²-1)².2( 2x+1).(2x+1)'

⇔ y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².2( 2x+1).2

⇔ y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

Chọn B.

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số

Hướng dẫn giải

Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số

Hướng dẫn giải

Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số: y = (5x+ 2)¹⁰.

A . 10(5x+2)⁹  

B. 50(5x+2)⁹    

C. 5(5x+2)⁹    

D. (5x+2)⁹

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=10.(5x+2)⁹.( 5x+2)'=50(5x+2)⁹

Chọn B.

Ví dụ 14. Tính đạo hàm của hàm số: y = (3x²+ 5x- 10)⁷

A. 7.( 3x²+5x-10)⁶

B. (3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

C. 7.(3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y' = 7.( 3x²+5x-10)⁶.(3x²+5x-10)'

y' = 7.( 3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

Chọn C.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số: y = (-3x - 2)⁸.

A . - 24( 3x+2)⁷ 

B. - 24( -3x-2)⁷ 

C. 12(-3x-2)⁷    

D. 12(3x+2)⁷

Lời giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=8.(- 3x-2)⁷.(-3x-2)'=8(-3x-2)⁷.(-3)= -24.( -3x-2)⁷

Chọn B.

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 4x2 - 2x )³

A. 3.( 4x²-2x)²

B. ( 4x²-2x)².( 8x-2)

C. 3( 4x²-2x)².( 8x-2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3.( 4x²-2x)².(4x²-2x)'

y'= 3.( 4x²-2x)².( 8x-2)

Chọn C.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 6-x+2x²)³là:

A. 3.(6-x+2x² )² ( -1+4x)   

B. 3.(6-x+2x² )²

C. (6-x+2x² )² ( -1+4x)   

D. -3x.(1-3x² )⁴

Lời giải:

Đặt u (x)= 6 - x+ 2x2 ⇒ u' (x)=( 6-x+2x² )'=(6)'-(x)'+2(x² )'= -1+4x

Với u= 6- x +2x2 thì y= u³ ⇒ y' (u)=3.u²=3.(6-x+2x² )²

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

y' (x)= 3.(6-x+2x² )².(-1+4x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y= ( √x+2x²+4x)⁴

A. 2( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4) 

B. 4( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)

C. ( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ; ta có :

y'=4.( √x+2x²+4x)³.( √x+2x²+4x)'

Hay y'=4( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)

Chọn B.

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số : y= √(2x³-2x²+4x)

Lời giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có :

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số : y= √((x+1)⁴-2x)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số : y=√( (2x-2)²+2x)+( 3x-2)³

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số : y= ( 2x²-1)².√(2x+2)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có :

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Áp dụng công thứcđạo hàm của một thương và đạo hàm của hàm hợp ta có ;

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (5x + 1)(1 – x)³ tại điểm $x=\frac{1}{2}$

b) $y=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{sinx}}}$ tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$

c) $y={\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3$ tại điểm x = 1.

Bài 2. Tìm m để các hàm số:

a) y = (m – 1)x³ – 3(m + 2)x² – 6(m + 2)x + 1 có y’ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

b) $y=\frac{{\mathrm{mx}}^3}{3}-{\mathrm{mx}}^2+\left(3m-1\right)x+1$ có y’ ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;.

Bài 3. Cho hàm số và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sin }^2\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\mathrm{khi}\mathrm{x}>0\\ \mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 0\end{array}\right.$. Tính f’(0).

Bài 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{x}.$ Tính giá trị biểu thức $\frac{f^{\text{'}}\left(0,01\right)}{100}$

Bài 5. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn có hàm số là $Q\left(t\right)=5\sin \left(3t+\frac{\pi }{2}\right)$trong thời gian là t (t > 0). Hãy tính cường độ tức thời của dòng điện chạy qua tại thời điểm $t=\frac{\pi }{12}$(s), biết rằng I(t₀) = Q(t₀).

Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số: $\sqrt{x^4+2x^2+3}$.

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) = (x³ + 12x)². Hỏi có mấy giá trị x₀ để f'(x₀) = 0.

Bài 8. Tính đạo hàm của hàm số: y = $\frac{1}{x^6+2\sqrt{x^2+1}}$.

Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số:

a) y = $\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)$;

b) y = x + 1 - $\frac{2}{x+1}$;

c) y = $\frac{5x-3}{x^2+x+1}$.

Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số:

a) y = x(2x – 1)(3x + 2);

b) y = ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$;

c) y = $\frac{1}{{\left(x^2-x+1\right)}^5}$.