Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Định lí Pythagore là gì? Định lí Pythagore đảo và bài tập vận dụng đầy đủ, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Định lí Pythagore, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Định lí Pythagore là gì? Định lí Pythagore đảo và bài tập vận dụng

A. Lý thuyết Định lý Pythagore

1. Định lý Pythagore

Định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có: BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với a = BC, b = AC, c = AB).

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Do đó $BC=\sqrt{100}=10\text{ (}cm)$

Vậy BC = 10 cm.

2. Định lý Pythagore đảo

Phát biểu định lý Pythagore đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC (như hình vẽ).

Nếu BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với a = BC, b = AC, c = AB) thì tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ: Cho tam giác DEG có DE = 7 cm, DG = 24 cm và EG = 25 cm. Tam giác DEG có phải là tam giác vuông hay không?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác DEG, ta có: EG² = 25² = 625 (cm²)

Mặt khác, DE² + DG² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 cm²)

Suy ra EG² = DE² + DG².

Do đó tam giác DEG vuông tại D (theo định lý Pythagore đảo).

B. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Tính độ dài BC, biết HA = 1cm, HC = 8cm.

Giải:

Ta có AC = AH + HC = 1 + 8 = 9 cm

Lại có ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 9 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta \text{\hspace{0.17em}ABH}$ vuông tại H ta có:

AB² = AH² + BH² $\Rightarrow$ BH² = AB² – AH² = 92 – 12 = 80

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta \text{\hspace{0.17em}BCH}$vuông tại H ta có:

BC² = BH² + CH²  = 80 + 82 = 144

$\Rightarrow$ BC = 12

Vậy độ dài BC = 12 cm.

Ví dụ 2: Cho$∆$ABC vuông ở A có $\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$, BC = 51. Tính AB, AC.

Giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go cho $\Delta ABC$ vuông tại A có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Có $\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$$\Rightarrow \frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}$

$\Rightarrow \frac{A{B}^2}{64}=\frac{A{C}^2}{225}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{64+225}=\frac{B{C}^2}{289}=\frac{{51}^2}{289}=9$ 

$\Rightarrow \frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}=3$

Suy ra: AB = 8 . 3 = 24; AC = 15 . 8 = 45

Vậy AB = 24; AC = 45.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông

1. Phương pháp giải:

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Giải:

Ta có 6² =36, 8² = 64, 10² = 100

Mà 100 = 36 + 64 hay 10² = 8² + 6²

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

C. Bài tập Định lý Pythagore

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Khi đó

A. AB² + BC² = AC²

B. AB² - BC² = AC²

C. AB² + AC² = BC²

D. AB² = AC² + BC²

Lời giải:

Ta có tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Py – ta – go ta có: AB² + BC² = AC²

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm

A. BC = 4 dm            B. BC = √6 dm             C. BC = 8dm            D. BC = √8 dm

Lời giải:

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có: BC² = AB² + AC²

Khi đó ta có: 

Chọn đáp án D.

Bài 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

A. 10 cm, 22 cm             B. 10 cm, 24 cm            C. 12 cm, 24 cm            D. 15 cm, 24 cm

Lời giải:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có: x² + y² = 26² ⇔ x² + y² = 676

Theo bài ra ta có: 

Khi đó ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH ?

A. AH = 12cm, AB = 15cm

B. AH = 10cm, AB = 15cm

C. AH = 15cm, AB = 12cm

D. AH = 12cm, AB = 13cm

Lời giải:

Ta có: BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ AB² = BC² - AC² = 25² - 20² = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có:

HB² + HA² = AB² ⇒ AH² = AB² - HB² = 15² - 9² = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Chọn đáp án A.

Bài 5: Cho hình vẽ. Tính x

A. x = 10cm            B. x = 11cm             C. x = 8cm             D. x = 5cm

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

⇒ x² + 12² = 13² ⇒ x² = 13² - 12² = 25

Khi đó: x = 5cm

Chọn đáp án D.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AD ⊥ BC tại D. Biết AB = 7 cm, BD = 4 cm. Khi đó AD có độ dài là:

A. AD = 33 cm

B. AD = 3 cm

C. AD = √33 cm

D. AD = √3 cm

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H. Cho AB = 5 cm, BH = 3 cm. Chu vi tam giác ABC là:

A. 14 cm

B. 15 cm

C. 16 cm²

D. 16 cm

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 8: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

A. 15 cm; 8 cm; 18 cm

B. 21 cm; 20 cm; 29 cm

C. 5 cm; 6 cm; 8 cm

D. 2 cm; 3 cm; 4 cm

Lời giải:

Nhận xét: Để xét xem một tam giác biết độ dài ba cạnh có phải là tam giác vuông không thì ta xét xem bình phương cạnh lớn nhất có bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại không, nếu bằng thì đó là tam giác vuông, nếu không thì bộ ba cạnh đó không lập thành tam giác vuông. (áp dụng định lý đảo của định lý Py – ta – go).

+ Ta có: 15² + 8² = 289 ≠ 324 = 18² A sai

+ Lại có: 21² + 20² = 841 = 29² ⇒ B đúng

+ 5² + 6² = 61 ≠ 64 = 8² ⇒ C sai

+ 2² + 3² = 13 ≠ 16 = 4² ⇒ D sai

Chọn đáp án B

Bài 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Tính độ dài đường chéo AC của hình vuông.

A. AC = √32 cm

B. AC = 32 cm

C. AC = 4cm

D. AC = 16 cm

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 10: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và chu vi tam giác đó là 36 cm. Tính cạnh huyền của tam giác đó.

A. 12 cm

B. 15 cm

C. 9 cm

D. 36 cm

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là a và b. Gọi c là độ dài cạnh huyền (a, b, c > 0)

Khi đó theo định lý Py – ta – go ta có: a² + b² = c² (1)

Vậy độ dài cạnh huyền là 15 cm.

Chọn đáp án B

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:

a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;

b) $AB= \sqrt{3}cm,BC=12cm$ ;

c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Hướng dẫn giải

a) Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$

Vậy BC = 13 cm.

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2–A{B}^2={12}^2–{\left(\sqrt{3}\right)}^2=144–3=141$

Do đó $AC=\sqrt{141}=11,87\left(cm\right)$

Vậy AC = 11,87 cm.

c) Theo bài ta có: AB – AC = 7 suy ra AB = AC + 7

Mặt khác, AB + AC = 17 suy ra AC + 7 + AC = 17

Hay 2AC = 17 – 7 = 10 suy ra AC = 5 cm và AB = 12 cm

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$ .

Vậy BC = 13 cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC²  = BC² = 20² = 400.

Từ đề bài: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  hay $\frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}$  suy ra $\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

AB²  = 16.16 suy ra AB = 16 cm.

AC² = 9 . 16 = 144 suy ra AC = 12 cm.

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.

Bài 13. Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore và tam giác ADE vuông tại A, ta có:

AD² + AE²  = DE²

AE²  = DE² – AD²

 Suy ra AE = 4.

Suy ra AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC²  = BC²

Suy ra BC² = 8² + 6² = 100 suy ra BC = 10 hay a = 10.

Vậy a = 10.